Complejización

Tema de matemáticas

En matemáticas , la complejización de un espacio vectorial V sobre el cuerpo de los números reales (un "espacio vectorial real") produce un espacio vectorial V ^C sobre el cuerpo de los números complejos , obtenido mediante la extensión formal de la escala de los vectores por números reales para incluir su escala ("multiplicación") por números complejos. Cualquier base para V (un espacio sobre los números reales) también puede servir como base para V ^C sobre los números complejos.

Definición formal

Sea un espacio vectorial real. ${\displaystyle V}$La complejización deVse define tomando elproducto tensorialdecon los números complejos (pensados ​​como un espacio vectorial bidimensional sobre los reales): ${\displaystyle V}$

${\displaystyle V^{\mathbb {C} }=V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \,.}$

El subíndice, , en el producto tensorial indica que el producto tensorial se toma sobre los números reales (dado que es un espacio vectorial real, esta es la única opción sensata de todos modos, por lo que el subíndice se puede omitir sin problemas). Tal como está, es solo un espacio vectorial real. Sin embargo, podemos convertirlo en un espacio vectorial complejo definiendo la multiplicación compleja de la siguiente manera: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$

${\displaystyle \alpha (v\otimes \beta )=v\otimes (\alpha \beta )\qquad {\mbox{ for all }}v\in V{\mbox{ and }}\alpha ,\beta \in \mathbb {C} .}$

De manera más general, la complejización es un ejemplo de extensión de escalares (aquí, extensión de escalares desde los números reales a los números complejos), lo que se puede hacer para cualquier extensión de campo o, de hecho, para cualquier morfismo de anillos.

Formalmente, la complejización es un funtor Vect _R → Vect _C , de la categoría de espacios vectoriales reales a la categoría de espacios vectoriales complejos. Este es el funtor adjunto – específicamente el adjunto izquierdo – al funtor olvidadizo Vect _C → Vect _R que olvida la estructura compleja.

Este olvido de la estructura compleja de un espacio vectorial complejo se llama ${\displaystyle V}$descomplejización (o a veces "realización "). La descomplejización de un espacio vectorial complejocon baseelimina la posibilidad de multiplicación compleja de escalares, produciendo así un espacio vectorial realde doble dimensión con una base^[1] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle e_{\mu }}$ ${\displaystyle W_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \{e_{\mu },ie_{\mu }\}.}$

Propiedades básicas

Por la naturaleza del producto tensorial, cada vector v en V ^C se puede escribir de forma única en la forma

${\displaystyle v=v_{1}\otimes 1+v_{2}\otimes i}$

donde v ₁ y v ₂ son vectores en V . Es una práctica común eliminar el símbolo del producto tensorial y simplemente escribir

${\displaystyle v=v_{1}+iv_{2}.\,}$

La multiplicación por el número complejo a + ib se da entonces mediante la regla habitual

${\displaystyle (a+ib)(v_{1}+iv_{2})=(av_{1}-bv_{2})+i(bv_{1}+av_{2}).\,}$

Podemos entonces considerar V ^C como la suma directa de dos copias de V :

${\displaystyle V^{\mathbb {C} }\cong V\oplus iV}$

con la regla anterior para la multiplicación por números complejos.

Hay una incrustación natural de V en V ^C dada por

${\displaystyle v\mapsto v\otimes 1.}$

El espacio vectorial V puede entonces considerarse como un subespacio real de V ^C . Si V tiene una base { e _i } (sobre el cuerpo R ), entonces una base correspondiente para V ^C está dada por { e _i ⊗ 1 } sobre el cuerpo C . La dimensión compleja de V ^C es, por lo tanto, igual a la dimensión real de V :

${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }V^{\mathbb {C} }=\dim _{\mathbb {R} }V.}$

Alternativamente, en lugar de utilizar productos tensoriales, se puede utilizar esta suma directa como definición de la complejización:

${\displaystyle V^{\mathbb {C} }:=V\oplus V,}$

donde se da una estructura compleja lineal por el operador J definido como donde J codifica la operación de “multiplicación por i ”. En forma matricial, J se da por: ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle J(v,w):=(-w,v),}$

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}0&-I_{V}\\I_{V}&0\end{bmatrix}}.}$

Esto produce un espacio idéntico (un espacio vectorial real con una estructura compleja lineal es información idéntica a un espacio vectorial complejo), aunque construye el espacio de manera diferente. En consecuencia, se puede escribir como o identificando V con el primer sumando directo. Este enfoque es más concreto y tiene la ventaja de evitar el uso del producto tensorial, que es técnicamente complicado, pero es ad hoc. ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle V\oplus JV}$ ${\displaystyle V\oplus iV,}$

Ejemplos

• La complejización del espacio de coordenadas reales R ⁿ es el espacio de coordenadas complejo C ⁿ .
• Del mismo modo, si V consiste en las matrices m × n con entradas reales, V ^C consistiría en matrices m × n con entradas complejas.

Dickson duplicando

El proceso de complejización al pasar de R a C fue abstraído por matemáticos del siglo XX, incluido Leonard Dickson . Se comienza utilizando la función identidad x * = x como una involución trivial en R . A continuación, se utilizan dos copias de R para formar z = ( a , b ) con la conjugación compleja introducida como la involución z * = ( a , − b ) . Dos elementos w y z en el conjunto duplicado se multiplican por

${\displaystyle wz=(a,b)\times (c,d)=(ac\ -\ d^{*}b,\ da\ +\ bc^{*}).}$

Finalmente, al conjunto duplicado se le da una norma N ( z ) = z* z . Cuando se parte de R con la involución identidad, el conjunto duplicado es C con la norma a ² + b ² . Si uno duplica C , y usa la conjugación ( a,b )* = ( a *, – b ), la construcción produce cuaterniones . La duplicación nuevamente produce octoniones , también llamados números de Cayley. Fue en este punto que Dickson en 1919 contribuyó a descubrir la estructura algebraica.

^{El proceso también puede} iniciarse con C y la involución trivial z * = z . La norma producida es simplemente z2 , a diferencia de la generación de C al duplicar R. Cuando se duplica este C , produce números bicomplejos , y al duplicarlo produce bicuaterniones , y al duplicarlo nuevamente, da como resultado bioctoniones . Cuando el álgebra base es asociativa, el álgebra producida por esta construcción de Cayley-Dickson se llama álgebra de composición, ya que se puede demostrar que tiene la propiedad

${\displaystyle N(p\,q)=N(p)\,N(q)\,.}$

Conjugación compleja

El espacio vectorial complejo V ^C tiene más estructura que un espacio vectorial complejo ordinario. Viene con una función de conjugación compleja canónica :

${\displaystyle \chi :V^{\mathbb {C} }\to {\overline {V^{\mathbb {C} }}}}$

definido por

${\displaystyle \chi (v\otimes z)=v\otimes {\bar {z}}.}$

La función χ puede considerarse como una función conjugada-lineal de V ^C a sí misma o como un isomorfismo lineal complejo de V ^C a su conjugado complejo . ${\displaystyle {\overline {V^{\mathbb {C} }}}}$

Por el contrario, dado un espacio vectorial complejo W con una conjugación compleja χ , W es isomorfo como espacio vectorial complejo a la complejización V ^C del subespacio real

${\displaystyle V=\{w\in W:\chi (w)=w\}.}$

En otras palabras, todos los espacios vectoriales complejos con conjugación compleja son la complejización de un espacio vectorial real.

Por ejemplo, cuando W = C ⁿ con la conjugación compleja estándar

${\displaystyle \chi (z_{1},\ldots ,z_{n})=({\bar {z}}_{1},\ldots ,{\bar {z}}_{n})}$

el subespacio invariante V es simplemente el subespacio real R ⁿ .

Transformaciones lineales

Dada una transformación lineal real f  : V → W entre dos espacios vectoriales reales existe una transformación lineal compleja natural

${\displaystyle f^{\mathbb {C} }:V^{\mathbb {C} }\to W^{\mathbb {C} }}$

dado por

${\displaystyle f^{\mathbb {C} }(v\otimes z)=f(v)\otimes z.}$

La función se denomina complejización de f . La complejización de las transformaciones lineales satisface las siguientes propiedades ${\displaystyle f^{\mathbb {C} }}$

• ${\displaystyle (\mathrm {id} _{V})^{\mathbb {C} }=\mathrm {id} _{V^{\mathbb {C} }}}$
• ${\displaystyle (f\circ g)^{\mathbb {C} }=f^{\mathbb {C} }\circ g^{\mathbb {C} }}$
• ${\displaystyle (f+g)^{\mathbb {C} }=f^{\mathbb {C} }+g^{\mathbb {C} }}$
• ${\displaystyle (af)^{\mathbb {C} }=af^{\mathbb {C} }\quad \forall a\in \mathbb {R} }$

En el lenguaje de la teoría de categorías se dice que la complejización define un funtor ( aditivo ) de la categoría de espacios vectoriales reales a la categoría de espacios vectoriales complejos.

La función f ^C conmuta con conjugación y, por lo tanto, asigna el subespacio real de V ^C al subespacio real de W ^C (a través de la función f ). Además, una función lineal compleja g  : V ^C → W ^C es la complejización de una función lineal real si y solo si conmuta con conjugación.

Como ejemplo, considere una transformación lineal de R ⁿ a R ^m considerada como una matriz m × n . La complejización de esa transformación es exactamente la misma matriz, pero ahora considerada como una función lineal de C ⁿ a C ^m .

Espacios duales y productos tensoriales

El dual de un espacio vectorial real V es el espacio V * de todas las aplicaciones lineales reales de V a R. La complejización de V * puede considerarse naturalmente como el espacio de todas las aplicaciones lineales reales de V a C (denotado Hom _R ( V , C ) ). Es decir, $${\displaystyle (V^{*})^{\mathbb {C} }=V^{*}\otimes \mathbb {C} \cong \mathrm {Hom} _{\mathbb {R} }(V,\mathbb {C} ).}$$

El isomorfismo viene dado por donde φ ₁ y φ ₂ son elementos de V * . La conjugación compleja se da entonces mediante la operación habitual $${\displaystyle (\varphi _{1}\otimes 1+\varphi _{2}\otimes i)\leftrightarrow \varphi _{1}+i\varphi _{2}}$$ $${\displaystyle {\overline {\varphi _{1}+i\varphi _{2}}}=\varphi _{1}-i\varphi _{2}.}$$

Dado un mapa lineal real φ  : V → C podemos extender por linealidad para obtener un mapa lineal complejo φ  : V ^C → C . Es decir, Esta extensión da un isomorfismo de Hom _R ( V , C ) a Hom _C ( V ^C , C ) . Este último es simplemente el espacio dual complejo a V ^C , por lo que tenemos un isomorfismo natural : $${\displaystyle \varphi (v\otimes z)=z\varphi (v).}$$ $${\displaystyle (V^{*})^{\mathbb {C} }\cong (V^{\mathbb {C} })^{*}.}$$

De manera más general, dados espacios vectoriales reales V y W existe un isomorfismo natural $${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbb {R} }(V,W)^{\mathbb {C} }\cong \mathrm {Hom} _{\mathbb {C} }(V^{\mathbb {C} },W^{\mathbb {C} }).}$$

La complejización también conmuta con las operaciones de tomar productos tensoriales , potencias exteriores y potencias simétricas . Por ejemplo, si V y W son espacios vectoriales reales, existe un isomorfismo natural. Nótese que el producto tensorial de la izquierda se toma sobre los reales mientras que el de la derecha se toma sobre los complejos. El mismo patrón es cierto en general. Por ejemplo, uno tiene En todos los casos, los isomorfismos son los "obvios". $${\displaystyle (V\otimes _{\mathbb {R} }W)^{\mathbb {C} }\cong V^{\mathbb {C} }\otimes _{\mathbb {C} }W^{\mathbb {C} }\,.}$$ $${\displaystyle (\Lambda _{\mathbb {R} }^{k}V)^{\mathbb {C} }\cong \Lambda _{\mathbb {C} }^{k}(V^{\mathbb {C} }).}$$

Véase también

• Extensión de escalares – proceso general
• Estructura compleja lineal
• Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff

Referencias

1. Kostrikin, Alexei I.; Manin, Yu I. (14 de julio de 1989). Álgebra lineal y geometría . CRC Press. pág. 75. ISBN 978-2881246838.

• Halmos, Paul (1974) [1958]. Espacios vectoriales de dimensiones finitas . Saltador. pág. 41 y §77 Complejificación, págs. 150-153. ISBN 0-387-90093-4.
• Shaw, Ronald (1982). Álgebra lineal y representaciones de grupos. Vol. I: Álgebra lineal e introducción a las representaciones de grupos. Academic Press. pág. 196. ISBN 0-12-639201-3.
• Roman, Steven (2005). Álgebra lineal avanzada . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 135 (2.ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 0-387-24766-1.