Un triángulo equilátero de diámetro 1 no cabe dentro de un círculo de diámetro 1
El problema de cobertura universal de Lebesgue es un problema no resuelto en geometría que pide la forma convexa del área más pequeña que puede cubrir cada conjunto plano de diámetro uno. El diámetro de un conjunto, por definición, es el límite superior mínimo de las distancias entre todos los pares de puntos del conjunto. Una forma cubre un conjunto si contiene un subconjunto congruente. En otras palabras, el conjunto se puede rotar, trasladar o reflejar para que quepa dentro de la forma.
Problema no resuelto en matemáticas :
¿Cuál es el área mínima de una forma convexa que puede cubrir cada conjunto plano de diámetro?
El problema fue planteado por Henri Lebesgue en una carta a Gyula Pál en 1914. Fue publicado en un artículo de Pál en 1920 junto con el análisis de Pál. [1] Demostró que una cubierta para todas las curvas de ancho constante es también una cubierta para todos los conjuntos de diámetro uno y que se puede construir una cubierta tomando un hexágono regular con un círculo inscrito de diámetro uno y quitando dos esquinas del hexágono para cubrir el área
La forma delineada en negro es la solución de Pál al problema de cobertura universal de Lebesgue. En su interior se han incluido formas planas de diámetro uno: un círculo (en azul), un triángulo de Reuleaux (en rojo) y un cuadrado (en verde).
En 1936, Roland Sprague demostró que una parte de la portada de Pál se podía quitar cerca de una de las otras esquinas manteniendo su propiedad como portada. [2] Esto redujo el límite superior del área a .
Límites actuales
Después de una secuencia de mejoras a la solución de Sprague, cada una de las cuales eliminaba pequeñas esquinas de la solución, [3] [4]
una preimpresión de 2018 de Philip Gibbs afirmó el mejor límite superior conocido, una reducción adicional al área 0,8440935944. [5] [6]
El límite inferior más conocido para el área fue proporcionado por Peter Brass y Mehrbod Sharifi utilizando una combinación de tres formas en alineación óptima, lo que demuestra que el área de una cobertura óptima es al menos 0,832. [7]
Ver también
Problema del gusano de Moser : ¿cuál es el área mínima de una forma que puede cubrir cada curva de longitud unitaria?
Problema del sofá en movimiento , el problema de encontrar una forma de área máxima que pueda rotarse y trasladarse a través de un corredor en forma de L
Conjunto Kakeya , un conjunto de área mínima que puede acomodar cada segmento de línea de longitud unitaria (con traslaciones permitidas, pero no rotaciones)
Teorema de selección de Blaschke , que puede utilizarse para demostrar que el problema de cobertura universal de Lebesgue tiene solución.
Referencias
^ Pál, J. (1920). "'Über ein elementares Variationsproblem". Danske Mat.-Fys. Meddelelser III . 2 .
^ Sprague, R. (1936). "Über ein elementares Problema de variaciones". Matematiska Tidsskrift Ser. B : 96–99. JSTOR 24530328.
^ Hansen, HC (1992). “Pequeñas tapas universales para juegos de diámetro unitario”. Geometriae Dedicata . 42 (2): 205–213. doi :10.1007/BF00147549. SEÑOR 1163713. S2CID 122081393.
^ Báez, John C .; Bagdasaryan, Karine; Gibbs, Felipe (2015). "El problema de la cobertura universal de Lebesgue". Revista de geometría computacional . 6 : 288–299. arXiv : 1502.01251 . doi : 10.20382/jocg.v6i1a12. SEÑOR 3400942. S2CID 20752239.
^ Gibbs, Philip (23 de octubre de 2018). "Un límite superior para el problema de cobertura de Lebesgue". arXiv : 1810.10089 [matemáticas.MG].
^ "Un matemático aficionado encuentra la cobertura universal más pequeña". Revista Quanta . Archivado desde el original el 14 de enero de 2019 . Consultado el 16 de noviembre de 2018 .
