Conjunto no medible

Conjunto al que no se le puede asignar un "volumen" significativo

En matemáticas , un conjunto no medible es un conjunto al que no se le puede asignar un "volumen" significativo. Se interpreta que la existencia matemática de tales conjuntos proporciona información sobre las nociones de longitud , área y volumen en la teoría formal de conjuntos. En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , el axioma de elección implica que existen subconjuntos de no mensurables . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

La noción de conjunto no mensurable ha sido fuente de gran controversia desde su introducción. Históricamente, esto llevó a Borel y Kolmogorov a formular la teoría de la probabilidad en conjuntos que están obligados a ser mensurables. Los conjuntos medibles en la línea son uniones contables iteradas e intersecciones de intervalos (llamados conjuntos de Borel ) conjuntos nulos más-menos . Estos conjuntos son lo suficientemente ricos como para incluir todas las definiciones imaginables de conjunto que surgen en las matemáticas estándar, pero requieren mucho formalismo para demostrar que los conjuntos son mensurables.

En 1970, Robert M. Solovay construyó el modelo de Solovay , que muestra que es consistente con la teoría de conjuntos estándar sin opciones incontables, que todos los subconjuntos de los reales son mensurables. Sin embargo, el resultado de Solovay depende de la existencia de un cardinal inaccesible , cuya existencia y consistencia no pueden probarse dentro de la teoría de conjuntos estándar.

Construcciones históricas

El primer indicio de que podría haber un problema al definir la longitud de un conjunto arbitrario provino del teorema de Vitali . ^[1] Una construcción combinatoria más reciente que es similar a la construcción de Robin Thomas de un conjunto medible no Lebesgue con algunas propiedades adicionales apareció en American Mathematical Monthly. ^[2]

Se esperaría que la medida de la unión de dos conjuntos disjuntos fuera la suma de la medida de los dos conjuntos. Una medida con esta propiedad natural se llama finitamente aditiva . Si bien una medida finitamente aditiva es suficiente para la mayor parte de la intuición de área y es análoga a la integración de Riemann , se considera insuficiente para la probabilidad , porque los tratamientos modernos convencionales de secuencias de eventos o variables aleatorias exigen aditividad contable .

En este sentido, el avión es similar a la línea; existe una medida finitamente aditiva, que extiende la medida de Lebesgue, que es invariante en todas las isometrías . Para dimensiones más altas el panorama empeora. La paradoja de Hausdorff y la paradoja de Banach-Tarski muestran que una bola tridimensional de radio 1 se puede diseccionar en 5 partes que se pueden volver a ensamblar para formar dos bolas de radio 1.

Ejemplo

Considere el conjunto de todos los puntos en el círculo unitario y la acción de un grupo que consta de todas las rotaciones racionales (rotaciones por ángulos que son múltiplos racionales de ). Aquí es contable (más específicamente, es isomorfo a ) mientras que es incontable. Por lo tanto , se divide en incontables órbitas ( la órbita de es el conjunto contable ). Usando el axioma de elección , podríamos elegir un solo punto de cada órbita, obteniendo un subconjunto incontable con la propiedad de que todas las traducciones racionales (copias traducidas de la forma para algún racional ) ^[3] de por son disjuntas por pares (es decir, disjuntos entre sí). El conjunto de esas traducciones divide el círculo en una colección contable de conjuntos disjuntos, que son todos congruentes por pares (mediante rotaciones racionales). El conjunto no será medible para ninguna medida de probabilidad aditiva contable invariante de rotación : si tiene medida cero, la aditividad contable implicaría que todo el círculo tiene medida cero. Si tiene medida positiva, la aditividad contable mostraría que el círculo tiene medida infinita. ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle \{se^{iq\pi }:q\in \mathbb {Q} \}}$ ${\displaystyle X\subset S}$ ${\displaystyle e^{iq\pi }X:=\{e^{iq\pi }x:x\in X\}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Definiciones consistentes de medida y probabilidad.

La paradoja de Banach-Tarski muestra que no hay forma de definir el volumen en tres dimensiones a menos que se haga una de las siguientes cinco concesiones: ^{[ cita necesaria ]}

1. El volumen de un conjunto puede cambiar cuando se gira.
2. El volumen de la unión de dos conjuntos disjuntos puede ser diferente de la suma de sus volúmenes.
3. Algunos conjuntos pueden etiquetarse como "no mensurables" y sería necesario comprobar si un conjunto es "mensurable" antes de hablar de su volumen.
4. Es posible que sea necesario modificar los axiomas de ZFC ( teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección).
5. El volumen de es o . ${\displaystyle [0,1]^{3}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \infty }$

La teoría de la medida estándar toma la tercera opción. ^{[ cita necesaria ]} Se define una familia de conjuntos medibles, que es muy rica, y casi cualquier conjunto definido explícitamente en la mayoría de las ramas de las matemáticas estará entre esta familia. ^{[ cita necesaria ]} Por lo general, es muy fácil demostrar que un subconjunto específico dado del plano geométrico es mensurable. ^{[ cita necesaria ]} La suposición fundamental es que una secuencia contablemente infinita de conjuntos disjuntos satisface la fórmula de la suma, una propiedad llamada σ-aditividad .

En 1970, Solovay demostró que la existencia de un conjunto no mensurable para la medida de Lebesgue no es demostrable dentro del marco de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel en ausencia de un axioma adicional (como el axioma de elección), al demostrar que ( suponiendo la consistencia de un cardinal inaccesible ) existe un modelo de ZF, llamado modelo de Solovay , en el que se cumple la elección contable , cada conjunto es medible según Lebesgue y en el que falla el axioma completo de elección. ^{[ cita necesaria ]}

El axioma de elección equivale a un resultado fundamental de la topología de conjuntos de puntos , el teorema de Tychonoff , y también a la conjunción de dos resultados fundamentales del análisis funcional, el teorema de Banach-Alaoglu y el teorema de Krein-Milman . ^{[ cita necesaria ]} También afecta en gran medida al estudio de grupos infinitos, así como a la teoría de los anillos y del orden (ver Teorema del ideal primo booleano ). ^{[ cita necesaria ]} Sin embargo, los axiomas de determinabilidad y elección dependiente juntos son suficientes para la mayoría de la teoría de la medida geométrica , la teoría del potencial , las series de Fourier y las transformadas de Fourier , al tiempo que hacen que todos los subconjuntos de la línea real sean medibles en Lebesgue. ^{[ cita necesaria ]}

Ver también

• Paradoja de Banach-Tarski  - Teorema geométrico
• Criterio de Carathéodory  : condición necesaria y suficiente para un conjunto mensurablePáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Paradoja de Hausdorff
• Medida (matemáticas)  – Generalización de masa, longitud, área y volumen
• Conjunto no Borel  - Clase de conjuntos matemáticosPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Medida exterior  – Función matemática
• Conjunto Vitali  : conjunto de números reales que no es medible según Lebesgue

Referencias

Notas

1. Moore, Gregory H., Axioma de elección de Zermelo, Springer-Verlag, 1982, págs.
2. Sadhukhan, A. (diciembre de 2022). "Una prueba combinatoria de la existencia de subconjuntos densos sin la propiedad tipo" Steinhaus "". Soy. Matemáticas. Lun. 130 (2): 175. arXiv : 2201.03735 . doi :10.1080/00029890.2022.2144665. ${\displaystyle \mathbb {R} }$
3. Ábrego, Bernardo M.; Fernández-Merchant, Silvia; Llano, Bernardo (enero de 2010). "Sobre el número máximo de traducciones en un conjunto de puntos". Geometría discreta y computacional . 43 (1): 1–20. doi : 10.1007/s00454-008-9111-9 . ISSN  0179-5376.

Bibliografía

• Dewdney, Alaska (1989). "Un fabricante de materia proporciona materia de reflexión". Scientific American (abril): 116-119. doi : 10.1038/scientificamerican0489-116.