Análisis real

Matemáticas de números reales y funciones reales

En matemáticas , la rama del análisis real estudia el comportamiento de los números reales , secuencias y series de números reales y funciones reales . ^[1] Algunas propiedades particulares de las secuencias y funciones de valores reales que estudia el análisis real incluyen la convergencia , los límites , la continuidad , la suavidad , la diferenciabilidad y la integrabilidad .

El análisis real se distingue del análisis complejo , que se ocupa del estudio de los números complejos y sus funciones.

Alcance

Construcción de los números reales

Los teoremas del análisis real se basan en las propiedades del sistema de números reales , que deben establecerse. El sistema de números reales consiste en un conjunto incontable ( ), junto con dos operaciones binarias denotadas + y ⋅ , y un orden total denotado ≤ . Las operaciones hacen de los números reales un cuerpo , y, junto con el orden, un cuerpo ordenado . El sistema de números reales es el único cuerpo ordenado completo , en el sentido de que cualquier otro cuerpo ordenado completo es isomorfo a él. Intuitivamente, completitud significa que no hay 'huecos' (o 'agujeros') en los números reales. Esta propiedad distingue a los números reales de otros cuerpos ordenados (por ejemplo, los números racionales ) y es fundamental para la prueba de varias propiedades clave de las funciones de los números reales. La completitud de los números reales a menudo se expresa convenientemente como la propiedad del límite superior mínimo (ver más abajo). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Propiedades de orden de los números reales

Los números reales tienen varias propiedades de la teoría reticular que no existen en los números complejos. Además, los números reales forman un cuerpo ordenado , en el que las sumas y los productos de números positivos también son positivos. Además, el orden de los números reales es total y los números reales tienen la propiedad de límite superior mínimo :

Cada subconjunto no vacío de que tiene un límite superior tiene un límite superior mínimo que también es un número real. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Estas propiedades de teoría del orden conducen a una serie de resultados fundamentales en el análisis real, como el teorema de convergencia monótona , el teorema del valor intermedio y el teorema del valor medio .

Sin embargo, aunque los resultados del análisis real se establecen para números reales, muchos de estos resultados se pueden generalizar a otros objetos matemáticos. En particular, muchas ideas del análisis funcional y la teoría de operadores generalizan propiedades de los números reales; tales generalizaciones incluyen las teorías de los espacios de Riesz y los operadores positivos . Además, los matemáticos consideran las partes reales e imaginarias de secuencias complejas, o mediante la evaluación puntual de secuencias de operadores . ^{[ aclaración necesaria ]}

Propiedades topológicas de los números reales

Muchos de los teoremas del análisis real son consecuencias de las propiedades topológicas de la línea de números reales. Las propiedades de orden de los números reales descritas anteriormente están estrechamente relacionadas con estas propiedades topológicas. Como espacio topológico , los números reales tienen una topología estándar , que es la topología de orden inducida por el orden . Alternativamente, al definir la función métrica o de distancia utilizando la función de valor absoluto como , los números reales se convierten en el ejemplo prototípico de un espacio métrico . La topología inducida por la métrica resulta ser idéntica a la topología estándar inducida por el orden . Los teoremas como el teorema del valor intermedio que son esencialmente de naturaleza topológica a menudo se pueden demostrar en el entorno más general de los espacios métricos o topológicos en lugar de solo. A menudo, tales pruebas tienden a ser más cortas o más simples en comparación con las pruebas clásicas que aplican métodos directos. ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle d:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Secuencias

Una secuencia es una función cuyo dominio es un conjunto contable y totalmente ordenado . ^[2] Generalmente se considera que el dominio son los números naturales , ^[3] aunque ocasionalmente es conveniente considerar también secuencias bidireccionales indexadas por el conjunto de todos los números enteros, incluidos los índices negativos.

De interés en el análisis real, una secuencia de valores reales , aquí indexada por los números naturales, es un mapa . Cada uno se denomina término (o, menos comúnmente, elemento ) de la secuencia. Una secuencia rara vez se denota explícitamente como una función; en cambio, por convención, casi siempre se anota como si fuera una ∞-tupla ordenada, con términos individuales o un término general encerrados entre paréntesis: ^[4] Se dice que una secuencia que tiende a un límite (es decir, existe) es convergente ; de ​​lo contrario, es divergente . ( Véase la sección sobre límites y convergencia para más detalles ). Una secuencia de valores reales está acotada si existe tal que para todo . Una secuencia de valores reales es monótonamente creciente o decreciente si o se cumple, respectivamente. Si se cumple cualquiera de las dos, se dice que la secuencia es monótona . La monotonía es estricta si las desigualdades encadenadas todavía se cumplen con o reemplazadas por < o >. ${\displaystyle a:\mathbb {N} \to \mathbb {R} :n\mapsto a_{n}}$ ${\displaystyle a(n)=a_{n}}$ $${\displaystyle (a_{n})=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=(a_{1},a_{2},a_{3},\dots ).}$$ ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle M\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |a_{n}|<M}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (a_{n})}$ $${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \cdots }$$ $${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq \cdots }$$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle \geq }$

Dada una secuencia , otra secuencia es una subsecuencia de si para todos los números enteros positivos y es una secuencia estrictamente creciente de números naturales. ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle (b_{k})}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle b_{k}=a_{n_{k}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (n_{k})}$

Límites y convergencia

En términos generales, un límite es el valor al que una función o una secuencia "se acerca" cuando la entrada o el índice se acerca a algún valor. ^[5] (Este valor puede incluir los símbolos cuando se aborda el comportamiento de una función o secuencia a medida que la variable aumenta o disminuye sin límite). La idea de un límite es fundamental para el cálculo (y el análisis matemático en general) y su definición formal se utiliza a su vez para definir nociones como continuidad , derivadas e integrales . (De hecho, el estudio del comportamiento límite se ha utilizado como una característica que distingue el cálculo y el análisis matemático de otras ramas de las matemáticas). ${\displaystyle \pm \infty }$

El concepto de límite fue introducido informalmente para funciones por Newton y Leibniz , a finales del siglo XVII, para construir el cálculo infinitesimal . Para sucesiones, el concepto fue introducido por Cauchy , y riguroso, a finales del siglo XIX, por Bolzano y Weierstrass , quienes dieron la definición moderna de ε-δ , que se presenta a continuación.

Definición. Sea una función de valor real definida en . Decimos que tiende a cuando tiende a , o que el límite de cuando tiende a es si, para cualquier , existe tal que para todo , implica que . Escribimos esto simbólicamente como o como Intuitivamente, esta definición puede pensarse de la siguiente manera: Decimos que como , cuando, dado cualquier número positivo , no importa cuán pequeño sea, siempre podemos encontrar un , tal que podemos garantizar que y son menores que separados, siempre que (en el dominio de ) sea un número real que sea menor que alejado de pero distinto de . El propósito de la última estipulación, que corresponde a la condición en la definición, es asegurar que no implica nada sobre el valor de sí mismo. En realidad, ni siquiera necesita estar en el dominio de para que exista. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta }$ ${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }$ $${\displaystyle f(x)\to L\ \ {\text{as}}\ \ x\to x_{0},}$$ $${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=L.}$$ ${\displaystyle f(x)\to L}$ ${\displaystyle x\to x_{0}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle 0<|x-x_{0}|}$ ${\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=L}$ ${\displaystyle f(x_{0})}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)}$

En un contexto ligeramente diferente pero relacionado, el concepto de límite se aplica al comportamiento de una secuencia cuando se vuelve grande. ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle n}$

Definición. Sea una sucesión de valores reales. Decimos que converge a si, para cualquier , existe un número natural tal que implica que . Escribimos esto simbólicamente como o como si no converge, decimos que diverge . ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle |a-a_{n}|<\varepsilon }$ $${\displaystyle a_{n}\to a\ \ {\text{as}}\ \ n\to \infty ,}$$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=a;}$$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle (a_{n})}$

Generalizando a una función de valor real de una variable real, una ligera modificación de esta definición (reemplazo de secuencia y término por función y valor y números naturales y por números reales y , respectivamente) produce la definición del límite de cuando aumenta sin límite , denotada . Invirtiendo la desigualdad a da la definición correspondiente del límite de cuando disminuye sin límite , . ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$ ${\displaystyle x\geq M}$ ${\displaystyle x\leq M}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle \lim _{x\to -\infty }f(x)}$

A veces resulta útil concluir que una secuencia converge, aunque el valor al que converge sea desconocido o irrelevante. En estos casos resulta útil el concepto de secuencia de Cauchy.

Definición. Sea una sucesión de valores reales. Decimos que es una sucesión de Cauchy si, para cualquier , existe un número natural tal que implica que . ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m,n\geq N}$ ${\displaystyle |a_{m}-a_{n}|<\varepsilon }$

Se puede demostrar que una sucesión de valores reales es de Cauchy si y solo si es convergente. Esta propiedad de los números reales se expresa diciendo que los números reales dotados de la métrica estándar, , son un espacio métrico completo . Sin embargo, en un espacio métrico general, una sucesión de Cauchy no necesita converger. ${\displaystyle (\mathbb {R} ,|\cdot |)}$

Además, para secuencias de valores reales que son monótonas, se puede demostrar que la secuencia está acotada si y solo si es convergente.

Convergencia uniforme y puntual para sucesiones de funciones

Además de las sucesiones de números, también se puede hablar de sucesiones de funciones en , es decir, familias infinitas y ordenadas de funciones , denotadas , y sus propiedades de convergencia. Sin embargo, en el caso de las sucesiones de funciones, hay dos tipos de convergencia, conocidas como convergencia puntual y convergencia uniforme , que es necesario distinguir. ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{n}:E\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (f_{n})_{n=1}^{\infty }}$

En términos generales, la convergencia puntual de funciones a una función límite , denotada , simplemente significa que dado cualquier , como . Por el contrario, la convergencia uniforme es un tipo más fuerte de convergencia, en el sentido de que una secuencia de funciones uniformemente convergente también converge puntualmente, pero no a la inversa. La convergencia uniforme requiere que los miembros de la familia de funciones, , caigan dentro de algún error de para cada valor de , siempre que , para algún entero . Para que una familia de funciones converja uniformemente, a veces denotada , debe existir un valor de ese tipo para cualquier dado, sin importar cuán pequeño sea. Intuitivamente, podemos visualizar esta situación imaginando que, para un suficientemente grande , todas las funciones están confinadas dentro de un 'tubo' de ancho aproximadamente (es decir, entre y ) para cada valor en su dominio . ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{n}\rightarrow f}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle f_{n}(x)\to f(x)}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f_{N},f_{N+1},f_{N+2},\ldots }$ ${\displaystyle 2\varepsilon }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f-\varepsilon }$ ${\displaystyle f+\varepsilon }$ ${\displaystyle E}$

La distinción entre convergencia puntual y convergencia uniforme es importante cuando se desea intercambiar el orden de dos operaciones límite (por ejemplo, tomar un límite, una derivada o una integral): para que el intercambio se lleve a cabo correctamente, muchos teoremas de análisis real exigen convergencia uniforme. Por ejemplo, se garantiza que una secuencia de funciones continuas (ver más abajo) convergerá a una función límite continua si la convergencia es uniforme, mientras que la función límite puede no ser continua si la convergencia es solo puntual. A Karl Weierstrass se le atribuye generalmente la definición clara del concepto de convergencia uniforme y la investigación completa de sus implicaciones.

Compacidad

La compacidad es un concepto de la topología general que desempeña un papel importante en muchos de los teoremas del análisis real. La propiedad de compacidad es una generalización de la noción de que un conjunto es cerrado y acotado . (En el contexto del análisis real, estas nociones son equivalentes: un conjunto en el espacio euclidiano es compacto si y solo si es cerrado y acotado). Brevemente, un conjunto cerrado contiene todos sus puntos límite , mientras que un conjunto es acotado si existe un número real tal que la distancia entre dos puntos cualesquiera del conjunto es menor que ese número. En , los conjuntos que son cerrados y acotados, y por lo tanto compactos, incluyen el conjunto vacío, cualquier número finito de puntos, intervalos cerrados y sus uniones finitas. Sin embargo, esta lista no es exhaustiva; por ejemplo, el conjunto es un conjunto compacto; el conjunto ternario de Cantor es otro ejemplo de un conjunto compacto. Por otro lado, el conjunto no es compacto porque es acotado pero no cerrado, ya que el punto límite 0 no es un miembro del conjunto. El conjunto tampoco es compacto porque es cerrado pero no acotado. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{1/n:n\in \mathbb {N} \}\cup \{0}\}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subset [0,1]}$ ${\displaystyle \{1/n:n\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$

Para los subconjuntos de números reales, existen varias definiciones equivalentes de compacidad.

Definición. Un conjunto es compacto si es cerrado y acotado. ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$

Esta definición también es válida para el espacio euclidiano de cualquier dimensión finita, , pero no es válida para los espacios métricos en general. La equivalencia de la definición con la definición de compacidad basada en subrecubrimientos, que se da más adelante en esta sección, se conoce como el teorema de Heine-Borel . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Una definición más general que se aplica a todos los espacios métricos utiliza la noción de subsecuencia (ver arriba).

Definición. Un conjunto en un espacio métrico es compacto si cada secuencia en él tiene una subsecuencia convergente. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

Esta propiedad particular se conoce como compacidad subsiguiente . En , un conjunto es subsiguientemente compacto si y solo si es cerrado y acotado, lo que hace que esta definición sea equivalente a la dada anteriormente. La compacidad subsiguiente es equivalente a la definición de compacidad basada en subrecubrimientos para espacios métricos, pero no para espacios topológicos en general. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

La definición más general de compacidad se basa en la noción de coberturas y subcoberturas abiertas , que es aplicable a los espacios topológicos (y, por lo tanto, a los espacios métricos y como casos especiales). En resumen, se dice que una colección de conjuntos abiertos es una cobertura abierta de un conjunto si la unión de estos conjuntos es un superconjunto de . Se dice que esta cobertura abierta tiene una subcobertura finita si se puede encontrar una subcolección finita de que también cubra . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle X}$

Definición. Un conjunto en un espacio topológico es compacto si cada cubierta abierta de tiene una subcubierta finita. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Los conjuntos compactos se comportan bien con respecto a propiedades como la convergencia y la continuidad. Por ejemplo, cualquier sucesión de Cauchy en un espacio métrico compacto es convergente. Como otro ejemplo, la imagen de un espacio métrico compacto bajo una función continua también es compacta.

Continuidad

Una función del conjunto de los números reales a los números reales se puede representar mediante un gráfico en el plano cartesiano ; dicha función es continua si, en términos generales, el gráfico es una única curva ininterrumpida sin "agujeros" ni "saltos".

Hay varias maneras de hacer que esta intuición sea matemáticamente rigurosa. Se pueden dar varias definiciones de distintos niveles de generalidad. En los casos en que son aplicables dos o más definiciones, se demuestra fácilmente que son equivalentes entre sí, por lo que se puede utilizar la definición más conveniente para determinar si una función dada es continua o no. En la primera definición dada a continuación, es una función definida en un intervalo no degenerado del conjunto de números reales como su dominio. Algunas posibilidades incluyen , todo el conjunto de números reales, un intervalo abierto o un intervalo cerrado Aquí, y son números reales distintos, y excluimos el caso de que estén vacíos o consten de un solo punto, en particular. ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle I=(a,b)=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\},}$ ${\displaystyle I=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle I}$

Definición. Si es un intervalo no degenerado, decimos que es continuo en si . Decimos que es una función continua si es continuo en cada . ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p\in I}$ ${\textstyle \lim _{x\to p}f(x)=f(p)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p\in I}$

En contraste con los requisitos para tener un límite en un punto , que no restringen el comportamiento de en sí mismo, las dos condiciones siguientes, además de la existencia de , también deben cumplirse para que sea continuo en : (i) debe estar definido en , es decir, está en el dominio de ; y (ii) como . La definición anterior en realidad se aplica a cualquier dominio que no contenga un punto aislado , o equivalentemente, donde cada es un punto límite de . Una definición más general que se aplica a con un dominio general es la siguiente: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\textstyle \lim _{x\to p}f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)\to f(p)}$ ${\displaystyle x\to p}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle p\in E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} }$

Definición. Si es un subconjunto arbitrario de , decimos que es continua en si, para cualquier , existe tal que para todo , implica que . Decimos que es una función continua si es continua en cada . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle |x-p|<\delta }$ ${\displaystyle |f(x)-f(p)|<\varepsilon }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p\in X}$

Una consecuencia de esta definición es que es trivialmente continua en cualquier punto aislado . Este tratamiento un tanto poco intuitivo de los puntos aislados es necesario para garantizar que nuestra definición de continuidad para funciones en la línea real sea coherente con la definición más general de continuidad para aplicaciones entre espacios topológicos (que incluye espacios métricos y, en particular, como casos especiales). Esta definición, que se extiende más allá del alcance de nuestra discusión del análisis real, se presenta a continuación para completar. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Definición. Si y son espacios topológicos, decimos que es continua en si es un entorno de en para cada entorno de en . Decimos que es una función continua si es abierta en para cada abierta en . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle f^{-1}(V)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f(p)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle Y}$

(Aquí se refiere a la preimagen de debajo .) ${\displaystyle f^{-1}(S)}$ ${\displaystyle S\subset Y}$ ${\displaystyle f}$

Continuidad uniforme

Definición. Si es un subconjunto de los números reales , decimos que una función es uniformemente continua en si, para cualquier , existe una tal que para todo , implica que . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle |x-y|<\delta }$ ${\displaystyle |f(x)-f(y)|<\varepsilon }$

Explícitamente, cuando una función es uniformemente continua en , la elección de necesaria para cumplir la definición debe funcionar para todos los de para un determinado . Por el contrario, cuando una función es continua en cada punto (o se dice que es continua en ), la elección de puede depender tanto de como de . A diferencia de la continuidad simple, la continuidad uniforme es una propiedad de una función que solo tiene sentido con un dominio especificado; hablar de continuidad uniforme en un solo punto no tiene sentido. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

En un conjunto compacto, se demuestra fácilmente que todas las funciones continuas son uniformemente continuas. Si es un subconjunto no compacto acotado de , entonces existe que es continua pero no uniformemente continua. Como ejemplo simple, considere definida por . Al elegir puntos cercanos a 0, siempre podemos hacer cualquier elección simple de , para un . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:(0,1)\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=1/x}$ ${\displaystyle |f(x)-f(y)|>\varepsilon }$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$

Continuidad absoluta

Definición. Sea un intervalo en la recta real . Se dice que una función es absolutamente continua en si para cada número positivo , existe un número positivo tal que siempre que una secuencia finita de subintervalos disjuntos por pares de satisface ^[6] ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(y_{k}-x_{k})<\delta }$

entonces

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|f(y_{k})-f(x_{k})|<\varepsilon .}$

Las funciones absolutamente continuas son continuas: considere el caso n = 1 en esta definición. El conjunto de todas las funciones absolutamente continuas en I se denota AC( I ). La continuidad absoluta es un concepto fundamental en la teoría de integración de Lebesgue, que permite la formulación de una versión generalizada del teorema fundamental del cálculo que se aplica a la integral de Lebesgue.

Diferenciación

La noción de derivada de una función o de diferenciabilidad se origina del concepto de aproximación de una función cerca de un punto dado utilizando la "mejor" aproximación lineal. Esta aproximación, si existe, es única y está dada por la línea que es tangente a la función en el punto dado , y la pendiente de la línea es la derivada de la función en . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

Una función es diferenciable en si el límite ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$

existe. Este límite se conoce como la derivada de en ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ , y la función , posiblemente definida solo en un subconjunto de , es la derivada (o función derivada ) de . Si la derivada existe en todas partes, se dice que la función es diferenciable . ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$

Como consecuencia simple de la definición, es continua en si es diferenciable allí. Por lo tanto, la diferenciabilidad es una condición de regularidad (condición que describe la "suavidad" de una función) más fuerte que la continuidad, y es posible que una función sea continua en toda la línea real pero no diferenciable en ninguna parte (véase la función continua no diferenciable en ninguna parte de Weierstrass ). También es posible discutir la existencia de derivadas de orden superior, hallando la derivada de una función derivada, y así sucesivamente. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$

Las funciones se pueden clasificar por su clase de diferenciabilidad . La clase (a veces para indicar el intervalo de aplicabilidad) consta de todas las funciones continuas. La clase consta de todas las funciones diferenciables cuya derivada es continua; dichas funciones se denominan continuamente diferenciables . Por tanto, una función es exactamente una función cuya derivada existe y es de clase . En general, las clases se pueden definir de forma recursiva declarando que es el conjunto de todas las funciones continuas y declarando que para cualquier entero positivo es el conjunto de todas las funciones diferenciables cuya derivada está en . En particular, está contenido en para cada , y hay ejemplos que muestran que esta contención es estricta. La clase es la intersección de los conjuntos a medida que varía sobre los enteros no negativos, y los miembros de esta clase se conocen como funciones suavizadas . La clase consta de todas las funciones analíticas y está estrictamente contenida en (véase función bump para una función suavizada que no es analítica). ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle C^{0}([a,b])}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{k-1}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{k-1}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{\omega }}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$

Serie

Una serie formaliza la noción imprecisa de tomar la suma de una secuencia infinita de números. La idea de que tomar la suma de un número "infinito" de términos puede llevar a un resultado finito era contraintuitiva para los antiguos griegos y condujo a la formulación de una serie de paradojas por parte de Zenón y otros filósofos. La noción moderna de asignar un valor a una serie evita lidiar con la noción mal definida de sumar un número "infinito" de términos. En cambio, se considera la suma finita de los primeros términos de la secuencia, conocida como suma parcial, y se aplica el concepto de límite a la secuencia de sumas parciales a medida que crece sin límite. A la serie se le asigna el valor de este límite, si existe. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Dada una secuencia (infinita) , podemos definir una serie asociada como el objeto matemático formal , a veces escrito simplemente como . Las sumas parciales de una serie son los números . Se dice que una serie es convergente si la secuencia que consiste en sus sumas parciales, , es convergente; en caso contrario, es divergente . La suma de una serie convergente se define como el número . ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\textstyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle s_{n}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle (s_{n})}$ ${\textstyle s=\lim _{n\to \infty }s_{n}}$

La palabra "suma" se utiliza aquí en un sentido metafórico como una forma abreviada de tomar el límite de una secuencia de sumas parciales y no debe interpretarse simplemente como "sumar" un número infinito de términos. Por ejemplo, en contraste con el comportamiento de las sumas finitas, reorganizar los términos de una serie infinita puede dar como resultado la convergencia a un número diferente (consulte el artículo sobre el teorema de reordenamiento de Riemann para obtener más información).

Un ejemplo de una serie convergente es una serie geométrica que forma la base de una de las famosas paradojas de Zenón :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =1.}$

Por el contrario, desde la Edad Media se sabe que la serie armónica es una serie divergente:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots =\infty .}$

(Aquí, " " es simplemente una convención de notación para indicar que las sumas parciales de la serie crecen sin límite). ${\displaystyle =\infty }$

Se dice que una serie converge absolutamente si es convergente. Una serie convergente para la que diverge se dice que converge de manera no absoluta . ^[7] Se demuestra fácilmente que la convergencia absoluta de una serie implica su convergencia. Por otro lado, un ejemplo de una serie que converge de manera no absoluta es ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum |a_{n}|}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum |a_{n}|}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots =\ln 2.}$

Serie de Taylor

La serie de Taylor de una función real o compleja ƒ ( x ) que es infinitamente diferenciable en un número real o complejo a es la serie de potencias

${\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots .}$

que puede escribirse en la notación sigma más compacta como

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}}$

donde n ! denota el factorial de n y ƒ  ^{( n )} ( a ) denota la derivada n ésima de ƒ evaluada en el punto a . La derivada de orden cero ƒ se define como ƒ misma y ( x − a ) ⁰ y 0! se definen como 1. En el caso de que a = 0 , la serie también se denomina serie de Maclaurin.

Una serie de Taylor de f en torno al punto a puede diverger, converger sólo en el punto a , converger para todo x tal que (el mayor R para el que se garantiza la convergencia se llama radio de convergencia ), o converger en toda la recta real. Incluso una serie de Taylor convergente puede converger a un valor diferente del valor de la función en ese punto. Si la serie de Taylor en un punto tiene un radio de convergencia distinto de cero , y suma la función en el disco de convergencia , entonces la función es analítica . Las funciones analíticas tienen muchas propiedades fundamentales. En particular, una función analítica de una variable real se extiende naturalmente a una función de una variable compleja. Es de esta manera que la función exponencial , el logaritmo , las funciones trigonométricas y sus inversas se extienden a funciones de una variable compleja. ${\displaystyle |x-a|<R}$

Serie de Fourier

Las primeras cuatro sumas parciales de la serie de Fourier para una onda cuadrada . Las series de Fourier son una herramienta importante en el análisis real.

Las series de Fourier descomponen funciones periódicas o señales periódicas en la suma de un conjunto (posiblemente infinito) de funciones oscilantes simples, a saber, senos y cosenos (o exponenciales complejas ). El estudio de las series de Fourier se lleva a cabo y se maneja típicamente dentro de la rama matemáticas > análisis matemático > análisis de Fourier .

Integración

La integración es una formalización del problema de encontrar el área limitada por una curva y los problemas relacionados de determinar la longitud de una curva o volumen encerrado por una superficie. La estrategia básica para resolver problemas de este tipo era conocida por los antiguos griegos y chinos, y se conocía como el método de agotamiento . En términos generales, el área deseada se limita por arriba y por abajo, respectivamente, mediante la circunscripción e inscripción de aproximaciones poligonales cada vez más precisas cuyas áreas exactas se pueden calcular. Al considerar aproximaciones que consisten en un número cada vez mayor ("infinito") de piezas cada vez más pequeñas ("infinitesimales"), se puede deducir el área limitada por la curva, ya que los límites superior e inferior definidos por las aproximaciones convergen alrededor de un valor común.

El espíritu de esta estrategia básica se puede ver fácilmente en la definición de la integral de Riemann, en la que se dice que la integral existe si las sumas superior e inferior de Riemann (o Darboux) convergen a un valor común a medida que se consideran rebanadas rectangulares cada vez más delgadas ("refinamientos"). Aunque la maquinaria utilizada para definirla es mucho más elaborada en comparación con la integral de Riemann, la integral de Lebesgue se definió con ideas básicas similares en mente. En comparación con la integral de Riemann, la integral de Lebesgue, más sofisticada, permite definir y calcular el área (o longitud, volumen, etc.; denominada "medida" en general) para subconjuntos mucho más complicados e irregulares del espacio euclidiano, aunque todavía existen subconjuntos "no medibles" para los que no se puede asignar un área.

Integración de Riemann

La integral de Riemann se define en términos de sumas de funciones de Riemann con respecto a particiones etiquetadas de un intervalo. Sea un intervalo cerrado de la recta real; entonces una partición etiquetada de es una secuencia finita ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle {\cal {P}}}$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.\,\!}$

Esto divide el intervalo en subintervalos indexados por , cada uno de los cuales está "etiquetado" con un punto distinguido . Para una función acotada en , definimos la suma de Riemann de con respecto a la partición etiquetada como ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle t_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\cal {P}}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i},}$

donde es el ancho del subintervalo . Por lo tanto, cada término de la suma es el área de un rectángulo con altura igual al valor de la función en el punto distinguido del subintervalo dado, y ancho igual al ancho del subintervalo. La malla de dicha partición etiquetada es el ancho del subintervalo más grande formado por la partición, . Decimos que la integral de Riemann de en es si para cualquier existe tal que, para cualquier partición etiquetada con malla , tenemos ${\displaystyle \Delta _{i}=x_{i}-x_{i-1}}$ ${\displaystyle i}$ ${\textstyle \|\Delta _{i}\|=\max _{i=1,\ldots ,n}\Delta _{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle {\cal {P}}}$ ${\displaystyle \|\Delta _{i}\|<\delta }$

${\displaystyle \left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i}\right|<\varepsilon .}$

Esto a veces se denota . Cuando las etiquetas elegidas dan el valor máximo (respectivamente, mínimo) de cada intervalo, la suma de Riemann se conoce como la suma de Darboux superior (respectivamente, inferior) . Una función es integrable de Darboux si las sumas de Darboux superior e inferior se pueden hacer para que sean arbitrariamente cercanas entre sí para una malla suficientemente pequeña. Aunque esta definición da a la integral de Darboux la apariencia de ser un caso especial de la integral de Riemann, son, de hecho, equivalentes, en el sentido de que una función es integrable de Darboux si y solo si es integrable de Riemann, y los valores de las integrales son iguales. De hecho, los libros de texto de cálculo y análisis real a menudo combinan los dos, introduciendo la definición de la integral de Darboux como la de la integral de Riemann, debido a la definición ligeramente más fácil de aplicar de la primera. ${\textstyle {\mathcal {R}}\int _{a}^{b}f=S}$

El teorema fundamental del cálculo afirma que la integración y la diferenciación son operaciones inversas en cierto sentido.

Integración y medida de Lebesgue

La integración de Lebesgue es una construcción matemática que extiende la integral a una clase más grande de funciones; también extiende los dominios en los que se pueden definir estas funciones. El concepto de medida , una abstracción de longitud, área o volumen, es central para la teoría de probabilidad integral de Lebesgue .

Distribuciones

Las distribuciones (o funciones generalizadas ) son objetos que generalizan funciones . Las distribuciones permiten diferenciar funciones cuyas derivadas no existen en el sentido clásico. En particular, cualquier función localmente integrable tiene una derivada distribucional.

Relación con el análisis complejo

El análisis real es un área de análisis que estudia conceptos como sucesiones y sus límites, continuidad, diferenciación , integración y sucesiones de funciones. Por definición, el análisis real se centra en los números reales , a menudo incluyendo el infinito positivo y negativo para formar la línea real extendida . El análisis real está estrechamente relacionado con el análisis complejo , que estudia en términos generales las mismas propiedades de los números complejos . En el análisis complejo, es natural definir la diferenciación a través de funciones holomorfas , que tienen una serie de propiedades útiles, como la diferenciabilidad repetida, la expresibilidad como serie de potencias y la satisfacción de la fórmula integral de Cauchy .

En el análisis real, suele ser más natural considerar funciones diferenciables , suaves o armónicas , que son más aplicables, pero pueden carecer de algunas propiedades más potentes de las funciones holomorfas. Sin embargo, resultados como el teorema fundamental del álgebra son más simples cuando se expresan en términos de números complejos.

Las técnicas de la teoría de funciones analíticas de una variable compleja se utilizan a menudo en el análisis real, como por ejemplo en la evaluación de integrales reales mediante el cálculo de residuos .

Resultados importantes

Los resultados importantes incluyen los teoremas de Bolzano-Weierstrass y de Heine-Borel , el teorema del valor intermedio y el teorema del valor medio , el teorema de Taylor , el teorema fundamental del cálculo , el teorema de Arzelà-Ascoli , el teorema de Stone-Weierstrass , el lema de Fatou y los teoremas de convergencia monótona y convergencia dominada .

Generalizaciones y áreas relacionadas de las matemáticas

Varias ideas del análisis real pueden generalizarse desde la línea real a contextos más amplios o más abstractos. Estas generalizaciones vinculan el análisis real con otras disciplinas y subdisciplinas. Por ejemplo, la generalización de ideas como funciones continuas y compacidad desde el análisis real a espacios métricos y espacios topológicos conecta el análisis real con el campo de la topología general , mientras que la generalización de espacios euclidianos de dimensión finita a análogos de dimensión infinita condujo a los conceptos de espacios de Banach y espacios de Hilbert y, de manera más general, al análisis funcional . La investigación de Georg Cantor de conjuntos y secuencias de números reales, las aplicaciones entre ellos y los problemas fundamentales del análisis real dieron origen a la teoría de conjuntos ingenua . El estudio de los problemas de convergencia para secuencias de funciones finalmente dio lugar al análisis de Fourier como una subdisciplina del análisis matemático. La investigación de las consecuencias de generalizar la diferenciabilidad de funciones de una variable real a las de una variable compleja dio lugar al concepto de funciones holomorfas y al inicio del análisis complejo como otra subdisciplina distinta del análisis. Por otra parte, la generalización de la integración desde el sentido de Riemann al de Lebesgue condujo a la formulación del concepto de espacios de medida abstractos , un concepto fundamental en la teoría de la medida . Finalmente, la generalización de la integración desde la línea real a curvas y superficies en espacios de dimensiones superiores dio lugar al estudio del cálculo vectorial , cuya generalización y formalización posteriores desempeñaron un papel importante en la evolución de los conceptos de formas diferenciales y variedades suaves (diferenciables) en la geometría diferencial y otras áreas estrechamente relacionadas de la geometría y la topología .

Véase también

• Lista de temas de análisis reales
• Cálculo de escala temporal : una unificación del análisis real con el cálculo de diferencias finitas
• Función multivariable real
• Espacio de coordenadas real
• Análisis complejo

Referencias

1. Tao, Terence (2003). "Apuntes de clase para MATH 131AH" (PDF) . Sitio web del curso MATH 131AH, Departamento de Matemáticas, UCLA .
2. "Introducción a secuencias". khanacademy.org .
3. Gaughan, Edward (2009). "1.1 Secuencias y convergencia". Introducción al análisis . AMS (2009). ISBN 978-0-8218-4787-9.
4. Algunos autores (por ejemplo, Rudin 1976) utilizan llaves en su lugar y escriben . Sin embargo, esta notación entra en conflicto con la notación habitual para un conjunto , que, a diferencia de una secuencia, no tiene en cuenta el orden ni la multiplicidad de sus elementos. ${\displaystyle \{a_{n}\}}$
5. Stewart, James (2008). Cálculo: trascendentales tempranos (6.ª ed.). Brooks/Cole . ISBN 978-0-495-01166-8.
6. Royden 1988, Sect. 5.4, página 108; Nielsen 1997, Definición 15.6 en la página 251; Athreya & Lahiri 2006, Definiciones 4.4.1, 4.4.2 en las páginas 128, 129. Se supone que el intervalo I está acotado y cerrado en los dos primeros libros, pero no en el último.
7. El término convergencia incondicional se refiere a series cuya suma no depende del orden de los términos (es decir, cualquier reordenamiento da la misma suma). En caso contrario, la convergencia se denomina condicional . Para las series en , se puede demostrar que la convergencia absoluta y la convergencia incondicional son equivalentes. Por lo tanto, el término "convergencia condicional" se utiliza a menudo para referirse a la convergencia no absoluta. Sin embargo, en el contexto general de los espacios de Banach, los términos no coinciden y hay series incondicionalmente convergentes que no convergen de forma absoluta. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Fuentes

• Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006), Teoría de la medida y teoría de la probabilidad , Springer, ISBN 0-387-32903-X
• Nielsen, Ole A. (1997), Introducción a la teoría de la integración y la medida , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-59518-7
• Royden, HL (1988), Análisis real (tercera edición), Collier Macmillan, ISBN 0-02-404151-3

Bibliografía

• Abbott, Stephen (2001). Understanding Analysis [Comprender el análisis] . Textos de pregrado en matemáticas. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN. 0-387-95060-5.
• Aliprantis, Charalambos D. ; Burkinshaw, Owen (1998). Principios del análisis real (3.ª ed.). Académico. ISBN 0-12-050257-7.
• Bartle, Robert G. ; Sherbert, Donald R. (2011). Introducción al análisis real (4.ª ed.). Nueva York: John Wiley and Sons. ISBN 978-0-471-43331-6.
• Bressoud, David (2007). Un enfoque radical del análisis real . MAA. ISBN 978-0-88385-747-2.
• Browder, Andrew (1996). Análisis matemático: una introducción . Textos de pregrado en matemáticas . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94614-4.
• Carothers, Neal L. (2000). Análisis real. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0521497565.
• Dangello, Frank; Seyfried, Michael (1999). Introducción al análisis real . Brooks Cole. ISBN 978-0-395-95933-6.
• Kolmogorov, AN ; Fomin, SV (1975). Introducción al análisis real. Traducido por Richard A. Silverman. Dover Publications. ISBN 0486612260. Recuperado el 2 de abril de 2013 .
• Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático. Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (3.ª ed.). Nueva York: McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.
• Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo (3.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1.
• Spivak, Michael (1994). Cálculo (3.ª ed.). Houston , Texas: Publish or Perish, Inc. ISBN 091409890X.

Enlaces externos

• Cómo llegamos hasta aquí: una historia de análisis real de Robert Rogers y Eugene Boman
• Un primer curso de análisis por Donald Yau
• Análisis WebNotes de John Lindsay Orr
• Análisis real interactivo de Bert G. Wachsmuth
• Un primer curso de análisis por John O'Connor
• Análisis matemático I de Elias Zakon
• Análisis matemático II de Elias Zakon
• Trench, William F. (2003). Introducción al análisis real (PDF) . Prentice Hall . ISBN 978-0-13-045786-8.
• Los primeros usos conocidos de algunas palabras de las matemáticas: cálculo y análisis
• Análisis básico: Introducción al análisis real por Jiri Lebl
• Temas de análisis real y funcional por Gerald Teschl , Universidad de Viena.