En matemáticas , particularmente en teoría de conjuntos , los números aleph son una secuencia de números utilizados para representar la cardinalidad (o tamaño) de conjuntos infinitos que pueden estar bien ordenados . Fueron introducidos por el matemático Georg Cantor [1] y llevan el nombre del símbolo que utilizó para designarlos, la letra hebrea aleph (ℵ). [2] [un]
La cardinalidad de los números naturales es ℵ 0 (léase aleph-nada o aleph-cero o aleph-null ), la siguiente cardinalidad más grande de un conjunto bien ordenado es aleph-one ℵ 1 , luego ℵ 2 y así sucesivamente. Siguiendo de esta manera, es posible definir un número cardinal ℵ α para cada número ordinal α , como se describe a continuación.
El concepto y la notación se deben a Georg Cantor , [5] quien definió la noción de cardinalidad y se dio cuenta de que conjuntos infinitos pueden tener diferentes cardinalidades .
Los números aleph se diferencian del infinito (∞) que se encuentra comúnmente en álgebra y cálculo, en que los alephs miden los tamaños de conjuntos, mientras que el infinito se define comúnmente como un límite extremo de la recta numérica real (aplicado a una función o secuencia que " divergencia hasta el infinito" o "aumenta sin límite"), o como un punto extremo de la recta numérica real extendida .
ℵ 0 (aleph-cero, también aleph-nada o aleph-null) es la cardinalidad del conjunto de todos los números naturales, y es un cardinal infinito . El conjunto de todos los ordinales finitos , llamado ω o ω 0 (donde ω es la letra griega minúscula omega ), tiene cardinalidad ℵ 0 . Un conjunto tiene cardinalidad ℵ 0 si y sólo si es contablemente infinito , es decir, existe una biyección (correspondencia uno a uno) entre él y los números naturales. Ejemplos de tales conjuntos son
Estos ordinales infinitos: ω, ω + 1, ω⋅2, ω 2 , ω ω y ε 0 se encuentran entre los conjuntos contablemente infinitos. [6] Por ejemplo, la secuencia (con ordinalidad ω⋅2) de todos los enteros impares positivos seguida de todos los enteros pares positivos
es un ordenamiento del conjunto (con cardinalidad ℵ 0 ) de números enteros positivos.
Si se cumple el axioma de elección contable (una versión más débil del axioma de elección ), entonces ℵ 0 es más pequeño que cualquier otro cardinal infinito y, por lo tanto, es el (único) ordinal menos infinito.
ℵ 1 es la cardinalidad del conjunto de todos los números ordinales contables ω 1 (o, a veces, Ω). El conjunto ω 1 es en sí mismo un número ordinal mayor que todos los contables, por lo que es un conjunto incontable . Por tanto, ℵ 1 es distinto de ℵ 0 . La definición de ℵ 1 implica (en ZF, teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección) que ningún número cardinal está entre ℵ 0 y ℵ 1 . Si se utiliza el axioma de elección , se puede demostrar además que la clase de números cardinales está totalmente ordenada y, por tanto, ℵ 1 es el segundo número cardinal infinito más pequeño. Se puede mostrar una de las propiedades más útiles del conjunto ω 1 : cualquier subconjunto contable de ω 1 tiene un límite superior en ω 1 (esto se desprende del hecho de que la unión de un número contable de conjuntos contables es en sí misma contable). Este hecho es análogo a la situación en ℵ 0 : todo conjunto finito de números naturales tiene un máximo que también es un número natural, y las uniones finitas de conjuntos finitos son finitas.
El ordinal ω 1 es en realidad un concepto útil, aunque suene algo exótico. Una aplicación de ejemplo es el "cierre" con respecto a operaciones contables; por ejemplo, intentar describir explícitamente el σ-álgebra generada por una colección arbitraria de subconjuntos (ver, por ejemplo, jerarquía de Borel ). Esto es más difícil que la mayoría de las descripciones explícitas de "generación" en álgebra ( espacios vectoriales , grupos , etc.) porque en esos casos sólo tenemos que cerrar con respecto a operaciones finitas: sumas, productos, etc. El proceso implica definir, para cada ordinal contable, vía inducción transfinita , un conjunto "incorporando" todas las uniones y complementos contables posibles , y tomando la unión de todo eso sobre todo ω 1 .
La cardinalidad del conjunto de los números reales ( cardinalidad del continuo ) es 2 ℵ 0 . No se puede determinar a partir de ZFC ( teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel aumentada con el axioma de elección ) dónde este número encaja exactamente en la jerarquía de números aleph, pero de ZFC se deduce que la hipótesis del continuo (CH) es equivalente a la identidad
El CH afirma que no existe ningún conjunto cuya cardinalidad esté estrictamente entre la de los números enteros y los reales. [8] CH es independiente de ZFC : no puede ser probado ni refutado dentro del contexto de ese sistema de axiomas (siempre que ZFC sea consistente ). Que CH es consistente con ZFC fue demostrado por Kurt Gödel en 1940, cuando demostró que su negación no es un teorema de ZFC . Paul Cohen demostró que es independiente de ZFC en 1963, cuando demostró a la inversa que el CH en sí no es un teorema de ZFC , mediante el (entonces novedoso) método de forzar . [7] [9]
Aleph-omega es
donde el ordinal infinito más pequeño se denota ω. Es decir, el número cardinal ℵ ω es el límite superior mínimo de
En particular, ℵ ω es el primer número cardinal incontable que se puede demostrar dentro de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel que no es igual a la cardinalidad del conjunto de todos los números reales 2 ℵ 0 : para cualquier número natural n ≥ 1, podemos asumir consistentemente que 2 ℵ 0 = ℵ n , y además es posible suponer que 2 ℵ 0 es al menos tan grande como cualquier número cardinal que queramos. La principal restricción que ZFC impone al valor de 2 ℵ 0 es que no puede igualar ciertos cardinales especiales con cofinalidad ℵ 0 . Un cardinal incontablemente infinito κ que tiene cofinalidad ℵ 0 significa que hay una secuencia (de longitud contable) κ 0 ≤ κ 1 ≤ κ 2 ≤ … de cardinales κ i < κ cuyo límite (es decir, su límite superior mínimo) es κ (ver Easton teorema ). Según la definición anterior, ℵ ω es el límite de una secuencia de cardinales más pequeños de longitud contable.
Para definir ℵ α para un número ordinal arbitrario α, debemos definir la operación cardinal sucesora , que asigna a cualquier número cardinal ρ el siguiente cardinal bien ordenado más grande ρ + (si se cumple el axioma de elección , este es el siguiente número cardinal (único) cardenal).
Entonces podemos definir los números aleph de la siguiente manera:
El α -ésimo ordinal inicial infinito se escribe ω α . Su cardinalidad se escribe ℵ α .
Informalmente, la función aleph ℵ : On → Cd es una biyección de los ordinales a los cardinales infinitos. Formalmente, en ZFC , ℵ no es una función , sino una clase similar a una función, ya que no es un conjunto (debido a la paradoja de Burali-Forti ).
Para cualquier ordinal α tenemos
En muchos casos ω α es estrictamente mayor que α . Por ejemplo, es cierto para cualquier ordinal sucesor : α + 1 < ω α +1 se cumple. Sin embargo, existen algunos ordinales límite que son puntos fijos de la función omega, debido al lema de punto fijo para funciones normales . El primero de ellos es el límite de la secuencia.
que a veces se denota ω ω … .
Cualquier cardinal débilmente inaccesible es también un punto fijo de la función aleph. [10] Esto se puede mostrar en ZFC de la siguiente manera. Supongamos que κ = ℵ λ es un cardenal débilmente inaccesible. Si λ fuera un ordinal sucesor , entonces ℵ λ sería un cardinal sucesor y, por tanto, no sería débilmente inaccesible. Si λ fuera un ordinal límite menor que κ entonces su cofinalidad (y por tanto la cofinalidad de ℵ λ ) sería menor que κ y por lo tanto κ no sería regular y, por lo tanto, no sería débilmente inaccesible. Por tanto λ ≥ κ y en consecuencia λ = κ lo que lo convierte en un punto fijo.
La cardinalidad de cualquier número ordinal infinito es un número aleph. Cada aleph es la cardinalidad de algún ordinal. El menor de ellos es su ordinal inicial . Cualquier conjunto cuya cardinalidad sea una aleph es equinumero con un ordinal y, por tanto, es bien ordenable .
Cada conjunto finito se puede ordenar bien, pero no tiene un aleph como cardinalidad.
Sobre ZF, la suposición de que la cardinalidad de cada conjunto infinito es un número aleph equivale a la existencia de un buen ordenamiento de cada conjunto, lo que a su vez equivale al axioma de elección . La teoría de conjuntos ZFC, que incluye el axioma de elección, implica que cada conjunto infinito tiene un número aleph como cardinalidad (es decir, es equinumero con su ordinal inicial) y, por lo tanto, los ordinales iniciales de los números aleph sirven como una clase de representantes para todos posibles infinitos números cardinales.
Cuando se estudia la cardinalidad en ZF sin el axioma de elección, ya no es posible demostrar que cada conjunto infinito tiene algún número aleph como cardinalidad; los conjuntos cuya cardinalidad es un número aleph son exactamente los conjuntos infinitos que pueden estar bien ordenados. El método del truco de Scott se utiliza a veces como una forma alternativa de construir representantes de números cardinales en el contexto de ZF. Por ejemplo, se puede definir card( S ) como el conjunto de conjuntos con la misma cardinalidad que S de rango mínimo posible. Esto tiene la propiedad de que card( S ) = card( T ) si y sólo si S y T tienen la misma cardinalidad. (La carta del conjunto ( S ) no tiene la misma cardinalidad de S en general, pero todos sus elementos sí la tienen.)
Sus nuevos números merecían algo único. ... No deseando inventar un nuevo símbolo él mismo, eligió el aleph, la primera letra del alfabeto hebreo... el aleph podría considerarse como un símbolo de nuevos comienzos...