Discontinuidades de funciones monótonas.

Los mapas monótonos tienen discontinuidades contables.

En el campo matemático del análisis , un conocido teorema describe el conjunto de discontinuidades de una función monótona de valor real de una variable real; todas las discontinuidades de tal función (monótona) son necesariamente discontinuidades de salto y, como máximo, hay un número contable de ellas.

Por lo general, este teorema aparece en la literatura sin nombre. Se le llama teorema de Froda en algunos trabajos recientes; En su disertación de 1929, Alexandru Froda afirmó que el resultado era bien conocido y había proporcionado su propia prueba elemental por conveniencia. ^[1] El trabajo previo sobre discontinuidades ya se había discutido en las memorias de 1875 del matemático francés Jean Gaston Darboux . ^[2]

Definiciones

Denota el límite desde la izquierda por

$${\displaystyle f\left(x^{-}\right):=\lim _{z\nearrow x}f(z)=\lim _{\stackrel {h\to 0}{h>0}}f(x-h)}$$

límite desde la derecha

$${\displaystyle f\left(x^{+}\right):=\lim _{z\searrow x}f(z)=\lim _{\stackrel {h\to 0}{h>0}}f(x+h).}$$

Si y existen y son finitos entonces la diferencia se llama salto ^[3] de en ${\displaystyle f\left(x^{+}\right)}$ ${\displaystyle f\left(x^{-}\right)}$ ${\displaystyle f\left(x^{+}\right)-f\left(x^{-}\right)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x.}$

Considere una función de valor real de una variable real definida en una vecindad de un punto. Si es discontinua en el punto, entonces la discontinuidad será una discontinuidad removible , o una discontinuidad esencial , o una discontinuidad de salto (también llamada discontinuidad del primer tipo ). . ^[4] Si la función es continua en entonces el salto en es cero. Además, si no es continuo en el salto puede ser cero en si ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f\left(x^{+}\right)=f\left(x^{-}\right)\neq f(x).}$

declaración precisa

Sea una función monótona de valor real definida en un intervalo. Entonces el conjunto de discontinuidades del primer tipo es como máximo contable . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I.}$

Se puede probar ^{[5] [3]} que todos los puntos de discontinuidad de una función monótona de valor real definida en un intervalo son discontinuidades de salto y, por tanto, según nuestra definición, del primer tipo. Con esta observación el teorema toma la forma más fuerte:

Sea una función monótona definida en un intervalo. Entonces el conjunto de discontinuidades es como máximo contable. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I.}$

Pruebas

Esta prueba comienza demostrando el caso especial donde el dominio de la función es un intervalo cerrado y acotado ^{[6] [7]} La ​​prueba del caso general se deriva de este caso especial. ${\displaystyle [a,b].}$

Prueba cuando el dominio es cerrado y acotado.

Se dan dos pruebas de este caso especial.

Prueba 1

Sea un intervalo y sea una función no decreciente (como una función creciente ). Entonces para cualquier ${\displaystyle I:=[a,b]}$ ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a<x<b,}$

$${\displaystyle f(a)~\leq ~f\left(a^{+}\right)~\leq ~f\left(x^{-}\right)~\leq ~f\left(x^{+}\right)~\leq ~f\left(b^{-}\right)~\leq ~f(b).}$$

${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle f\left(x_{i}^{+}\right)-f\left(x_{i}^{-}\right)\geq \alpha ,\ i=1,2,\ldots ,n}$$

Para cualquier cosa que en consecuencia, ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n,}$ ${\displaystyle f\left(x_{i}^{+}\right)\leq f\left(x_{i+1}^{-}\right)}$ ${\displaystyle f\left(x_{i+1}^{-}\right)-f\left(x_{i}^{+}\right)\geq 0.}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}f(b)-f(a)&\geq f\left(x_{n}^{+}\right)-f\left(x_{1}^{-}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left[f\left(x_{i}^{+}\right)-f\left(x_{i}^{-}\right)\right]+\sum _{i=1}^{n-1}\left[f\left(x_{i+1}^{-}\right)-f\left(x_{i}^{+}\right)\right]\\&\geq \sum _{i=1}^{n}\left[f\left(x_{i}^{+}\right)-f\left(x_{i}^{-}\right)\right]\\&\geq n\alpha \end{alignedat}}}$$

${\displaystyle n\leq {\frac {f(b)-f(a)}{\alpha }}.}$

Dado que tenemos que el número de puntos en los que el salto es mayor es finito (posiblemente incluso cero). ${\displaystyle f(b)-f(a)<\infty }$ ${\displaystyle \alpha }$

Defina los siguientes conjuntos:

$${\displaystyle S_{1}:=\left\{x:x\in I,f\left(x^{+}\right)-f\left(x^{-}\right)\geq 1\right\},}$$

$${\displaystyle S_{n}:=\left\{x:x\in I,{\frac {1}{n}}\leq f\left(x^{+}\right)-f\left(x^{-}\right)<{\frac {1}{n-1}}\right\},\ n\geq 2.}$$

Cada conjunto es finito o el conjunto vacío . La unión contiene todos los puntos en los que el salto es positivo y, por tanto, contiene todos los puntos de discontinuidad. Dado que cada uno es, como máximo, contable, su unión también es, como máximo, contable. ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle S=\bigcup _{n=1}^{\infty }S_{n}}$ ${\displaystyle S_{i},\ i=1,2,\ldots }$ ${\displaystyle S}$

Si no es creciente (o decreciente ), entonces la prueba es similar. Esto completa la prueba del caso especial donde el dominio de la función es un intervalo cerrado y acotado. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Prueba 2

Entonces, sea una función monótona y denotemos el conjunto de todos los puntos en el dominio de at que es discontinuo (que es necesariamente una discontinuidad de salto). ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle d\in [a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Debido a que tiene una discontinuidad de salto en entonces existe algún número racional que se encuentra estrictamente en el medio (específicamente, si luego elige de modo que mientras que si entonces elige de modo que se cumpla). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle d\in D,}$ ${\displaystyle f\left(d^{-}\right)\neq f\left(d^{+}\right)}$ ${\displaystyle y_{d}\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle f\left(d^{-}\right){\text{ and }}f\left(d^{+}\right)}$ ${\displaystyle f\nearrow }$ ${\displaystyle y_{d}\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle f\left(d^{-}\right)<y_{d}<f\left(d^{+}\right)}$ ${\displaystyle f\searrow }$ ${\displaystyle y_{d}\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle f\left(d^{-}\right)>y_{d}>f\left(d^{+}\right)}$

Ahora se demostrará que si son distintos, digamos con entonces Si entonces implica que Si por otro lado entonces implica que De cualquier manera, ${\displaystyle d,e\in D}$ ${\displaystyle d<e,}$ ${\displaystyle y_{d}\neq y_{e}.}$ ${\displaystyle f\nearrow }$ ${\displaystyle d<e}$ ${\displaystyle f\left(d^{+}\right)\leq f\left(e^{-}\right)}$ ${\displaystyle y_{d}<f\left(d^{+}\right)\leq f\left(e^{-}\right)<y_{e}.}$ ${\displaystyle f\searrow }$ ${\displaystyle d<e}$ ${\displaystyle f\left(d^{+}\right)\geq f\left(e^{-}\right)}$ ${\displaystyle y_{d}>f\left(d^{+}\right)\geq f\left(e^{-}\right)>y_{e}.}$ ${\displaystyle y_{d}\neq y_{e}.}$

Por lo tanto, cada está asociado con un número racional único (dicho de otra manera, el mapa definido por es inyectivo ). Dado que es contable, lo mismo debe ser cierto para ${\displaystyle d\in D}$ ${\displaystyle D\to \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle d\mapsto y_{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle D.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Prueba de caso general

Supongamos que el dominio de (una función monótona de valor real) es igual a una unión de un número contable de intervalos cerrados y acotados; digamos que su dominio es (no se imponen requisitos a estos intervalos cerrados y acotados ^[a] ). Del caso especial demostrado anteriormente se deduce que para cada índice la restricción de al intervalo tiene como máximo un número contable de discontinuidades; denota este conjunto (contable) de discontinuidades por Si tiene una discontinuidad en un punto de su dominio, entonces es igual a un punto final de uno de estos intervalos (es decir, ) o existe algún índice tal que, en cuyo caso debe ser un punto de discontinuidad para (es decir, ). Así, el conjunto de todos los puntos de en el cual es discontinuo es un subconjunto del cual es un conjunto contable (porque es una unión de muchos conjuntos contables contables), de modo que su subconjunto también debe ser contable (porque cada subconjunto de un conjunto contable es contable). ). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \bigcup _{n}\left[a_{n},b_{n}\right]}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{\left[a_{n},b_{n}\right]}:\left[a_{n},b_{n}\right]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left[a_{n},b_{n}\right]}$ ${\displaystyle D_{n}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}\in \bigcup _{n}\left[a_{n},b_{n}\right]}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}\in \left\{a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{n}<x_{0}<b_{n},}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{\left[a_{n},b_{n}\right]}}$ ${\displaystyle x_{0}\in D_{n}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left\{a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\ldots \right\}\cup \bigcup _{n}D_{n},}$ ${\displaystyle D}$

En particular, debido a que cada intervalo (incluidos los intervalos abiertos y los intervalos semiabiertos/cerrados) de números reales puede escribirse como una unión contable de intervalos cerrados y acotados, se deduce que cualquier función monótona de valor real definida en un intervalo tiene como máximo valores contables. muchas discontinuidades.

Para hacer este argumento más concreto, supongamos que el dominio de es un intervalo que no está cerrado ni acotado (y por lo tanto, según el teorema de Heine-Borel, no es compacto ). Entonces el intervalo se puede escribir como una unión contable de intervalos cerrados y acotados con la propiedad de que dos intervalos consecutivos cualesquiera tienen un punto final en común: Si entonces dónde hay una secuencia estrictamente decreciente tal que De manera similar si o si En cualquier intervalo hay Son como mucho contables muchos puntos de discontinuidad, y dado que una unión contable de conjuntos contables como máximo es contable como máximo, se deduce que el conjunto de todas las discontinuidades es como máximo contable. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle I=\cup _{n=1}^{\infty }I_{n}.}$ ${\displaystyle I=(a,b]{\text{ with }}a\geq -\infty }$ ${\displaystyle I_{1}=\left[\alpha _{1},b\right],\ I_{2}=\left[\alpha _{2},\alpha _{1}\right],\ldots ,I_{n}=\left[\alpha _{n},\alpha _{n-1}\right],\ldots }$ ${\displaystyle \left(\alpha _{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \alpha _{n}\rightarrow a.}$ ${\displaystyle I=[a,b),{\text{ with }}b\leq +\infty }$ ${\displaystyle I=(a,b){\text{ with }}-\infty \leq a<b\leq \infty .}$ ${\displaystyle I_{n},}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Funciones de salto

Ejemplos. Sea x ₁ < x ₂ < x ₃ < ⋅⋅⋅ un subconjunto contable del intervalo compacto [ a , b ] y sea μ ₁ , μ ₂ , μ ₃ , ... una secuencia positiva con suma finita. Colocar

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu _{n}\chi _{[x_{n},b]}(x)}$

donde χ _A denota la función característica de un intervalo compacto A. Entonces f es una función no decreciente en [ a , b ], que es continua excepto por las discontinuidades de salto en x _n para n ≥ 1. En el caso de un número finito de discontinuidades de salto, f es una función escalonada . Los ejemplos anteriores son funciones escalonadas generalizadas; son casos muy especiales de las llamadas funciones de salto o funciones saltus. ^{[8] [9]}

De manera más general, el análisis de funciones monótonas ha sido estudiado por muchos matemáticos, empezando por Abel, Jordan y Darboux. Siguiendo a Riesz y Sz.-Nagy (1990), reemplazando una función por su negativa si es necesario, sólo se debe considerar el caso de funciones no negativas y no decrecientes. El dominio [ a , b ] puede ser finito o tener ∞ o −∞ como puntos finales.

La tarea principal es construir funciones monótonas (funciones escalonadas generalizadoras) con discontinuidades en un conjunto numerable dado de puntos y con discontinuidades izquierda y derecha prescritas en cada uno de estos puntos. Sea x _n ( n ≥ 1 ) estar en ( a , b ) y tome λ ₁ , λ ₂ , λ ₃ , ... y μ ₁ , μ ₂ , μ ₃ , ... no negativos con suma finita y con λ _norte + μ _norte > 0 para cada norte . Definir

${\displaystyle f_{n}(x)=0\,\,}$para​ ${\displaystyle \,\,x<x_{n},\,\,f_{n}(x_{n})=\lambda _{n},\,\,f_{n}(x)=\lambda _{n}+\mu _{n}\,\,}$ ${\displaystyle \,\,x>x_{n}.}$

Entonces la función de salto , o función saltus , definida por

${\displaystyle f(x)=\,\,\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)=\,\,\sum _{x_{n}\leq x}\lambda _{n}+\sum _{x_{n}<x}\mu _{n},}$

no es decreciente en [ a , b ] y es continuo excepto por discontinuidades de salto en x _n para n ≥ 1. ^{[10] [11] [12] [13]}

Para probar esto, tenga en cuenta que sup | f _norte | = λ _n + μ _n , de modo que Σ f _n converge uniformemente a f . Pasando al límite, se deduce que

${\displaystyle f(x_{n})-f(x_{n}-0)=\lambda _{n},\,\,\,f(x_{n}+0)-f(x_{n})=\mu _{n},\,\,\,}$y ${\displaystyle \,\,f(x\pm 0)=f(x)}$

si x no es uno de los x _n . ^[10]

Por el contrario, mediante un teorema de diferenciación de Lebesgue , la función de salto f está determinada únicamente por las propiedades: ^[14] (1) ser no decreciente y no positiva; (2) haber dado datos de salto en sus puntos de discontinuidad x _n ; (3) satisfacer la condición de frontera f ( a ) = 0; y (4) tener derivada cero en casi todas partes .

Como se explica en Riesz y Sz.-Nagy (1990), cada función no decreciente y no negativa F puede descomponerse únicamente como una suma de una función de salto f y una función monótona continua g : la función de salto f se construye usando la salta datos de la función monótona original F y es fácil comprobar que g = F − f es continua y monótona. ^[10]

Ver también

• Función continua  : función matemática sin cambios bruscos
• Variación acotada  : función real con variación total finita
• Función monótona

Notas

1. Entonces, por ejemplo, estos intervalos no necesitan ser separados por pares ni es necesario que se crucen solo en los puntos finales. Incluso es posible que para todos ${\displaystyle \left[a_{n},b_{n}\right]\subseteq \left[a_{n+1},b_{n+1}\right]}$ ${\displaystyle n}$

Referencias

1. Froda, Alexandre (3 de diciembre de 1929). Sur la Distribution des propriétés de voisinage desfunctions de variables réelles (PDF) (Tesis). París: Hermann. JFM  55.0742.02.
2. Jean Gaston Darboux , Mémoire sur les fonctions discontinus, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 2-ème série, t. IV, 1875, Capítulo VI.
3. Nicolescu, Dinculeanu y Marcus 1971, pág. 213.
4. Rudin 1964, Def. 4.26, págs. 81–82.
5. Rudin 1964, Corolario, p. 83.
6. Apóstol 1957, págs. 162-3.
7. Hobson 1907, pag. 245.
8. Apóstol 1957.
9. Riesz y Sz.-Nagy 1990.
10. Riesz y Sz.-Nagy 1990, págs. 13-15
11. Saks 1937.
12. Natanson 1955.
13. Łojasiewicz 1988.
14. Para más detalles, consulte
    • Riesz y Sz.-Nagy 1990
    • Joven y joven 1911
    • von Neumann 1950
    • Boas 1961
    • Lipinski 1961
    • Rubel 1963
    • Komórnik 2016
15. Burkill 1951, págs. 10-11.
16. Rubel 1963
17. Komornik 2016
18. Este es un ejemplo sencillo de cómo se aplica la dimensión de cobertura de Lebesgue en una dimensión real; véase, por ejemplo, Edgar (2008).

Bibliografía

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