En análisis matemático , una curva de Osgood es una curva que no se interseca y tiene un área positiva . A pesar de su área, no es posible que una curva de este tipo cubra ninguna región bidimensional , lo que las distingue de las curvas que llenan el espacio . Las curvas de Osgood llevan el nombre de William Fogg Osgood .
Una curva en el plano euclidiano se define como una curva de Osgood cuando no se interseca a sí misma (es decir, es una curva de Jordan o un arco de Jordan ) y tiene un área positiva. [1] Más formalmente, debe tener una medida de Lebesgue bidimensional positiva .
Las curvas de Osgood tienen dimensión dos de Hausdorff, como las curvas que llenan el espacio . Sin embargo, no pueden ser curvas que llenen el espacio: según el teorema de Netto , cubrir todos los puntos del plano, o de cualquier región bidimensional del plano, conduciría a autointersecciones. [2]
Los primeros ejemplos de curvas de Osgood fueron encontrados por William Fogg Osgood (1903) y Henri Lebesgue (1903). Ambos ejemplos tienen un área positiva en partes de la curva, pero un área cero en otras partes; este defecto fue corregido por Knopp (1917), quien encontró una curva que tiene área positiva en cada vecindad de cada uno de sus puntos, basándose en una construcción anterior de Wacław Sierpiński . El ejemplo de Knopp tiene la ventaja adicional de que su área puede acercarse arbitrariamente al área de su casco convexo . [3]
Es posible modificar la construcción recursiva de ciertos fractales y curvas de relleno de espacio para obtener una curva de Osgood. [4] Por ejemplo, la construcción de Knopp implica dividir triángulos de forma recursiva en pares de triángulos más pequeños, que se encuentran en un vértice compartido, eliminando cuñas triangulares. Cuando cada nivel de esta construcción elimina la misma fracción del área de sus triángulos, el resultado es un fractal de Cesàro como el copo de nieve de Koch . En cambio, reducir la fracción de área eliminada por nivel, lo suficientemente rápido como para dejar una fracción constante del área sin eliminar, produce una curva de Osgood. [3]
Otra forma de construir una curva de Osgood es formar una versión bidimensional del conjunto de Smith-Volterra-Cantor , un conjunto de puntos totalmente desconectado con área distinta de cero, y luego aplicar el teorema de Denjoy-Riesz según el cual todo acotado y totalmente El subconjunto desconectado del plano es un subconjunto de una curva de Jordan. [5]