Contenido (teoría de la medida)

En matemáticas , en particular en la teoría de la medida , un contenido es una función de valor real definida en una colección de subconjuntos tales que ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

1. ${\displaystyle \mu (A)\in \ [0,\infty ]{\text{ whenever }}A\in {\mathcal {A}}.}$
2. ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0.}$
3. ${\displaystyle \mu {\Bigl (}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\Bigr )}=\sum _{i=1}^{n}\mu (A_{i}){\text{ whenever }}A_{1},\dots ,A_{n},\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\in {\mathcal {A}}{\text{ and }}A_{i}\cap A_{j}=\varnothing {\text{ for }}i\neq j.}$

Es decir, un contenido es una generalización de una medida : mientras que ésta debe ser contablemente aditiva, aquélla sólo debe ser finitamente aditiva.

En muchas aplicaciones importantes se elige que sea un anillo de conjuntos o al menos un semianillo de conjuntos , en cuyo caso se pueden deducir algunas propiedades adicionales que se describen a continuación. Por esta razón, algunos autores prefieren definir contenidos solo para el caso de semianillos o incluso anillos. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Si un contenido es además σ -aditivo se denomina pre-medida y si además es una σ -álgebra , el contenido se denomina medida . Por lo tanto, toda medida (de valor real) es un contenido, pero no al revés. Los contenidos dan una buena noción de integración de funciones acotadas en un espacio, pero pueden comportarse mal al integrar funciones no acotadas, mientras que las medidas dan una buena noción de integración de funciones no acotadas. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Ejemplos

Un ejemplo clásico es definir un contenido en todos los intervalos semiabiertos estableciendo su contenido en la longitud de los intervalos, es decir, Se puede demostrar además que este contenido es en realidad σ -aditivo y, por lo tanto, define una premedida en el semianillo de todos los intervalos semiabiertos. Esto se puede utilizar para construir la medida de Lebesgue para la línea de números reales utilizando el teorema de extensión de Carathéodory . Para obtener más detalles sobre la construcción general, consulte el artículo sobre la medida de Lebesgue . ${\displaystyle [a,b)\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu ([a,b))=b-a.}$

Un ejemplo de un contenido que no es una medida en un σ -álgebra es el contenido de todos los subconjuntos de los enteros positivos que tiene valor en cualquier entero y es infinito en cualquier subconjunto infinito. ${\displaystyle 1/2^{n}}$ ${\displaystyle n}$

Un ejemplo de un contenido en los números enteros positivos que siempre es finito pero no es una medida se puede dar de la siguiente manera. Tomemos un funcional lineal positivo en las secuencias acotadas que es 0 si la secuencia tiene solo un número finito de elementos distintos de cero y toma el valor 1 en la secuencia, de modo que el funcional en cierto sentido da un "valor promedio" de cualquier secuencia acotada. (Un funcional de este tipo no se puede construir explícitamente, pero existe por el teorema de Hahn-Banach ). Entonces, el contenido de un conjunto de números enteros positivos es el valor promedio de la secuencia que es 1 en este conjunto y 0 en el resto. De manera informal, se puede pensar en el contenido de un subconjunto de números enteros como la "posibilidad" de que un número entero elegido al azar se encuentre en este subconjunto (aunque esto no es compatible con las definiciones habituales de probabilidad en la teoría de la probabilidad, que suponen aditividad contable). ${\displaystyle 1,1,1,\ldots ,}$

Propiedades

Con frecuencia, los contenidos se definen en conjuntos de conjuntos que satisfacen restricciones adicionales. En este caso, se pueden deducir propiedades adicionales que no se cumplen en general para los contenidos definidos en ningún conjunto de conjuntos.

Sobre semianillos

Si forma un semianillo de conjuntos entonces se pueden deducir las siguientes afirmaciones: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• Todo contenido es monótono , es decir, ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow \mu (A)\leq \mu (B){\text{ for }}A,B\in {\mathcal {A}}.}$$
• Todo contenido es subaditivo , es decir, ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu (A\cup B)\leq \mu (A)+\mu (B)}$Para tal que ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {A}}.}$

En anillos

Si además es un Anillo de Conjuntos se obtiene adicionalmente: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• Sustractividad : para satisfacerla se sigue ${\displaystyle B\subseteq A}$ ${\displaystyle \mu (B)<\infty }$ ${\displaystyle \mu (A\setminus B)=\mu (A)-\mu (B).}$
• ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}\Rightarrow \mu (A\cup B)+\mu (A\cap B)=\mu (A)+\mu (B).}$
• Subaditividad : ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {A}}\;(i=1,2,\dotsc ,n)\Rightarrow \mu \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\mu (A_{i}).}$
• ${\displaystyle \sigma }$-Superaditividad : Para cualquier par disjunto que satisfaga tenemos ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {A}}\;(i=1,2,\dotsc )\ }$ ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\geq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i}).}$
• Si es un contenido finito, es decir, entonces se aplica el principio de inclusión-exclusión : donde para todos ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}\Rightarrow \mu (A)<\infty ,}$ $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\!\!\sum _{I\subseteq \{1,\dotsc ,n\}, \atop |I|=k}\!\!\!\!\mu \left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)}$$ ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle i\in \{1,\dotsc ,n\}.}$

Integración de funciones acotadas

En general, la integración de funciones con respecto a un contenido no funciona bien. Sin embargo, existe un concepto de integración que funciona bien siempre que la función esté acotada y el contenido total del espacio sea finito, que se da de la siguiente manera.

Supóngase que el contenido total de un espacio es finito. Si es una función acotada en el espacio tal que la imagen inversa de cualquier subconjunto abierto de los números reales tiene un contenido, entonces podemos definir la integral de con respecto al contenido como donde forman una colección finita de conjuntos semiabiertos disjuntos cuya unión cubre el rango de y es cualquier elemento de y donde el límite se toma cuando los diámetros de los conjuntos tienden a 0. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \int f\,d\lambda =\lim \sum _{i=1}^{n}f(\alpha _{i})\lambda (f^{-1}(A_{i}))}$$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle A_{i},}$ ${\displaystyle A_{i}}$

Duales de espacios de funciones acotadas

Supóngase que es una medida en algún espacio Las funciones mensurables acotadas en forman un espacio de Banach respecto de la norma suprema. Los elementos positivos del dual de este espacio corresponden a contenidos acotados con el valor de en dado por la integral . De manera similar se puede formar el espacio de funciones esencialmente acotadas, con la norma dada por el supremo esencial, y los elementos positivos del dual de este espacio están dados por contenidos acotados que se anulan en conjuntos de medida 0. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \int f\,d\lambda .}$

Construcción de una medida a partir de un contenido

Existen varias formas de construir una medida μ a partir de un contenido en un espacio topológico. Esta sección ofrece un método de este tipo para espacios de Hausdorff localmente compactos , de modo que el contenido esté definido en todos los subconjuntos compactos. En general, la medida no es una extensión del contenido, ya que el contenido puede no ser contablemente aditivo, y la medida puede incluso ser idénticamente cero incluso si el contenido no lo es. ${\displaystyle \lambda }$

En primer lugar, se restringe el contenido a conjuntos compactos. Esto da como resultado una función de conjuntos compactos con las siguientes propiedades: ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle C}$

1. ${\displaystyle \lambda (C)\in \ [0,\infty ]}$Para todos los conjuntos compactos ${\displaystyle C}$
2. ${\displaystyle \lambda (\varnothing )=0.}$
3. ${\displaystyle \lambda (C_{1})\leq \lambda (C_{2}){\text{ whenever }}C_{1}\subseteq C_{2}}$
4. ${\displaystyle \lambda (C_{1}\cup C_{2})\leq \lambda (C_{1})+\lambda (C_{2})}$para todos los pares de conjuntos compactos
5. ${\displaystyle \lambda (C_{1}\cup C_{2})=\lambda (C_{1})+\lambda (C_{2})}$para todos los pares de conjuntos compactos disjuntos.

También hay ejemplos de funciones como las anteriores que no se construyen a partir de contenidos. Un ejemplo lo da la construcción de una medida de Haar en un grupo localmente compacto . Un método para construir una medida de Haar de este tipo es producir una función invariante a la izquierda como la anterior en los subconjuntos compactos del grupo, que luego se puede extender a una medida invariante a la izquierda. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

Definición de conjuntos abiertos

Dado λ como se indica arriba, definimos una función μ en todos los conjuntos abiertos por Esto tiene las siguientes propiedades: $${\displaystyle \mu (U)=\sup _{C\subseteq U}\lambda (C).}$$

1. ${\displaystyle \mu (U)\in \ [0,\infty ]}$
2. ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$
3. ${\displaystyle \mu (U_{1})\leq \mu (U_{2}){\text{ whenever }}U_{1}\subseteq U_{2}}$
4. ${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n}U_{n}\right)\leq \sum _{n}\mu \left(U_{n}\right)}$para cualquier colección de conjuntos abiertos
5. ${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n}U_{n}\right)=\sum _{n}\mu \left(U_{n}\right)}$para cualquier colección de conjuntos abiertos disjuntos.

Definición en todos los conjuntos

Dado μ como se indica arriba, extendemos la función μ a todos los subconjuntos del espacio topológico mediante Esta es una medida externa , en otras palabras tiene las siguientes propiedades: $${\displaystyle \mu (A)=\inf _{A\subseteq U}\mu (U).}$$

1. ${\displaystyle \mu (A)\in \ [0,\infty ]}$
2. ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0.}$
3. ${\displaystyle \mu (A_{1})\leq \mu (A_{2}){\text{ whenever }}A_{1}\subseteq A_{2}}$
4. ${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n}A_{n}\right)\leq \sum _{n}\mu \left(A_{n}\right)}$para cualquier colección contable de conjuntos.

Construcción de una medida

La función μ anterior es una medida externa en la familia de todos los subconjuntos. Por lo tanto, se convierte en una medida cuando se restringe a los subconjuntos mensurables para la medida externa, que son los subconjuntos tales que para todos los subconjuntos Si el espacio es localmente compacto, entonces todo conjunto abierto es medible para esta medida. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mu (X)=\mu (X\cap E)+\mu (X\setminus E)}$ ${\displaystyle X.}$

La medida no coincide necesariamente con el contenido de los conjuntos compactos, pero sí si es regular en el sentido de que para cualquier compacto es la inf de para los conjuntos compactos que contienen en sus interiores. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle \lambda (C)}$ ${\displaystyle \lambda (D)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$

Véase también

• Contenido de Minkowski

Referencias

• Elstrodt, Jürgen (2018), Maß- und Integrationstheorie , Springer-Verlag
• Halmos, Paul (1950), Teoría de la medida , Van Nostrand and Co.
• Mayrhofer, Karl (1952), Inhalt und Mass (Contenido y medida) , Springer-Verlag, MR  0053185