medida de dirac

En matemáticas , una medida de Dirac asigna un tamaño a un conjunto basándose únicamente en si contiene un elemento fijo x o no. Es una forma de formalizar la idea de la función delta de Dirac , una herramienta importante en física y otros campos técnicos.

Definición

Una medida de Dirac es una medida $δ x$ en un conjunto $X$ (con cualquier $σ$ -álgebra de subconjuntos de $X$ ) definido para un $x \in X$ dado y cualquier conjunto (medible) $A \subseteq X$ por

\delta _{x}(A)=1_{A}(x)={\begin{cases}0,&x\not \in A;\\1,&x\in A.\end{cases} }

donde $1 A$ es la función indicadora de $A$ .

La medida de Dirac es una medida de probabilidad y, en términos de probabilidad , representa el resultado casi seguro $x$ en el espacio muestral $X.$ También podemos decir que la medida es un solo átomo en $x$ ; sin embargo, tratar la medida de Dirac como una medida atómica no es correcto cuando consideramos la definición secuencial de delta de Dirac, como el límite de una secuencia delta ^{[ dudoso – discutir ]} . Las medidas de Dirac son los puntos extremos del conjunto convexo de medidas de probabilidad en $X.$

El nombre es una formación posterior de la función delta de Dirac ; Considerada como una distribución de Schwartz , por ejemplo en la recta real , las medidas pueden considerarse un tipo especial de distribución. La identidad

\int _{X}f(y)\,\mathrm {d} \delta _{x}(y)=f(x),

que, en forma

\int _{X}f(y)\delta _{x}(y)\,\mathrm {d} y=f(x),

A menudo se considera parte de la definición de "función delta", y se considera un teorema de la integración de Lebesgue .

Propiedades de la medida de Dirac

Sea $δ x$ la medida de Dirac centrada en algún punto fijo $x$ en algún espacio mensurable $(X, Σ )$ .

$δ x$ es una medida de probabilidad y, por tanto, una medida finita .

Supongamos que $(X, T)$ es un espacio topológico y que $Σ$ es al menos tan fino como el σ -álgebra de Borel $σ (T)$ en $X.$

$δ x$ es una medida estrictamente positiva si y sólo si la topología $T$ es tal que $x$ se encuentra dentro de todo conjunto abierto no vacío, por ejemplo, en el caso de la topología trivial ${\emptyset, X}$ .
Dado que $δ x$ es una medida de probabilidad, también es una medida localmente finita .
Si $X$ es un espacio topológico de Hausdorff con su álgebra $σ$ de Borel , entonces $δ x$ satisface la condición de ser una medida regular interna , ya que los conjuntos singleton como ${x}$ son siempre compactos . Por tanto, $δ x$ también es una medida de radón .
Suponiendo que la topología $T$ es lo suficientemente fina como para que ${x}$ esté cerrado, como es el caso en la mayoría de las aplicaciones, el soporte de $δ x$ es ${x}$ . (De lo contrario, $supp(δ x)$ es el cierre de ${x}$ en $(X, T)$ .) Además, $δ x$ es la única medida de probabilidad cuyo soporte es ${x}$ .
Si $X$ es un espacio euclidiano $de n$ dimensiones $R$ $n$ con su $σ$ -álgebra habitual y una medida de Lebesgue de $n$ dimensiones $λ$ $n$ , entonces $δ$ $x$ es una medida singular con respecto a $λ$ $n$ : simplemente descomponga $R$ $n$ como $A$ $=$ $R$ $n$ $\ {$ $x$ $}$ y $B$ $= {$ $x$ $}$ y observa que $δ$ $x$ $($ $A$ $) =$ $λ$ $n$ $($ $B$ $) = 0$ .
La medida de Dirac es una medida sigma-finita .

Generalizaciones

Una medida discreta es similar a la medida de Dirac, excepto que se concentra en muchos puntos contables en lugar de en un solo punto. Más formalmente, una medida sobre la recta real se denomina medida discreta (con respecto a la medida de Lebesgue ) si su soporte es como máximo un conjunto contable .

Ver también

Referencias

Dieudonné, Jean (1976). "Ejemplos de medidas". Tratado de análisis, Parte 2 . Prensa académica. pag. 100.ISBN 0-12-215502-5.
Benedetto, Juan (1997). "§2.1.3 Definición, δ". Análisis armónicos y aplicaciones . Prensa CRC. pag. 72.ISBN 0-8493-7879-6.