Medida de Banach

En la disciplina matemática de la teoría de la medida , una medida de Banach es una forma determinada de asignar un tamaño (o área) a todos los subconjuntos del plano euclidiano , en consonancia con la medida de Lebesgue , pero extendiéndola . Si bien hay ciertos subconjuntos del plano que no son medibles mediante el método de Lebesgue , todos los subconjuntos del plano tienen una medida de Banach. Por otro lado, la medida de Lebesgue es contablemente aditiva , mientras que una medida de Banach es solo finitamente aditiva (y, por lo tanto, se la conoce como " de contenido ").

Stefan Banach demostró la existencia de medidas de Banach en 1923. ^[1] Esto estableció en particular que las descomposiciones paradójicas como las proporcionadas por la paradoja de Banach-Tarski en el espacio euclidiano R ³ no pueden existir en el plano euclidiano R ² .

Definición

Una medida de Banach ^[2] en R ⁿ es una función (que asigna un número real extendido no negativo a cada subconjunto de R ⁿ ) tal que ${\displaystyle \mu :{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\to [0,\infty ]}$

• μ es finitamente aditivo, es decir,para cualesquiera dosconjuntos disjuntos ; ${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)}$ ${\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$
• μ extiende la medida de Lebesgue λ , es decir,para cada conjunto medible por Lebesgue; ${\displaystyle \mu (A)=\lambda (A)}$ ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$
• μ es invariante bajo isometrías de R ⁿ , es decir,para today cada isometría. ${\displaystyle \mu (A)=\mu (f(A))}$ ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$

Propiedades

La aditividad finita de μ implica que y para cualquier conjunto disjunto por pares . También tenemos siempre que . ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$ ${\displaystyle \mu (A_{1}\cup \cdots \cup A_{k})=\sum _{i=1}^{k}\mu (A_{i})}$ ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mu (A)\leq \mu (B)}$ ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

Como μ extiende la medida de Lebesgue, sabemos que siempre que A sea un conjunto finito o contable y que para cualquier producto de intervalos . ${\displaystyle \mu (A)=0}$ ${\displaystyle \mu ([a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}])=(b_{1}-a_{1})\cdots (b_{n}-a_{n})}$ ${\displaystyle [a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{1},b_{1}]\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

Dado que μ es invariante bajo isometrías, es en particular invariante bajo rotaciones y traslaciones.

Resultados

Stefan Banach demostró que existen medidas de Banach en R ¹ y en R ² . Estos resultados se pueden derivar del hecho de que los grupos de isometrías de R ¹ y de R ² son resolubles .

La existencia de estas medidas demuestra la imposibilidad de una paradoja de Banach-Tarski en una o dos dimensiones: no es posible descomponer un conjunto unidimensional o bidimensional de medida de Lebesgue finita en un número finito de conjuntos que puedan reensamblarse en un conjunto con una medida de Lebesgue diferente, porque esto violaría las propiedades de la medida de Banach que extiende la medida de Lebesgue. ^[3]

Por el contrario, la existencia de la paradoja de Banach-Tarski en todas las dimensiones n ≥ 3 muestra que no puede existir ninguna medida de Banach en estas dimensiones.

Como muestra la paradoja de Vitali , las medidas de Banach no pueden fortalecerse para convertirse en medidas aditivas contables: existen subconjuntos de R ⁿ que no son medibles según el método de Lebesgue, para todo n ≥ 1 .

La mayoría de estos resultados dependen de alguna forma del axioma de elección . Utilizando sólo los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección, no es posible derivar la paradoja de Banach-Tarski, ni es posible probar la existencia de conjuntos que no sean medibles mediante el método de Lebesgue (la última afirmación depende de una suposición bastante débil y ampliamente aceptada, a saber, que la existencia de cardinales inaccesibles es consistente). La existencia de medidas de Banach en R ¹ y en R ² tampoco puede probarse en ausencia del axioma de elección. ^[4] En particular, no se puede dar una fórmula concreta para estas medidas de Banach.

Referencias

1. Banach, Stefan (1923). "Sobre el problema de la medida" (PDF) . Fundamentos Mathematicae . 4 : 7–33. doi : 10.4064/fm-4-1-7-33 . Consultado el 6 de marzo de 2022 .
2. Carro, Stan; Tomkowicz, Grzegorz (2016). La paradoja de Banach-Tarski (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 229.
3. Stewart, Ian (1996), De aquí al infinito , Oxford University Press, pág. 177, ISBN 9780192832023.
4. Carro, Stan; Tomkowicz, Grzegorz (2016). La paradoja de Banach-Tarski (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 296–302.