Mayor elemento y menor elemento

Elemento ≥ (o ≤) entre sí elemento

Diagrama de Hasse del conjunto de divisores de 60, parcialmente ordenados por la relación " divide ". El subconjunto rojo tiene un elemento mayor, a saber. 30, y un elemento mínimo, a saber. 1. Estos elementos también son elementos máximos y mínimos , respectivamente, del subconjunto rojo. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle S=\{1,2,3,5,6,10,15,30\}}$

En matemáticas , especialmente en teoría del orden , el mayor elemento de un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado (poset) es un elemento de que es mayor que cualquier otro elemento de . El término elemento mínimo se define dualmente , es decir, es un elemento de que es más pequeño que cualquier otro elemento de ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

Definiciones

Sea un conjunto preordenado y let Se dice que un elemento es el elemento mayor de si y si también satisface: ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle S\subseteq P.}$ ${\displaystyle g\in P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g\in S}$

${\displaystyle s\leq g}$para todos ${\displaystyle s\in S.}$

Al cambiar el lado de la relación que está activado en la definición anterior, se obtiene la definición de un elemento mínimo de . Explícitamente, se dice que un elemento es elemento mínimo de si y si también satisface: ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle l\in P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle l\in S}$

${\displaystyle l\leq s}$para todos ${\displaystyle s\in S.}$

Si también es un conjunto parcialmente ordenado , entonces puede tener como máximo un elemento mayor y puede tener como máximo un elemento mínimo. Siempre que existe un elemento mayor de y es único, este elemento se llama elemento mayor de . La terminología del elemento menor se define de manera similar. ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Si tiene un elemento mayor (o un elemento mínimo), entonces este elemento también se llama parte superior (o parte inferior ) de ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle (P,\leq ).}$

Relación con los límites superior/inferior

Los elementos más grandes están estrechamente relacionados con los límites superiores .

Sea un conjunto preordenado y let Un límite superior de in es un elemento tal que y para todos Es importante destacar que no es necesario que un límite superior de in sea un elemento de ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle S\subseteq P.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u\in P}$ ${\displaystyle s\leq u}$ ${\displaystyle s\in S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S.}$

Si entonces es un elemento mayor de si y solo si es un límite superior de in y En particular, cualquier elemento mayor de también es un límite superior de (in ) pero un límite superior de in es un elemento mayor de si y solo si pertenece a En el caso particular donde la definición de " es un límite superior de en " se convierte en: es un elemento tal que y para todos que es completamente idéntico a la definición de elemento mayor dada anteriormente. Por lo tanto, es un elemento mayor de si y sólo si es un límite superior de in . ${\displaystyle g\in P}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle g\in S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle P=S,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u\in S}$ ${\displaystyle s\leq u}$ ${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Si hay un límite superior de in que no es un límite superior de in (lo que puede suceder si y sólo si ) entonces no puede ser un elemento mayor de (sin embargo, es posible que algún otro elemento sea un elemento mayor de ). En particular, es posible que simultáneamente no tenga un elemento mayor y que exista algún límite superior de in . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle u\not \in S}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$

Incluso si un conjunto tiene algunos límites superiores, no es necesario que tenga un elemento mayor, como lo muestra el ejemplo de los números reales negativos . Este ejemplo también demuestra que la existencia de un límite superior mínimo (el número 0 en este caso) tampoco implica la existencia de un elemento mayor.

Contraste con elementos máximos y máximos locales/absolutos

En el orden de divisibilidad anterior, el subconjunto rojo tiene dos elementos máximos, a saber. 3 y 4, ninguno de los cuales es mayor. Tiene un elemento mínimo, a saber. 1, que también es su elemento mínimo. ${\displaystyle S=\{1,2,3,4\}}$

Un elemento mayor de un subconjunto de un conjunto preordenado no debe confundirse con un elemento máximo del conjunto, que son elementos que no son estrictamente más pequeños que cualquier otro elemento del conjunto.

Sea un conjunto preordenado y let Se dice que un elemento es un elemento máximo de si se cumple la siguiente condición: ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle S\subseteq P.}$ ${\displaystyle m\in S}$ ${\displaystyle S}$

siempre que satisface entonces necesariamente ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle m\leq s,}$ ${\displaystyle s\leq m.}$

Si es un conjunto parcialmente ordenado entonces es un elemento máximo de si y sólo si no existe ninguno tal que y Un elemento máximo de se define como un elemento máximo del subconjunto ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle m\in S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle m\leq s}$ ${\displaystyle s\neq m.}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle S:=P.}$

Un conjunto puede tener varios elementos máximos sin tener un elemento mayor. Al igual que los límites superiores y los elementos máximos, es posible que los elementos mayores no existan.

En un conjunto totalmente ordenado coinciden el elemento máximo y el elemento mayor; y también se le llama máximo ; en el caso de valores de funciones también se le llama máximo absoluto , para evitar confusión con un máximo local . ^[1] Los términos duales son mínimo y mínimo absoluto . Juntos se denominan extremos absolutos . Se aplican conclusiones similares para elementos mínimos.

Papel de la (in)comparabilidad en la distinción entre elementos mayores y máximos

Una de las diferencias más importantes entre un elemento mayor y un elemento máximo de un conjunto preordenado tiene que ver con con qué elementos son comparables. Se dice que dos elementos son comparables si o ; se les llama incomparables si no son comparables. Debido a que los pedidos anticipados son reflexivos (lo que significa que son válidos para todos los elementos ), cada elemento siempre es comparable consigo mismo. En consecuencia, los únicos pares de elementos que posiblemente podrían ser incomparables son los pares distintos . Sin embargo, en general, los conjuntos preordenados (e incluso los conjuntos dirigidos parcialmente ordenados) pueden tener elementos que son incomparables. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle x,y\in P}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle y\leq x}$ ${\displaystyle x\leq x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Por definición, un elemento es el elemento mayor de if para cada ; entonces, por su propia definición, un elemento mayor de debe, en particular, ser comparable a cada elemento en Esto no se requiere de los elementos máximos. No es necesario que los elementos máximos de sean comparables a todos los elementos de Esto se debe a que, a diferencia de la definición de "elemento mayor", la definición de "elemento máximo" incluye una declaración if importante . La condición definitoria para ser un elemento máximo de se puede reformular como: ${\displaystyle g\in P}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle s\leq g,}$ ${\displaystyle s\in P}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle P.}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle P.}$ ${\displaystyle m\in P}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$

Para todos los IF (por lo que se ignoran los elementos que son incomparables ), entonces ${\displaystyle s\in P,}$ ${\displaystyle m\leq s}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle s\leq m.}$

Ejemplo donde todos los elementos son máximos pero ninguno es mayor

Supongamos que es un conjunto que contiene al menos dos elementos (distintos) y define un orden parcial declarando que si y sólo si pertenece a entonces ni ni se cumple, lo que muestra que todos los pares de elementos distintos (es decir, no iguales) en son en comparables. En consecuencia, no es posible que tenga un elemento mayor (porque un elemento mayor de , en particular, tendría que ser comparable a cada elemento de, pero no tiene tal elemento). Sin embargo, cada elemento es un elemento máximo de porque hay exactamente un elemento que es comparable y ese elemento es él mismo (que, por supuesto, es ). ^{[nota 1]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle i=j.}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle j\leq i}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (S,\leq )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m\in S}$ ${\displaystyle (S,\leq )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \geq m,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \leq m}$

Por el contrario, si un conjunto preordenado tiene un elemento mayor , entonces necesariamente será un elemento máximo de y, además, como consecuencia de que el elemento mayor es comparable a cada elemento de , si también está parcialmente ordenado, entonces es posible concluir que es el único elemento máximo de Sin embargo, la conclusión de unicidad ya no está garantizada si el conjunto preordenado no está también parcialmente ordenado. Por ejemplo, supongamos que es un conjunto no vacío y defina un pedido anticipado declarando que siempre es válido para todos. El conjunto ordenado por adelantado dirigido está parcialmente ordenado si y solo si tiene exactamente un elemento. Todos los pares de elementos de son comparables y cada elemento de es un elemento mayor (y por lo tanto también un elemento máximo) de Entonces, en particular, si tiene al menos dos elementos, entonces tiene múltiples elementos mayores distintos . ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (P,\leq ).}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle i,j\in R.}$ ${\displaystyle (R,\leq )}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (R,\leq ).}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (R,\leq )}$

Propiedades

En todo momento, sea un conjunto parcialmente ordenado y sea ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle S\subseteq P.}$

• Un conjunto puede tener como máximo un elemento mayor. ^{[nota 2]} Por lo tanto, si un conjunto tiene un elemento mayor, entonces es necesariamente único. ${\displaystyle S}$
• Si existe, entonces el mayor elemento de es un límite superior de que también está contenido en ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$
• Si es el elemento mayor de entonces también es un elemento máximo de ^{[nota 3]} y además, cualquier otro elemento máximo de será necesariamente igual a ^{[nota 4]} ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g.}$
  • Por tanto, si un conjunto tiene varios elementos máximos, entonces no puede tener un elemento mayor. ${\displaystyle S}$
• Si satisface la condición de la cadena ascendente , un subconjunto de tiene un elemento mayor si, y solo si , tiene un elemento máximo. ^{[nota 5]} ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$
• Cuando la restricción de to es un orden total ( en la imagen superior hay un ejemplo), entonces las nociones de elemento máximo y elemento mayor coinciden. ^{[nota 6]} ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\{1,2,4\}}$
  • Sin embargo, esto no es una condición necesaria porque siempre que hay un elemento mayor, las nociones coinciden también, como se dijo anteriormente. ${\displaystyle S}$
• Si las nociones de elemento máximo y elemento mayor coinciden en cada subconjunto de dos elementos de entonces hay un orden total en ^{[nota 7]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle P.}$

Condiciones suficientes

• Una cadena finita siempre tiene un elemento mayor y un elemento menor.

Arriba y abajo

El elemento menor y mayor de todo el conjunto parcialmente ordenado juegan un papel especial y también se denominan inferior (⊥) y superior (⊤), o cero (0) y unidad (1), respectivamente. Si ambos existen, el poset se llama poset acotado . La notación de 0 y 1 se utiliza preferentemente cuando el poset es una red complementada y cuando no es probable que haya confusión, es decir, cuando no se habla de órdenes parciales de números que ya contienen elementos 0 y 1 diferentes de abajo y de arriba. La existencia de elementos mínimos y mayores es una propiedad especial de integridad de orden parcial.

Se encuentra más información introductoria en el artículo sobre teoría del orden .

Ejemplos

Diagrama de Hasse del ejemplo 2.

• El subconjunto de los números enteros no tiene límite superior en el conjunto de los números reales . ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Deje que la relación esté dada por El conjunto tiene límites superiores , pero no el límite superior mínimo, y ningún elemento mayor (cf. imagen). ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \{a,b,c,d\}}$ ${\displaystyle a\leq c,}$ ${\displaystyle a\leq d,}$ ${\displaystyle b\leq c,}$ ${\displaystyle b\leq d.}$ ${\displaystyle \{a,b\}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d,}$
• En los números racionales , el conjunto de números con su cuadrado menor que 2 tiene límites superiores pero ningún elemento mayor ni límite superior menor.
• En el conjunto de números, menos de 1 tiene un límite superior mínimo, a saber. 1, pero ningún elemento mayor. ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$
• En el conjunto de números menores o iguales a 1 tiene un elemento mayor, a saber. 1, que también es su límite superior mínimo. ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$
• En el orden del producto , el conjunto de pares no tiene límite superior. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle 0<x<1}$
• En el orden lexicográfico , este conjunto tiene límites superiores, por ejemplo, no tiene límite superior mínimo. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (1,0).}$

Ver también

• Esencial supremo y esencial ínfimo
• Objetos iniciales y terminales.
• Elementos máximos y mínimos.
• Límite superior y límite inferior (límite mínimo)
• Límites superior e inferior
• Buen orden : un orden no estricto tal que cada conjunto no vacío tiene un elemento mínimo

Notas

1. Por supuesto, en este ejemplo particular, solo existe un elemento que es comparable al cual es necesariamente él mismo, por lo que la segunda condición "y " era redundante. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \geq m,}$
2. Si y son ambos mayores, entonces y y por tanto por antisimetría . ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle g_{2}}$ ${\displaystyle g_{1}\leq g_{2}}$ ${\displaystyle g_{2}\leq g_{1},}$ ${\displaystyle g_{1}=g_{2}}$
3. Si es el mayor elemento de y entonces Por antisimetría , esto hace ( y ) imposible. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle s\leq g.}$ ${\displaystyle g\leq s}$ ${\displaystyle g\neq s}$
4. Si es un elemento máximo, entonces desde es mayor y, por tanto, desde es máximo. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\leq g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M=g}$ ${\displaystyle M}$
5. Sólo si: ver arriba. - Si: Supongamos que la contradicción tiene solo un elemento máximo, pero ningún elemento mayor. Dado que no es mayor, debe existir algo que sea incomparable a Por lo tanto , no puede ser máximo, es decir, debe ser válido para algunos Este último debe ser incomparable también, ya que contradice la maximalidad de y al mismo tiempo contradice la incomparabilidad de y Repitiendo este argumento, un infinito ascendente Se puede encontrar una cadena (de modo que cada una sea incomparable y no máxima). Esto contradice la condición de la cadena ascendente. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle s_{1}\in S}$ ${\displaystyle m.}$ ${\displaystyle s_{1}\in S}$ ${\displaystyle s_{1}<s_{2}}$ ${\displaystyle s_{2}\in S.}$ ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle m<s_{2}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle s_{2}\leq m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle s_{1}.}$ ${\displaystyle s_{1}<s_{2}<\cdots <s_{n}<\cdots }$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle m}$
6. Sea un elemento máximo, para cualquier o En el segundo caso, la definición de elemento máximo requiere eso, por lo que se deduce que En otras palabras, es un elemento mayor. ${\displaystyle m\in S}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle s\leq m}$ ${\displaystyle m\leq s.}$ ${\displaystyle m=s,}$ ${\displaystyle s\leq m.}$ ${\displaystyle m}$
7. Si fueran incomparables, entonces tendrían dos elementos máximos, pero ningún elemento mayor, que contradijeran la coincidencia. ${\displaystyle a,b\in P}$ ${\displaystyle S=\{a,b\}}$

Referencias

1. La noción de localidad requiere que el dominio de la función sea al menos un espacio topológico .

• Davey, Licenciatura en Letras; Priestley, HA (2002). Introducción a las celosías y al orden (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-78451-1.