Henri Léon Lebesgue ForMemRS [1] ( en francés: [ɑ̃ʁi leɔ̃ ləbɛɡ] ; 28 de junio de 1875 - 26 de julio de 1941) fue un matemático francés conocido por su teoría de la integración , que era una generalización del concepto de integración del siglo XVII: sumar el área entre un eje y la curva de una función definida para ese eje. Su teoría fue publicada originalmente en su disertación Intégrale, longueur, aire ("Integral, longitud, área") en la Universidad de Nancy durante 1902. [3] [4]
Henri Lebesgue nació el 28 de junio de 1875 en Beauvais , Oise . Su padre era tipógrafo y su madre, maestra de escuela . Sus padres reunieron en casa una biblioteca que el joven Henri pudo utilizar. Su padre murió de tuberculosis cuando Lebesgue era aún muy joven y su madre tuvo que mantenerlo sola. Como mostró un talento notable para las matemáticas en la escuela primaria, uno de sus instructores organizó el apoyo de la comunidad para continuar su educación en el Collège de Beauvais y luego en el Lycée Saint-Louis y el Lycée Louis-le-Grand en París . [5]
En 1894, Lebesgue fue aceptado en la Escuela Normal Superior , donde continuó centrando su energía en el estudio de las matemáticas, graduándose en 1897. Después de la graduación, permaneció en la Escuela Normal Superior durante dos años, trabajando en la biblioteca, donde se enteró de la investigación sobre la discontinuidad realizada en ese momento por René-Louis Baire , un recién graduado de la escuela. Al mismo tiempo, comenzó sus estudios de posgrado en la Sorbona , donde conoció el trabajo de Émile Borel sobre la incipiente teoría de la medida y el trabajo de Camille Jordan sobre la medida de Jordan . En 1899 se trasladó a un puesto de profesor en el Lycée Central de Nancy , mientras continuaba trabajando en su doctorado. En 1902 obtuvo su doctorado en la Sorbona con la tesis seminal sobre "Integral, Longitud, Área", presentada con Borel, cuatro años mayor, como asesor. [6]
Lebesgue se casó con la hermana de uno de sus compañeros de estudios y él y su esposa tuvieron dos hijos, Suzanne y Jacques.
Después de publicar su tesis, en 1902 le ofrecieron un puesto en la Universidad de Rennes , donde impartió clases hasta 1906, cuando se trasladó a la Facultad de Ciencias de la Universidad de Poitiers . En 1910, Lebesgue se trasladó a la Sorbona como maître de conférences , siendo promovido a profesor a partir de 1919. En 1921 dejó la Sorbona para convertirse en profesor de matemáticas en el Collège de France , donde impartió clases e investigó durante el resto de su vida. [7] En 1922 fue elegido miembro de la Académie des Sciences . Henri Lebesgue murió el 26 de julio de 1941 en París . [6]
El primer artículo de Lebesgue se publicó en 1898 y se tituló "Sur l'approximation des fonctions". Trataba del teorema de Weierstrass sobre la aproximación a funciones continuas mediante polinomios. Entre marzo de 1899 y abril de 1901, Lebesgue publicó seis notas en Comptes Rendus . La primera de ellas, no relacionada con su desarrollo de la integración de Lebesgue, trataba de la extensión del teorema de Baire a funciones de dos variables. Las cinco siguientes trataban de superficies aplicables a un plano, el área de polígonos oblicuos , integrales de superficie de área mínima con un límite dado y la nota final daba la definición de integración de Lebesgue para alguna función f(x). La gran tesis de Lebesgue, Intégrale, longueur, aire , con el relato completo de este trabajo, apareció en los Annali di Matematica en 1902. El primer capítulo desarrolla la teoría de la medida (véase Medida de Borel ). En el segundo capítulo define la integral tanto geométrica como analíticamente. Los capítulos siguientes amplían las notas de Comptes Rendus que tratan sobre longitud, área y superficies aplicables. El capítulo final trata principalmente del problema de Plateau . Esta disertación se considera una de las mejores jamás escritas por un matemático. [1]
Sus conferencias de 1902 a 1903 fueron recopiladas en un " tratado de Borel " Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives . El problema de la integración considerado como la búsqueda de una función primitiva es la tónica del libro. Lebesgue presenta el problema de la integración en su contexto histórico, dirigiéndose a Augustin-Louis Cauchy , Peter Gustav Lejeune Dirichlet y Bernhard Riemann . Lebesgue presenta seis condiciones que es deseable que la integral satisfaga, la última de las cuales es "Si la secuencia f n (x) aumenta hasta el límite f(x), la integral de f n (x) tiende a la integral de f(x)". Lebesgue muestra que sus condiciones conducen a la teoría de la medida y las funciones mensurables y las definiciones analíticas y geométricas de la integral.
En 1903, en su artículo "Sur les séries trigonométriques", se dedicó a las funciones trigonométricas . En este trabajo, expuso tres teoremas importantes: que una serie trigonométrica que representa una función acotada es una serie de Fourier, que el n -ésimo coeficiente de Fourier tiende a cero (el lema de Riemann-Lebesgue ) y que una serie de Fourier es integrable término a término. En 1904-1905, Lebesgue dio una nueva conferencia en el Collège de France , esta vez sobre series trigonométricas, y publicó sus conferencias en otro de los "tratados de Borel". En este tratado, trata nuevamente el tema en su contexto histórico. Expone sobre las series de Fourier, la teoría de Cantor-Riemann, la integral de Poisson y el problema de Dirichlet .
En un artículo de 1910, "Representación trigonométrica aproximada de funciones que satisfacen una condición de Lipschitz", se trata la serie de Fourier de funciones que satisfacen una condición de Lipschitz , con una evaluación del orden de magnitud del término restante. También demuestra que el lema de Riemann-Lebesgue es el mejor resultado posible para funciones continuas y da algún tratamiento a las constantes de Lebesgue .
Lebesgue escribió una vez: "Réduites à des théories générales, les mathématiques seraient une belle forme sans contenu". ("Reducidas a teorías generales, las matemáticas serían una hermosa forma sin contenido").
En el análisis de teoría de la medida y ramas relacionadas de las matemáticas, la integral de Lebesgue-Stieltjes generaliza la integración de Riemann-Stieltjes y Lebesgue, preservando las numerosas ventajas de esta última en un marco de teoría de la medida más general.
Durante el curso de su carrera, Lebesgue también hizo incursiones en los campos del análisis complejo y la topología . También tuvo un desacuerdo con Émile Borel sobre qué integral era más general. [8] [9] [10] [11] Sin embargo, estas incursiones menores palidecen en comparación con sus contribuciones al análisis real ; sus contribuciones a este campo tuvieron un tremendo impacto en la forma del campo actual y sus métodos se han convertido en una parte esencial del análisis moderno. Estos tienen importantes implicaciones prácticas para la física fundamental de las que Lebesgue habría sido completamente inconsciente, como se señala a continuación.
La integración es una operación matemática que corresponde a la idea informal de hallar el área bajo la gráfica de una función . La primera teoría de la integración fue desarrollada por Arquímedes en el siglo III a. C. con su método de cuadraturas , pero esta podía aplicarse solo en circunstancias limitadas con un alto grado de simetría geométrica. En el siglo XVII, Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz descubrieron la idea de que la integración estaba intrínsecamente ligada a la diferenciación , siendo esta última una forma de medir la rapidez con la que una función cambiaba en cualquier punto dado de la gráfica. Esta sorprendente relación entre dos operaciones geométricas importantes en cálculo, la diferenciación y la integración, ahora se conoce como el Teorema Fundamental del Cálculo . Ha permitido a los matemáticos calcular una amplia clase de integrales por primera vez. Sin embargo, a diferencia del método de Arquímedes, que se basaba en la geometría euclidiana , los matemáticos sentían que el cálculo integral de Newton y Leibniz no tenía una base rigurosa.
La noción matemática de límite y la noción estrechamente relacionada de convergencia son fundamentales para cualquier definición moderna de integración. En el siglo XIX, Karl Weierstrass desarrolló la rigurosa definición épsilon-delta de un límite, que todavía es aceptada y utilizada por los matemáticos en la actualidad. Se basó en el trabajo previo pero no riguroso de Augustin Cauchy , quien había utilizado la noción no estándar de números infinitesimalmente pequeños , hoy rechazada en el análisis matemático estándar . Antes de Cauchy, Bernard Bolzano había sentado las bases fundamentales de la definición épsilon-delta. Ver aquí para más información.
Bernhard Riemann continuó con esta idea y formalizó lo que ahora se denomina la integral de Riemann . Para definir esta integral, se llena el área bajo el gráfico con rectángulos cada vez más pequeños y se toma el límite de las sumas de las áreas de los rectángulos en cada etapa. Sin embargo, para algunas funciones, el área total de estos rectángulos no se acerca a un solo número. Por lo tanto, no tienen integral de Riemann.
Lebesgue inventó un nuevo método de integración para resolver este problema. En lugar de utilizar las áreas de los rectángulos, que ponen el foco en el dominio de la función, Lebesgue observó el codominio de la función como su unidad fundamental de área. La idea de Lebesgue fue definir primero la medida, tanto para los conjuntos como para las funciones en esos conjuntos. Luego procedió a construir la integral para lo que llamó funciones simples ; funciones mensurables que toman solo un número finito de valores. Luego la definió para funciones más complicadas como el límite superior mínimo de todas las integrales de funciones simples más pequeñas que la función en cuestión.
La integración de Lebesgue tiene la propiedad de que toda función definida en un intervalo acotado con una integral de Riemann también tiene una integral de Lebesgue, y para esas funciones las dos integrales coinciden. Además, toda función acotada en un intervalo acotado cerrado tiene una integral de Lebesgue y hay muchas funciones con una integral de Lebesgue que no tienen una integral de Riemann.
Como parte del desarrollo de la integración de Lebesgue, Lebesgue inventó el concepto de medida , que extiende la idea de longitud de los intervalos a una clase muy grande de conjuntos, llamados conjuntos mensurables (por lo que, más precisamente, las funciones simples son funciones que toman un número finito de valores, y cada valor se toma en un conjunto medible). La técnica de Lebesgue para convertir una medida en una integral se generaliza fácilmente a muchas otras situaciones, lo que conduce al campo moderno de la teoría de la medida .
La integral de Lebesgue es deficiente en un aspecto. La integral de Riemann se generaliza a la integral de Riemann impropia para medir funciones cuyo dominio de definición no es un intervalo cerrado . La integral de Lebesgue integra muchas de estas funciones (siempre reproduciendo la misma respuesta cuando lo hace), pero no todas. Para funciones en la línea real, la integral de Henstock es una noción aún más general de integral (basada en la teoría de Riemann en lugar de la de Lebesgue) que subsume tanto la integración de Lebesgue como la integración de Riemann impropia. Sin embargo, la integral de Henstock depende de características de ordenamiento específicas de la línea real y, por lo tanto, no se generaliza para permitir la integración en espacios más generales (por ejemplo, variedades ), mientras que la integral de Lebesgue se extiende a tales espacios de manera bastante natural.
La afirmación de Borel de que su integral era más general en comparación con la integral de Lebesgue fue la causa de la disputa entre Borel y Lebesgue en las páginas deAnnales
de l'École Supérieure
35
(1918),
36
(1919),
37
(1920)
Medios relacionados con Henri-Léon Lebesgue en Wikimedia Commons