medida joven

Medida en análisis matemático.

En análisis matemático , una medida de Young es una medida parametrizada que está asociada con ciertas subsecuencias de una secuencia limitada dada de funciones mensurables. Son una cuantificación del efecto de oscilación de la secuencia en el límite. Las medidas de Young tienen aplicaciones en el cálculo de variaciones , especialmente modelos de la ciencia de materiales, y el estudio de ecuaciones diferenciales parciales no lineales ^{[ se necesita desambiguación ]} , así como en diversos problemas de optimización (o control óptimo ). Llevan el nombre de Laurence Chisholm Young , quien los inventó, ya en 1937 en una dimensión (curvas) y posteriormente en dimensiones superiores en 1942. ^[1]

Las medidas de Young proporcionan una solución al vigésimo problema de Hilbert , ya que una amplia clase de problemas en el cálculo de variaciones tienen soluciones en forma de medidas de Young. ^[2]

Definición

Intuición

Young construyó la medida de Young para completar conjuntos de curvas ordinarias en el cálculo de variaciones. Es decir, las medidas de Young son "curvas generalizadas". ^[2]

Considere el problema de dónde es una función tal que y continuamente diferenciable. Está claro que debemos elegir un valor cercano a cero y su pendiente cercana a . Es decir, la curva debe ser una línea dentada estrecha que se acerque al eje x. Ninguna función puede alcanzar el valor mínimo de , pero podemos construir una secuencia de funciones que sean cada vez más irregulares, de modo que . ${\displaystyle \min _{u}I(u)=\int _{0}^{1}(u'(x)^{2}-1)^{2}+u(x)^{2}dx}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u(0)=u(1)=0}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle I=0}$ ${\displaystyle u_{1},u_{2},\dots }$ ${\displaystyle I(u_{n})\to 0}$

El límite puntual es idénticamente cero, pero el límite puntual no existe. En cambio, es una fina niebla que tiene la mitad de su peso encima y la otra mitad . ${\displaystyle \lim u_{n}}$ ${\displaystyle \lim _{n}u_{n}'}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle -1}$

Supongamos que es un funcional definido por , donde es continuo, entonces ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F(u)=\int _{0}^{1}f(t,u(t),u'(t))dt}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \lim _{n}F(u_{n})={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}f(t,0,-1)dt+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}f(t,0,+1)dt}$$

sentido débil ${\displaystyle \lim _{n}u_{n}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\delta _{-1}+{\frac {1}{2}}\delta _{+1}}$ ${\displaystyle I(\lim _{n}u_{n})=0}$

Motivación

La definición de medidas de Young está motivada por el siguiente teorema: Sean m , n números enteros positivos arbitrarios, un subconjunto acotado abierto de y una secuencia acotada en ^{[ aclaración necesaria ]} . Entonces existe una subsecuencia y para casi todas una medida de probabilidad de Borel tal que para cada una tenemos ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{p}(U,\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle \{f_{k_{j}}\}_{j=1}^{\infty }\subset \{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle \nu _{x}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle F\in C(\mathbb {R} ^{m})}$

${\displaystyle F\circ f_{k_{j}}(x){\rightharpoonup }\int _{\mathbb {R} ^{m}}F(y)d\nu _{x}(y)}$

débilmente en si el límite existe (o débilmente* en en caso de ). Las medidas se denominan medidas de Young generadas por la secuencia . ${\displaystyle L^{p}(U)}$ ${\displaystyle L^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle p=+\infty }$ ${\displaystyle \nu _{x}}$ ${\displaystyle \{f_{k_{j}}\}_{j=1}^{\infty }}$

También es cierto lo contrario: si para cada uno tenemos una medida de Borel tal que , entonces existe una secuencia , acotada en , que tiene la misma propiedad de convergencia débil que la anterior. ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle \nu _{x}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \int _{U}\int _{\mathbb {R} ^{m}}\|y\|^{p}d\nu _{x}(y)dx<+\infty }$ ${\displaystyle \{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }\subseteq L^{p}(U,\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle L^{p}(U,\mathbb {R} ^{m})}$

De manera más general, para cualquier función Carathéodory , el límite ${\displaystyle G(x,A):U\times R^{m}\to R}$

${\displaystyle \lim _{j\to \infty }\int _{U}G(x,f_{j}(x))\ dx,}$

si existe, estará dado por ^[3]

${\displaystyle \int _{U}\int _{\mathbb {R} ^{m}}G(x,A)\ d\nu _{x}(A)\ dx}$.

La idea original de Young en el caso era considerar para cada número entero la medida uniforme, digamos concentrada en la gráfica de la función (Aquí está la restricción de la medida de Lebesgue en ) Al tomar el límite débil* de estas medidas como elementos de tenemos ${\displaystyle G\in C_{0}(U\times \mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle j\geq 1}$ ${\displaystyle \Gamma _{j}:=(id,f_{j})_{\sharp }L^{d}\llcorner U,}$ ${\displaystyle f_{j}.}$ ${\displaystyle L^{d}\llcorner U}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle C_{0}(U\times \mathbb {R} ^{m})^{\star },}$

${\displaystyle \langle \Gamma _{j},G\rangle =\int _{U}G(x,f_{j}(x))\ dx\to \langle \Gamma ,G\rangle ,}$

¿Dónde está el límite débil mencionado? Después de una desintegración de la medida en el espacio del producto obtenemos la medida parametrizada . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Omega \times \mathbb {R} ^{m},}$ ${\displaystyle \nu _{x}}$

Definición general

Sean enteros positivos arbitrarios, sea un subconjunto abierto y acotado de y sea . Una medida de Young (con p -momentos finitos) es una familia de medidas de probabilidad de Borel tales que . ${\displaystyle m,n}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle \{\nu _{x}:x\in U\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \int _{U}\int _{\mathbb {R} ^{m}}\|y\|^{p}d\nu _{x}(y)dx<+\infty }$

Ejemplos

Secuencia convergente puntual

Un ejemplo trivial de medida de Young es cuando la secuencia está acotada y converge puntualmente en casi todas partes en una función . La medida de Young es entonces la medida de Dirac ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle L^{\infty }(U,\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \nu _{x}=\delta _{f(x)},\quad x\in U.}$

De hecho, según el teorema de convergencia dominada , converge débilmente* en ${\displaystyle F(f_{n}(x))}$ ${\displaystyle L^{\infty }(U)}$

${\displaystyle F(f(x))=\int F(y)\,{\text{d}}\delta _{f(x)}}$

para cualquier . ${\displaystyle F\in C(\mathbb {R} ^{n})}$

Secuencia de senos

Un ejemplo menos trivial es una secuencia

${\displaystyle f_{n}(x)=\sin(nx),\quad x\in (0,2\pi ).}$

La correspondiente medida de Young satisface ^[4]

${\displaystyle \nu _{x}(E)={\frac {1}{\pi }}\int _{E\cap [-1,1]}{\frac {1}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,{\text{d}}y,}$

para cualquier conjunto medible , independiente de . En otras palabras, para cualquier : ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x\in (0,2\pi )}$ ${\displaystyle F\in C(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle F(f_{n}){\rightharpoonup }^{*}{\frac {1}{\pi }}\int _{-1}^{1}{\frac {F(y)}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,{\text{d}}y}$

en . Aquí, la medida de Young no depende , por lo que el límite débil* es siempre una constante. ${\displaystyle L^{\infty }((0,2\pi ))}$ ${\displaystyle x}$

Para ver esto intuitivamente, considere que en el límite de grande , un rectángulo de capturaría una parte de la curva de . Tome esa parte capturada y proyéctela hacia el eje x. La longitud de esa proyección es , lo que significa que debería verse como una fina niebla que tiene densidad de probabilidad . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [x,x+\delta x]\times [y,y+\delta y]}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle {\frac {2\delta x\delta y}{\sqrt {1-y^{2}}}}}$ ${\displaystyle \lim _{n}f_{n}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\pi {\sqrt {1-y^{2}}}}}}$ ${\displaystyle x}$

Secuencia minimizadora

Para cada secuencia asintóticamente minimizante de ${\displaystyle u_{n}}$

${\displaystyle I(u)=\int _{0}^{1}(u'(x)^{2}-1)^{2}+u(x)^{2}dx}$

sujeta a (es decir, la secuencia satisface ), y quizás después de pasar a una subsecuencia, la secuencia de derivadas genera medidas de Young de la forma . Esto captura las características esenciales de todas las secuencias minimizadoras para este problema, es decir, sus derivadas tenderán a concentrarse a lo largo de los mínimos del integrando . ${\displaystyle u(0)=u(1)=0}$ ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }I(u_{n})=\inf _{u\in C^{1}([0,1])}I(u)}$ ${\displaystyle u'_{n}}$ ${\displaystyle \nu _{x}={\frac {1}{2}}\delta _{-1}+{\frac {1}{2}}\delta _{1}}$ ${\displaystyle u'_{k}(x)}$ ${\displaystyle \{-1,1\}}$ ${\displaystyle (u'(x)^{2}-1)^{2}+u(x)^{2}}$

Si tomamos , entonces su límite tiene valor cero y derivada , lo que significa . ${\displaystyle \lim _{n}{\frac {\sin(2\pi nt)}{2\pi n}}}$ ${\displaystyle \nu (dy)={\frac {1}{\pi {\sqrt {1-y^{2}}}}}dy}$ ${\displaystyle \lim I={\frac {1}{\pi }}\int _{-1}^{+1}(1-y^{2})^{3/2}dy}$

Referencias

1. Joven, LC (1942). "Superficies generalizadas en el cálculo de variaciones". Anales de Matemáticas . 43 (1): 84-103. doi :10.2307/1968882. ISSN  0003-486X. JSTOR  1968882.
2. Balder, Erik J. "Conferencias sobre medidas de Young". Cahiers de Mathématiques de la Décision 9517 (1995).
3. Pedregal, Pablo (1997). Medidas parametrizadas y principios variacionales. Basilea: Birkhäuser Verlag. ISBN 978-3-0348-8886-8. OCLC  812613013.
4. Dacorogna, Bernard (2006). Continuidad débil y semicontinuidad inferior débil de funcionales no lineales . Saltador.

• Bola, JM (1989). "Una versión del teorema fundamental de medidas de Young". En Rascle, M.; Serré, D.; Slemrod, M. (eds.). PDE y modelos continuos de transiciones de fase: actas de un seminario conjunto NSF-CNRS celebrado en Niza, Francia, del 18 al 22 de enero de 1988 . Apuntes de conferencias de física . vol. 344. Berlín: Springer. págs. 207-215. doi :10.1007/BFb0024945. ISBN 3-540-51617-4. ISSN  0075-8450.
• Castaing, Charles; Raynaud de Fitte, Paul; Valadier, Michel (2004). Medidas jóvenes en espacios topológicos: con aplicaciones en la teoría del control y la teoría de la probabilidad . Dordrecht: Kluwer Academic Publishers (ahora Springer). doi :10.1007/1-4020-1964-5. ISBN 978-1-4020-1963-0.
• LC Evans (1990). Métodos de convergencia débil para ecuaciones diferenciales parciales no lineales . Serie de conferencias regionales en matemáticas. Sociedad Matemática Estadounidense .
• S. Müller (1999). Modelos variacionales para microestructura y transiciones de fase. Apuntes de conferencias de matemáticas. Saltador .
• P. Pedregal (1997). Medidas parametrizadas y principios variacionales . Basilea: Birkhäuser. ISBN 978-3-0348-9815-7.
• T. Roubíček (2020). Relajación en la teoría de la optimización y el cálculo variacional (2ª ed.) . Berlín: W. de Gruyter. doi :10.1515/9783110590852. ISBN 978-3-11-059085-2.
• Valadier, M. (1990). "Medidas jóvenes". En Cellina, A. (ed.). Métodos de análisis no convexo . Apuntes de conferencias de matemáticas . vol. 1446. Berlín: Springer. págs. 152–188. doi :10.1007/BFb0084935. ISBN 3-540-53120-3.
• Young, LC (1937), "Curvas generalizadas y existencia de un mínimo absoluto alcanzado en el Cálculo de Variaciones", Comptes Rendus des Séances de la Société des Sciences et des Lettres de Varsovie , Classe III, XXX (7–9): 211–234, JFM  63.1064.01, Zbl  0019.21901, memoria presentada por Stanisław Saks en la sesión del 16 de diciembre de 1937 de la Sociedad de Ciencias y Letras de Varsovia. La copia gratuita en PDF está disponible a través del RCIN –Repositorio Digital de los Institutos Científicos.
• Young, LC (1969), Conferencias sobre cálculo de variaciones y control óptimo, Filadelfia – Londres – Toronto: WB Saunders , págs. xi+331, ISBN 9780721696409, SEÑOR  0259704, Zbl  0177.37801.

enlaces externos

• "Medida joven", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]