En matemáticas , especialmente en teoría de conjuntos , se dice que dos conjuntos ordenados X e Y tienen el mismo tipo de orden si son isomórficos de orden , es decir, si existe una biyección (cada elemento se empareja exactamente con uno del otro conjunto) tal que tanto f como su inversa son monótonos (preservando el orden de los elementos).
En el caso especial en el que X está totalmente ordenado , la monotonicidad de f ya implica monotonicidad de su inverso.
Un mismo conjunto puede estar equipado con pedidos diferentes. Dado que la equivalencia de orden es una relación de equivalencia , divide la clase de todos los conjuntos ordenados en clases de equivalencia .
Si un conjunto tiene el tipo de orden indicado , se indica el tipo de orden del orden inverso, el dual de .
El tipo de orden de un conjunto X bien ordenado a veces se expresa como ord( X ) . [1]
El tipo de orden de los números enteros y racionales suele denotarse y , respectivamente. El conjunto de números enteros y el conjunto de números enteros pares tienen el mismo tipo de orden, porque el mapeo es una biyección que preserva el orden. Pero el conjunto de números enteros y el conjunto de números racionales (con el orden estándar) no tienen el mismo tipo de orden, porque aunque los conjuntos son del mismo tamaño (ambos son contablemente infinitos ), no existe una biyectiva que preserve el orden. mapeo entre ellos. El intervalo abierto (0, 1) de los racionales es de orden isomorfo a los racionales, ya que, por ejemplo, es una biyección estrictamente creciente del primero al segundo. A continuación se amplían los teoremas relevantes de este tipo.
Se pueden dar más ejemplos ahora: El conjunto de los enteros positivos (que tiene un elemento menor), y el de los enteros negativos (que tiene un elemento mayor). Los números naturales tienen un tipo de orden indicado por ω, como se explica a continuación.
Los racionales contenidos en los intervalos semicerrados [0,1) y (0,1], y el intervalo cerrado [0,1], son tres ejemplos de tipos de orden adicionales.
Todo conjunto bien ordenado es equivalente en orden a exactamente un número ordinal , por definición. Los números ordinales se consideran los representantes canónicos de sus clases, por lo que el tipo de orden de un conjunto bien ordenado suele identificarse con el ordinal correspondiente. Por tanto, los tipos de orden suelen adoptar la forma de expresiones aritméticas de ordinales.
En primer lugar, el tipo de orden del conjunto de números naturales es ω . Cualquier otro modelo de aritmética de Peano , es decir, cualquier modelo no estándar , comienza con un segmento isomorfo a ω pero luego agrega números adicionales. Por ejemplo, cualquier modelo contable de este tipo tiene un tipo de orden ω + (ω* + ω) ⋅ η .
En segundo lugar, considere el conjunto V de ordinales pares menores que ω ⋅ 2 + 7 :
Como se trata de dos secuencias de conteo separadas seguidas de cuatro elementos al final, el tipo de orden es
Con respecto a su orden estándar como números, el conjunto de racionales no está bien ordenado. Tampoco lo es el conjunto completo de reales.
Cualquier conjunto contable totalmente ordenado se puede mapear inyectivamente en números racionales de manera que se preserve el orden. Cuando el orden es además denso y no tiene elemento superior ni inferior, existe incluso un mapeo biyectivo.
