El vigésimo problema de Hilbert es uno de los 23 problemas de Hilbert incluidos en una célebre lista compilada en 1900 por David Hilbert . Pregunta si todos los problemas de valores en la frontera pueden resolverse (es decir, si los problemas variacionales con ciertas condiciones de frontera tienen soluciones).
Hilbert señaló que existían métodos para resolver ecuaciones diferenciales parciales donde los valores de la función se daban en el límite, pero el problema requería métodos para resolver ecuaciones diferenciales parciales con condiciones más complicadas en el límite (por ejemplo, que involucraran derivadas de la función), o para resolver problemas de cálculo de variación en más de una dimensión (por ejemplo, problemas de superficie mínima o problemas de curvatura mínima).
El planteamiento original del problema en su totalidad es el siguiente:
Un problema importante, íntimamente relacionado con el anterior [en referencia al problema diecinueve de Hilbert ], es la cuestión relativa a la existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales cuando los valores en el límite de la región están prescritos. Este problema se resuelve en lo principal mediante los agudos métodos de H. A. Schwarz, C. Neumann y Poincaré para la ecuación diferencial del potencial. Sin embargo, estos métodos parecen no ser generalmente capaces de una extensión directa al caso en que a lo largo del límite se prescriben los coeficientes diferenciales o cualquier relación entre estos y los valores de la función. Tampoco pueden extenderse inmediatamente al caso en que la investigación no se refiere a superficies potenciales sino, por ejemplo, a superficies de área mínima o superficies de curvatura gaussiana positiva constante, que deben pasar por una curva torcida prescrita o extenderse sobre una superficie de anillo dada. Estoy convencido de que será posible demostrar estos teoremas de existencia por medio de un principio general cuya naturaleza está indicada por el principio de Dirichlet . Este principio general quizás nos permitirá abordar la cuestión: ¿No tiene todo problema de variación regular una solución, siempre que se cumplan ciertos supuestos respecto de las condiciones de contorno dadas (por ejemplo, que las funciones implicadas en estas condiciones de contorno sean continuas y tengan en secciones una o más derivadas), y siempre que, si es necesario, la noción de solución se extienda adecuadamente? [1]
En el campo de las ecuaciones diferenciales , un problema de valor en la frontera es una ecuación diferencial junto con un conjunto de restricciones adicionales, llamadas condiciones de frontera . Una solución a un problema de valor en la frontera es una solución a la ecuación diferencial que también satisface las condiciones de frontera.
Para que un problema de valor en la frontera sea útil en las aplicaciones, debe estar bien planteado . Esto significa que, dada la entrada del problema, existe una solución única, que depende continuamente de la entrada. Gran parte del trabajo teórico en el campo de las ecuaciones diferenciales parciales se dedica a demostrar que los problemas de valor en la frontera que surgen de aplicaciones científicas y de ingeniería están, de hecho, bien planteados.