Función carathéodory

En análisis matemático , una función Carathéodory (o integrando Carathéodory) es una función multivariable que nos permite resolver el siguiente problema de manera efectiva: Una composición de dos funciones medibles de Lebesgue no tiene por qué ser también medibles de Lebesgue. Sin embargo, una composición de una función medible con una función continua es de hecho mensurable según Lebesgue, pero en muchas situaciones, la continuidad es un supuesto demasiado restrictivo. Las funciones carathéodory son más generales que las funciones continuas, pero aún permiten que una composición con función mensurable de Lebesgue sea mensurable. Las funciones de Carathéodory desempeñan un papel importante en el cálculo de variación y llevan el nombre del matemático griego Constantin Carathéodory .

Definición

${\displaystyle W:\Omega \times \mathbb {R} ^{N}\rightarrow \mathbb {R} \cup \left\{+\infty \right\}}$, para dotado de la medida de Lebesgue, es una función de Carathéodory si: ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{d}}$

1. El mapeo es medible según Lebesgue para cada . ${\displaystyle x\mapsto W\left(x,\xi \right)}$ ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{N}}$

2. el mapeo es continuo para casi todos . ${\displaystyle \xi \mapsto W\left(x,\xi \right)}$ ${\displaystyle x\in \Omega }$

El principal mérito de la función Carathéodory es el siguiente: si es una función Carathéodory y es medible según Lebesgue, entonces la composición es mensurable según Lebesgue. ^[1] ${\displaystyle W:\Omega \times \mathbb {R} ^{N}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle u:\Omega \rightarrow \mathbb {R} ^{N}}$ ${\displaystyle x\mapsto W\left(x,u\left(x\right)\right)}$

Ejemplo

Muchos problemas en el cálculo de variación se formulan de la siguiente manera: encontrar el minimizador del funcional donde está el espacio de Sobolev , el espacio formado por todas las funciones que son débilmente diferenciables y en las que se encuentran la función en sí y todas sus derivadas de primer orden ; y donde para algunos , una función Carathéodory. El hecho de que sea una función Carathéodory nos asegura que está bien definida. ${\displaystyle {\mathcal {F}}:W^{1,p}\left(\Omega ;\mathbb {R} ^{m}\right)\rightarrow \mathbb {R} \cup \left\{+\infty \right\}}$ ${\displaystyle W^{1,p}\left(\Omega ;\mathbb {R} ^{m}\right)}$ ${\displaystyle u:\Omega \rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle L^{p}\left(\Omega ;\mathbb {R} ^{m}\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[u\right]=\int _{\Omega }W\left(x,u\left(x\right),\nabla u\left(x\right)\right)dx}$ ${\displaystyle W:\Omega \times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{d\times m}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[u\right]=\int _{\Omega }W\left(x,u\left(x\right),\nabla u\left(x\right)\right)dx}$

p-crecimiento

Si es Carathéodory y satisface para algunos (esta condición se llama "crecimiento p"), ​​entonces donde es finito y continuo en la topología fuerte (es decir, en la norma) de . ${\displaystyle W:\Omega \times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{d\times m}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \left|W\left(x,v,A\right)\right|\leq C\left(1+\left|v\right|^{p}+\left|A\right|^{p}\right)}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}:W^{1,p}\left(\Omega ;\mathbb {R} ^{m}\right)\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[u\right]=\int _{\Omega }W\left(x,u\left(x\right),\nabla u\left(x\right)\right)dx}$ ${\displaystyle W^{1,p}\left(\Omega ;\mathbb {R} ^{m}\right)}$

Referencias

1. Rindler, Filip (2018). Cálculo de variación . Springer Cham. pag. 26-27.