Operador (matemáticas)

En matemáticas , un operador es generalmente una función o aplicación que actúa sobre elementos de un espacio para producir elementos de otro espacio (posiblemente y a veces se requiere que sea el mismo espacio). No existe una definición general de un operador , pero el término se usa a menudo en lugar de función cuando el dominio es un conjunto de funciones u otros objetos estructurados. Además, el dominio de un operador es a menudo difícil de caracterizar explícitamente (por ejemplo, en el caso de un operador integral ), y puede extenderse para actuar sobre objetos relacionados (un operador que actúa sobre funciones puede actuar también sobre ecuaciones diferenciales cuyas soluciones son funciones que satisfacen la ecuación). (ver Operador (física) para otros ejemplos)

Los operadores más básicos son las aplicaciones lineales , que actúan sobre espacios vectoriales . Los operadores lineales se refieren a aplicaciones lineales cuyo dominio y rango son el mismo espacio, por ejemplo de a . ^[1]^[2]^[a] Dichos operadores a menudo conservan propiedades, como la continuidad . Por ejemplo, la diferenciación y la integración indefinida son operadores lineales; los operadores que se construyen a partir de ellos se denominan operadores diferenciales , operadores integrales u operadores integro-diferenciales. $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

El operador también se utiliza para indicar el símbolo de una operación matemática . Esto está relacionado con el significado de "operador" en programación informática (véase Operador (programación informática) ).

Operadores lineales

El tipo más común de operadores que se encuentran son los operadores lineales . Sean $U$ y $V$ espacios vectoriales sobre algún cuerpo $K.$ Una aplicación es lineal si para todos los $x$ $e$ y en $U$ , y para todos $los α$ $,$ $β$ en $K.$ $\nombre del operador {A} :U\to V$ $\operatorname {A} \left(\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {y} \right)=\alpha \operatorname {A} \mathbf {x} +\beta \operatorname {A} \mathbf {y} \$

Esto significa que un operador lineal preserva las operaciones del espacio vectorial, en el sentido de que no importa si se aplica el operador lineal antes o después de las operaciones de adición y multiplicación escalar. En palabras más técnicas, los operadores lineales son morfismos entre espacios vectoriales. En el caso de dimensión finita, los operadores lineales se pueden representar mediante matrices de la siguiente manera. Sea $K$ un cuerpo, y y $V$ espacios vectoriales de dimensión finita sobre $K$ . Seleccionemos una base en $U$ y en $V$ . Entonces sea un vector arbitrario en (asumiendo la convención de Einstein ), y sea un operador lineal. Entonces Entonces , con todos , es la forma matricial del operador en la base fija . El tensor no depende de la elección de , y si . Por lo tanto, en bases fijas, las matrices $n$ -por- $m$ están en correspondencia biyectiva con los operadores lineales de a . ${\estilo de visualización U}$ $\ \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}$ $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}$ $\mathbf {x} =x^{i}\mathbf {u} _{i}$ ${\estilo de visualización U}$ $\nombre del operador {A} :U\to V$ $\ \nombredeloperador {A} \mathbf {x} =x^{i}\nombredeloperador {A} \mathbf {u} _{i}=x^{i}\left(\nombredeloperador {A} \mathbf {u} _{i}\right)^{j}\mathbf {v} _{j}~.$ $a_{i}^{j}\equiv \left(\operatorname {A} \mathbf {u} _{i}\right)^{j}$ $a_{i}^{j}\in K$ $\nombre del operador {A}$ $\{\mathbf {u}_{i}\}_{i=1}^{n}$ $Estilo de visualización a_{i}^{j}}$ ${\estilo de visualización x}$ $\operatorname {A} \mathbf {x} =\mathbf {y}$ $a_{i}^{j}x^{i}=y^{j}$ ${\estilo de visualización U}$ ${\estilo de visualización V}$

Los conceptos importantes directamente relacionados con los operadores entre espacios vectoriales de dimensión finita son los de rango , determinante , operador inverso y espacio propio .

Los operadores lineales también juegan un papel importante en el caso de dimensión infinita. Los conceptos de rango y determinante no se pueden extender a matrices de dimensión infinita. Por eso se emplean técnicas muy diferentes al estudiar operadores lineales (y operadores en general) en el caso de dimensión infinita. El estudio de operadores lineales en el caso de dimensión infinita se conoce como análisis funcional (llamado así porque varias clases de funciones forman ejemplos interesantes de espacios vectoriales de dimensión infinita).

El espacio de sucesiones de números reales, o más generalmente, las sucesiones de vectores en cualquier espacio vectorial, forman en sí mismas un espacio vectorial de dimensión infinita. Los casos más importantes son las sucesiones de números reales o complejos, y estos espacios, junto con los subespacios lineales, se conocen como espacios de sucesiones . Los operadores en estos espacios se conocen como transformaciones de sucesiones .

Los operadores lineales acotados sobre un espacio de Banach forman un álgebra de Banach con respecto a la norma estándar del operador. La teoría de las álgebras de Banach desarrolla un concepto muy general de espectros que generaliza elegantemente la teoría de los espacios propios.

Operadores acotados

Sean $U$ y $V$ dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo ordenado (por ejemplo; ), y estén dotados de normas . Entonces un operador lineal de $U$ a $V$ se llama acotado si existe $c$ $> 0$ tal que para cada $x$ en $U$ . Los operadores acotados forman un espacio vectorial. En este espacio vectorial podemos introducir una norma que sea compatible con las normas de $U$ y $V$ : En el caso de operadores de $U$ a sí mismo se puede demostrar que $\mathbb {R}$ $\|\operatorname {A} \mathbf {x} \|_{V}\leq c\ \|\mathbf {x} \|_{U}$ $\|\nombredeloperador {A} \|=\inf\{\ c:\|\nombredeloperador {A} \mathbf {x} \|_{V}\leq c\ \|\mathbf {x} \|_{U}\}.$

{\textstyle \|\operatorname {A} \operatorname {B} \|\leq \|\operatorname {A} \|\cdot \|\operatorname {B} \|}

. ^[b]

Cualquier álgebra unitaria normada con esta propiedad se denomina álgebra de Banach . Es posible generalizar la teoría espectral a este tipo de álgebras. Las C*-álgebras , que son álgebras de Banach con alguna estructura adicional, desempeñan un papel importante en la mecánica cuántica .

Ejemplos

Análisis (cálculo)

Desde el punto de vista del análisis funcional , el cálculo es el estudio de dos operadores lineales: el operador diferencial y el operador de Volterra . ${\frac {\ \mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}$ $estilo de visualización {\displaystyle \int_{0}^{t}}$

Operadores de análisis fundamental en campos escalares y vectoriales

Tres operadores son clave para el cálculo vectorial :

Grad ( gradiente ), (con el símbolo de operador ) asigna un vector en cada punto de un campo escalar que apunta en la dirección de la mayor tasa de cambio de ese campo y cuya norma mide el valor absoluto de esa mayor tasa de cambio. $\nabla$
Div ( divergencia ), (con el símbolo de operador ) es un operador vectorial que mide la divergencia de un campo vectorial desde o hacia un punto dado. ${\nabla \cdot }$
Curl , (con el símbolo de operador ) es un operador vectorial que mide la tendencia a curvarse (enrollarse, rotar) de un campo vectorial alrededor de un punto dado. $\nabla \!\veces$

Como una extensión de los operadores de cálculo vectorial a la física, la ingeniería y los espacios tensoriales, los operadores grad, div y curl también suelen asociarse con el cálculo tensorial, así como con el cálculo vectorial. ^[3]

Geometría

En geometría , a veces se estudian estructuras adicionales en espacios vectoriales . Los operadores que asignan dichos espacios vectoriales a sí mismos de manera biyectiva son muy útiles en estos estudios, ya que forman grupos de manera natural por composición.

Por ejemplo, los operadores biyectivos que preservan la estructura de un espacio vectorial son precisamente los operadores lineales invertibles . Forman el grupo lineal general bajo composición. Sin embargo, no forman un espacio vectorial bajo adición de operadores; ya que, por ejemplo, tanto la identidad como la −identidad son invertibles (biyectivas), pero su suma, 0, no lo es.

Los operadores que preservan la métrica euclidiana en dicho espacio forman el grupo de isometría , y aquellos que fijan el origen forman un subgrupo conocido como grupo ortogonal . Los operadores del grupo ortogonal que también preservan la orientación de las tuplas vectoriales forman el grupo ortogonal especial , o grupo de rotaciones.

Teoría de la probabilidad

Los operadores también están involucrados en la teoría de la probabilidad, como la expectativa , la varianza y la covarianza , que se utilizan para nombrar tanto las estadísticas numéricas como los operadores que las producen. De hecho, cada covarianza es básicamente un producto escalar : cada varianza es un producto escalar de un vector consigo mismo y, por lo tanto, es una norma cuadrática ; cada desviación estándar es una norma (raíz cuadrada de la norma cuadrática); el coseno correspondiente a este producto escalar es el coeficiente de correlación de Pearson ; el valor esperado es básicamente un operador integral (usado para medir formas ponderadas en el espacio).

Serie de Fourier y transformada de Fourier

La transformada de Fourier es útil en matemáticas aplicadas, particularmente en física y procesamiento de señales. Es otro operador integral; es útil principalmente porque convierte una función en un dominio (temporal) en una función en otro dominio (frecuencia), de una manera efectivamente invertible . No se pierde información, ya que hay un operador de transformada inversa. En el caso simple de funciones periódicas , este resultado se basa en el teorema de que cualquier función periódica continua puede representarse como la suma de una serie de ondas seno y ondas coseno: La tupla $($ $a$ $0$ $,$ $a$ $1$ $,$ $b$ $1$ $,$ $a$ $2$ $,$ $b$ $2$ $, ... )$ es de hecho un elemento de un espacio vectorial de dimensión infinita ℓ 2 y, por lo tanto, la serie de Fourier es un operador lineal. $f(t)={\frac {\a_{0}\ }{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\a_{n}\cos(\omega \ n\ t)+b_{n}\sin(\omega \ n\ t)$

Cuando se trata de una función general , la transformación toma una forma integral : $\mathbb {R} \a \mathbb {C}$

f(t)={1 \sobre {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }{g(\omega )\ e^{i\ \omega \ t}\ \mathrm {d} \ \omega }

Transformada de Laplace

La transformada de Laplace es otro operador integral y participa en la simplificación del proceso de resolución de ecuaciones diferenciales.

Dado $f = f (s)$ , se define por: $F(s)=\nombre del operador {\mathcal {L}} \{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-s\ t}\ f(t)\ \mathrm {d} \ t$

Notas al pie

^ : (1) Una transformación lineal de $V$ a $V$ se denomina operador lineal en $V$ . El conjunto de todos los operadores lineales en $V$ se denota $ℒ (V)$ . Un operador lineal en un espacio vectorial real se denomina operador real y un operador lineal en un espacio vectorial complejo se denomina operador complejo . ... También debemos mencionar que algunos autores utilizan el término operador lineal para cualquier transformación lineal de $V$ a $W$ . ...
Definición: También se emplean los siguientes términos:
(2) endomorfismo para operador lineal...
(6) automorfismo para operador lineal biyectivo.
— Romana (2008) ^[2]
^ En esta expresión, el punto en relieve simplemente representa la multiplicación en cualquier campo escalar que se utilice con $V.$

Véase también

Referencias

^ Rudin, Walter (1976). "Capítulo 9: Funciones de varias variables". Principios de análisis matemático (3.ª ed.). McGraw-Hill. pág. 207. ISBN 0-07-054235-XLas transformaciones lineales de X $en$ X $a$ menudo se denominan operadores lineales en $X.$
^ ab Roman, Steven (2008). "Capítulo 2: Transformaciones lineales". Álgebra lineal avanzada (3.ª ed.). Springer. pág. 59. ISBN 978-0-387-72828-5.
^ Schey, HM (2005). Div, Grad, Curl y todo eso . Nueva York, NY: WW Norton. ISBN 0-393-92516-1.