Anillo polinómico

En matemáticas , especialmente en el campo del álgebra , un anillo polinomial o álgebra polinomial es un anillo (que también es álgebra conmutativa ) formado a partir del conjunto de polinomios en uno o más indeterminados (tradicionalmente también llamados variables ) con coeficientes en otro anillo , a menudo un campo .

A menudo, el término "anillo polinómico" se refiere implícitamente al caso especial de un anillo polinómico en un campo indeterminado. La importancia de estos anillos polinomiales reside en el gran número de propiedades que tienen en común con el anillo de los números enteros .

Los anillos polinomiales se producen y suelen ser fundamentales en muchas partes de las matemáticas, como la teoría de números , el álgebra conmutativa y la geometría algebraica . En la teoría de anillos , se han introducido muchas clases de anillos, como dominios de factorización únicos , anillos regulares , anillos de grupo , anillos de series de potencias formales , polinomios minerales y anillos graduados , para generalizar algunas propiedades de los anillos polinomiales.

Una noción estrechamente relacionada es la de anillo de funciones polinómicas en un espacio vectorial y, más generalmente, anillo de funciones regulares en una variedad algebraica .

Definición (caso univariado)

Sea $K$ un campo o (más generalmente) un anillo conmutativo .

El anillo polinomial en $X$ sobre $K$ , que se denota $K [X]$ , se puede definir de varias formas equivalentes. Una de ellas es definir $K [X]$ como el conjunto de expresiones, llamadas polinomios en $X$ , de la forma ^[1]

p=p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m-1}X^{m-1}+p_{m}X^{m},

donde $p 0, p 1, \dots, p m$ , los coeficientes de $p$ , son elementos de $K$ , $p m \neq 0$ si $m > 0$ , y $X, X 2, \dots,$ son símbolos, que se consideran "potencias" de $X$ , y siga las reglas habituales de exponenciación : $X 0 = 1$ , $X 1 = X$ , y para cualquier número entero no negativo $k$ y $l$ . El símbolo $X$ se llama indeterminado ^[2] o variable. ^[3] (El término de "variable" proviene de la terminología de funciones polinómicas . Sin embargo, aquí, $X$ no tiene ningún valor (aparte de sí mismo) y no puede variar, siendo una constante en el anillo polinomial.) $X^{k}\,X^{l}=X^{k+l}$

Dos polinomios son iguales cuando los coeficientes correspondientes de cada $X k$ son iguales.

Se puede pensar que el anillo $K [X]$ surge de $K$ agregando un nuevo elemento $X$ que es externo a $K$ , conmuta con todos los elementos de $K$ y no tiene otras propiedades específicas. Esto se puede utilizar para una definición equivalente de anillos polinómicos.

El anillo polinomial en $X$ sobre $K$ está equipado con una suma, una multiplicación y una multiplicación escalar que lo convierten en un álgebra conmutativa . Estas operaciones se definen según las reglas ordinarias para manipular expresiones algebraicas. Específicamente, si

p=p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m}X^{m},

q=q_{0}+q_{1}X+q_{2}X^{2}+\cdots +q_{n}X^{n},

entonces

p+q=r_{0}+r_{1}X+r_{2}X^{2}+\cdots +r_{k}X^{k},

pq=s_{0}+s_{1}X+s_{2}X^{2}+\cdots +s_{l}X^{l},

donde $k = máx(m, n), l = m + n$ ,

r_{i}=p_{i}+q_{i}

s_{i}=p_{0}q_{i}+p_{1}q_{i-1}+\cdots +p_{i}q_{0}.

En estas fórmulas, los polinomios $p$ y $q$ se extienden agregando "términos ficticios" con coeficientes cero, de modo que todos $los p i$ y $q i$ que aparecen en las fórmulas estén definidos. Específicamente, si $m < n$ , entonces $p i = 0$ para $m < i \leq n$ .

La multiplicación escalar es el caso especial de la multiplicación donde $p = p 0$ se reduce a su término constante (el término que es independiente de $X$ ); eso es

p_{0}\left(q_{0}+q_{1}X+\dots +q_{n}X^{n}\right)=p_{0}q_{0}+\left(p_{0}q_{1}\right)X+\cdots +\left(p_{0}q_{n}\right)X^{n}

Es sencillo verificar que estas tres operaciones satisfacen los axiomas de un álgebra conmutativa sobre $K.$ Por ello, los anillos polinómicos también se denominan álgebras polinómicas .

Se suele preferir otra definición equivalente, aunque menos intuitiva, porque es más fácil hacerla completamente rigurosa, que consiste en definir un polinomio como una secuencia infinita $(p 0, p 1, p 2,\dots)$ de elementos de $K$ , que tiene la propiedad de que sólo un número finito de elementos son distintos de cero, o equivalentemente, una secuencia para la cual hay algo de $m$ tal que p _n = 0 para $n > m$ . En este caso, $p 0$ y $X$ se consideran notaciones alternativas para las secuencias $(p 0, 0, 0,\dots)$ y $(0, 1, 0, 0,\dots)$ , respectivamente. Un uso sencillo de las reglas de operación muestra que la expresión

p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m}X^{m}

es entonces una notación alternativa para la secuencia

(p 0, p 1, p 2,\dots, pm, 0, 0,\dots)

Terminología

Dejar

p=p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m-1}X^{m-1}+p_{m}X^{m},

ser un polinomio distinto de cero con $p_{m}\neq 0$

El término constante de $p$ es cero en el caso del polinomio cero. $p_{0}.$

El grado de $p$ , escrito $grados(p)$ es el mayor $k$ tal que el coeficiente de $X$ $k$ no sea cero. ^[4] $m,$

El coeficiente principal de $p$ es ^[5] $p_{m}.$

En el caso especial del polinomio cero, todos cuyos coeficientes son cero, el coeficiente principal no está definido y el grado se ha dejado sin definir, ^[6] definido como $-1$ , ^[7] o definido como $-\infty$ . ^[8]

Un polinomio constante es el polinomio cero o un polinomio de grado cero.

Un polinomio distinto de cero es mónico si su coeficiente principal es $1.$

Dados dos polinomios $p$ y $q$ , si el grado del polinomio cero se define como uno tiene $-\infty ,$

\deg(p+q)\leq \max(\deg(p),\deg(q)),

y, sobre un campo , o más generalmente un dominio integral , ^[9]

\deg(pq)=\deg(p)+\deg(q).

Se deduce inmediatamente que, si $K$ es un dominio integral, entonces también lo es $K [X]$ . ^[10]

Se deduce también que, si $K$ es un dominio integral, un polinomio es una unidad (es decir, tiene inverso multiplicativo ) si y sólo si es constante y es una unidad en $K.$

Dos polinomios están asociados si uno es producto del otro por una unidad.

Sobre un campo, cada polinomio distinto de cero está asociado a un polinomio mónico único.

Dados dos polinomios, $p$ y $q$ , se dice que $p$ divide a $q$ , $p$ es divisor de $q$ , o $q$ es múltiplo de $p$ , si existe un polinomio $r$ tal que $q = pr$ .

Un polinomio es irreducible si no es producto de dos polinomios no constantes, o de manera equivalente, si sus divisores son polinomios constantes o tienen el mismo grado.

Evaluación polinomial

Sea $K$ un campo o, más generalmente, un anillo conmutativo , y $R$ un anillo que contiene $K.$ Para cualquier polinomio $P$ en $K [X]$ y cualquier elemento $a$ en $R$ , la sustitución de $X$ con $a$ en $P$ define un elemento de $R$ , que se denota $P (a)$ . Este elemento se obtiene realizando en $R$ después de la sustitución las operaciones indicadas por la expresión del polinomio. Este cálculo se llama evaluación de $P$ en $a$ . Por ejemplo, si tenemos

P=X^{2}-1,

tenemos

{\begin{aligned}P(3)&=3^{2}-1=8,\\P(X^{2}+1)&=\left(X^{2}+1\right)^{2}-1=X^{4}+2X^{2}\end{aligned}}

(en el primer ejemplo $R = K$ , y en el segundo $R = K [X]$ ). Sustituir $X$ por sí mismo da como resultado

P=P(X),

explicando por qué las oraciones "Sea $P$ un polinomio" y "Sea $P (X)$ un polinomio" son equivalentes.

La función polinómica definida por un polinomio $P$ es la función de $K$ a $K$ que se define por Si $K$ es un campo infinito, dos polinomios diferentes definen funciones polinomiales diferentes, pero esta propiedad es falsa para campos finitos. Por ejemplo, si $K$ es un campo con $q$ elementos, entonces los polinomios $0$ y $X$ $q$ $-$ $X$ definen la función cero. $x\mapsto P(x).$

Para cada $a$ en $R$ , la evaluación en $a$ , es decir, el mapa define un homomorfismo de álgebra de $K$ $[$ $X$ $]$ a $R$ , que es el homomorfismo único de $K$ $[$ $X$ $]$ a $R$ que fija $K$ y asigna $X$ a $a$ . En otras palabras, $K$ $[$ $X$ $]$ tiene la siguiente propiedad universal : $P\mapsto P(a)$

Para cada anillo $R$ que contiene $K$ y cada elemento $a$ de $R$ , existe un homomorfismo de álgebra único de

K [X]

a $R$ que fija $K$ y asigna $X$ a $a$ .

La imagen del mapa , es decir, el subconjunto de $R$ obtenido sustituyendo $a$ por $X$ en elementos de $K$ $[$ $X$ $]$ , se denota $K$ $[$ $a$ $]$ . ^[11] Por ejemplo, , donde . $P\mapsto P(a)$ $\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]=\{P({\sqrt {2}})\mid P(x)\in \mathbb {Z} [X]\}=\mathbb {Z} \cup ({\sqrt {2}}\mathbb {Z} )$ ${\sqrt {2}}\mathbb {Z} =\{{\sqrt {2}}z\mid z\in \mathbb {Z} \}$

Como ocurre con todas las propiedades universales, esto define el par $(K [X], X)$ hasta un isomorfismo único y, por lo tanto, puede tomarse como una definición de $K [X]$ .

Polinomios univariados sobre un campo

Si $K$ es un cuerpo , el anillo polinomial $K [X]$ tiene muchas propiedades que son similares a las del anillo de números enteros. La mayoría de estas similitudes resultan de la similitud entre la división larga de números enteros y la división larga de polinomios . $\mathbb {Z} .$

La mayoría de las propiedades de $K [X]$ que se enumeran en esta sección no siguen siendo verdaderas si $K$ no es un cuerpo o si se consideran polinomios en varios indeterminados.

Al igual que los números enteros, la división euclidiana de polinomios tiene la propiedad de unicidad. Es decir, dados dos polinomios $a$ y $b \neq 0$ en $K [X]$ , existe un par único $(q, r)$ de polinomios tales que $a = bq + r$ , y $r = 0$ o $grados(r) < grados(b)$ . Esto hace que $K [X]$ sea un dominio euclidiano . Sin embargo, la mayoría de los demás dominios euclidianos (excepto los números enteros) no tienen ninguna propiedad de unicidad para la división ni un algoritmo sencillo (como la división larga) para calcular la división euclidiana.

La división euclidiana es la base del algoritmo euclidiano para polinomios que calcula un polinomio máximo común divisor de dos polinomios. Aquí, "mayor" significa "tener un grado máximo" o, de manera equivalente, ser máximo para el preorden definido por el grado. Dado un máximo común divisor de dos polinomios, los otros máximos comunes divisores se obtienen multiplicando por una constante distinta de cero (es decir, todos los máximos comunes divisores de $a$ y $b$ están asociados). En particular, dos polinomios que no son ambos cero tienen un máximo común divisor único que es mónico (coeficiente principal igual a1 ).

El algoritmo euclidiano extendido permite calcular (y demostrar) la identidad de Bézout . En el caso de $K [X]$ , se puede expresar de la siguiente manera. Dados dos polinomios $p$ y $q$ de grados respectivos $m$ y $n$ , si su máximo común divisor mónico $g$ tiene el grado $d$ , entonces existe un par único $(a, b)$ de polinomios tales que

ap+bq=g,

\deg(a)\leq n-d,\quad \deg(b)<m-d.

(Para que esto sea cierto en el caso límite donde $m = d$ o $n = d$ , uno tiene que definir como negativo el grado del polinomio cero. Además, la igualdad sólo puede ocurrir si $p$ y $q$ están asociados). La propiedad de unicidad es bastante específico de $K$ $[$ $X$ $]$ . En el caso de los números enteros se cumple la misma propiedad, si se reemplazan los grados por valores absolutos, pero, para que tengan unicidad, se debe exigir $a$ $> 0$ . $\deg(a)=n-d$

El lema de Euclides se aplica a $K [X]$ . Es decir, si $a$ divide $a bc$ y es coprimo con $b$ , entonces $a$ divide a $c$ . Aquí, coprimo significa que el máximo común divisor mónico es1 . Prueba: Por hipótesis y por identidad de Bézout, existen $e$ , $p$ y $q$ tales que $ae = bc$ y $1 = ap + bq$ . Entonces $c=c(ap+bq)=cap+aeq=a(cp+eq).$

La propiedad de factorización única resulta del lema de Euclides. En el caso de los números enteros, este es el teorema fundamental de la aritmética . En el caso de $K [X]$ , se puede enunciar como: todo polinomio no constante se puede expresar de forma única como producto de una constante y uno o varios polinomios mónicos irreducibles; esta descomposición es única hasta el orden de los factores. En otros términos, $K [X]$ es un dominio de factorización único . Si $K$ es el cuerpo de números complejos, el teorema fundamental del álgebra afirma que un polinomio univariado es irreducible si y sólo si su grado es uno. En este caso, la propiedad de factorización única se puede reformular como: cada polinomio univariado no constante sobre números complejos se puede expresar de manera única como el producto de una constante y uno o varios polinomios de la forma $X - r$ ; esta descomposición es única hasta el orden de los factores. Para cada factor, $r$ es la raíz del polinomio y el número de apariciones de un factor es la multiplicidad de la raíz correspondiente.

Derivación

La derivada (formal) del polinomio

a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}

es el polinomio

a_{1}+2a_{2}X+\cdots +na_{n}X^{n-1}.

En el caso de polinomios con coeficientes reales o complejos , esta es la derivada estándar . La fórmula anterior define la derivada de un polinomio incluso si los coeficientes pertenecen a un anillo en el que no está definida ninguna noción de límite . La derivada convierte el anillo polinómico en un álgebra diferencial .

La existencia de la derivada es una de las principales propiedades de un anillo polinomial que no se comparte con los números enteros y hace que algunos cálculos sean más fáciles en un anillo polinómico que en números enteros.

Factorización sin cuadrados

interpolación de Lagrange

Descomposición polinomial

Factorización

Excepto la factorización, todas las propiedades anteriores de $K [X]$ son efectivas , ya que sus demostraciones, como se esbozó anteriormente, están asociadas con algoritmos para probar la propiedad y calcular los polinomios cuya existencia se afirma. Además, estos algoritmos son eficientes, ya que su complejidad computacional es una función cuadrática del tamaño de entrada.

La situación es completamente diferente en el caso de la factorización: la prueba de la factorización única no da ninguna pista sobre un método de factorización. Para los números enteros, no existe ningún algoritmo conocido que se ejecute en una computadora clásica para factorizarlos en tiempo polinomial . Esta es la base del criptosistema RSA , muy utilizado para comunicaciones seguras por Internet.

En el caso de $K [X]$ , los factores y los métodos para calcularlos dependen en gran medida de $K$ . Sobre los números complejos, los factores irreducibles (aquellos que no pueden ser factorizados más) son todos de grado uno, mientras que, sobre los números reales, hay polinomios irreducibles de grado 2, y, sobre los números racionales , hay polinomios irreducibles de cualquier grado. Por ejemplo, el polinomio es irreducible sobre los números racionales, se factoriza sobre los números reales y como sobre los números complejos. $X^{4}-2$ $(X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X^{2}+{\sqrt {2}})$ $(X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X-i{\sqrt[{4}]{2}})(X+i{\sqrt[{4}]{2}})$

La existencia de un algoritmo de factorización depende también del campo terreno. En el caso de los números reales o complejos, el teorema de Abel-Ruffini muestra que las raíces de algunos polinomios y, por tanto, los factores irreducibles, no se pueden calcular exactamente. Por lo tanto, un algoritmo de factorización sólo puede calcular aproximaciones de los factores. Se han diseñado varios algoritmos para calcular tales aproximaciones; consulte Hallazgo de raíces de polinomios .

Hay un ejemplo de un campo $K$ tal que existen algoritmos exactos para las operaciones aritméticas de $K$ , pero no puede existir ningún algoritmo para decidir si un polinomio de la forma es irreducible o es producto de polinomios de menor grado. ^[12] $X^{p}-a$

Por otro lado, en números racionales y cuerpos finitos, la situación es mejor que en la factorización de números enteros , ya que existen algoritmos de factorización que tienen una complejidad polinómica . Se implementan en la mayoría de los sistemas de álgebra informática de propósito general .

Polinomio mínimo

Si $θ$ es un elemento de una K -álgebra $L$ asociativa , la evaluación polinómica en $θ$ es el homomorfismo de álgebra único $φ$ de $K$ $[$ $X$ $]$ en $L$ que asigna $X$ a $θ$ y no afecta los elementos de $K$ en sí (es la identidad mapa en $K$ ). Consiste en sustituir $X$ por $θ$ en todo polinomio. Eso es,

\varphi \left(a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\right)=a_{m}\theta ^{m}+a_{m-1}\theta ^{m-1}+\cdots +a_{1}\theta +a_{0}.

La imagen de este homomorfismo de evaluación es la subálgebra generada por $θ$ , que es necesariamente conmutativa. Si $φ$ es inyectiva, la subálgebra generada por $θ$ es isomorfa a $K [X]$ . En este caso, esta subálgebra suele denotarse por $K [θ]$ . La ambigüedad de la notación es generalmente inofensiva debido al isomorfismo.

Si el homomorfismo de evaluación no es inyectivo, esto significa que su núcleo es un ideal distinto de cero , que consta de todos los polinomios que se vuelven cero cuando $X$ se sustituye por $θ$ . Este ideal consta de todos los múltiplos de algún polinomio mónico, que se llama polinomio mínimo de $θ$ . El término mínimo está motivado por el hecho de que su grado es mínimo entre los grados de los elementos del ideal.

Hay dos casos principales en los que se consideran polinomios mínimos.

En teoría de campos y teoría de números , un elemento $θ$ de un campo de extensión L $de$ K $es$ algebraico sobre K $si$ es raíz de algún polinomio con coeficientes en $K.$ El polinomio mínimo sobre $K$ de $θ$ es, por tanto, el polinomio mónico de grado mínimo que tiene $θ$ como raíz. Como $L$ es un campo, este polinomio mínimo es necesariamente irreducible sobre $K.$ Por ejemplo, el polinomio mínimo (tanto sobre los reales como sobre los racionales) del número complejo $i$ es . Los polinomios ciclotómicos son los polinomios mínimos de las raíces de la unidad . $X^{2}+1$

En álgebra lineal , las matrices cuadradas $n \times n$ sobre $K$ forman una K -álgebra asociativa de dimensión finita (como un espacio vectorial). Por tanto, el homomorfismo de evaluación no puede ser inyectivo y toda matriz tiene un polinomio mínimo (no necesariamente irreducible). Según el teorema de Cayley-Hamilton , el homomorfismo de evaluación asigna a cero el polinomio característico de una matriz. De ello se deduce que el polinomio mínimo divide al polinomio característico y, por tanto, que el grado del polinomio mínimo es como máximo $n$ .

anillo cociente

En el caso de $K [X]$ , el anillo cociente por un ideal se puede construir, como en el caso general, como un conjunto de clases de equivalencia . Sin embargo, como cada clase de equivalencia contiene exactamente un polinomio de grado mínimo, suele ser más conveniente otra construcción.

Dado un polinomio $p$ de grado $d$ , el anillo cociente de $K [X]$ por el ideal generado por $p$ se puede identificar con el espacio vectorial de los polinomios de grados menores que $d$ , con el "módulo de multiplicación $p$ " como multiplicación, el módulo de multiplicación $p$ que consiste en el resto de la división por $p$ del producto (habitual) de polinomios. Este anillo cociente se denota de diversas formas como o simplemente $K[X]/pK[X],$ $K[X]/\langle p\rangle ,$ $K[X]/(p),$ $K[X]/p.$

El anillo es un campo si y sólo si $p$ es un polinomio irreducible . De hecho, si $p$ es irreducible, todo polinomio $q$ distinto de cero de grado inferior es coprimo con $p$ , y la identidad de Bézout permite calcular $r$ y $s$ tales que $sp$ $+$ $qr$ $= 1$ ; entonces, $r$ es el inverso multiplicativo de $q$ módulo $p$ . Por el contrario, si $p$ es reducible, entonces existen polinomios $a, b$ de grados inferiores a $deg($ $p$ $)$ tales que $ab$ $=$ $p$ ; entonces $a, b$ son divisores cero distintos de cero módulo $p$ y no pueden ser invertibles. $K[X]/(p)$

Por ejemplo, la definición estándar del cuerpo de los números complejos se puede resumir diciendo que es el anillo cociente.

\mathbb {C} =\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1),

y que la imagen de $X$ en se denota por $i$ . De hecho, según la descripción anterior, este cociente consta de todos los polinomios de grado uno en $i$ , que tienen la forma $a$ $+$ $bi$ , con $a$ y $b$ en El resto de la división euclidiana que se necesita para multiplicar dos elementos del anillo cociente. se obtiene reemplazando $i$ $2$ por $-1$ en su producto como polinomios (esta es exactamente la definición habitual del producto de números complejos). $\mathbb {C}$ $\mathbb {R} .$

Sea $θ$ un elemento algebraico en una $K$ -álgebra $A$ . Por algebraico , se quiere decir que $θ$ tiene un polinomio mínimo $p$ . El primer teorema del isomorfismo de anillo afirma que el homomorfismo de sustitución induce un isomorfismo de sobre la imagen $K$ $[$ $θ$ $]$ del homomorfismo de sustitución. En particular, si $A$ es una extensión simple de $K$ generada por $θ$ , esto permite identificar $A$ y esta identificación se usa ampliamente en la teoría algebraica de números . $K[X]/(p)$ $K[X]/(p).$

Módulos

El teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal se aplica a K [ X ], cuando K es un campo. Esto significa que cada módulo generado finitamente sobre K [ X ] puede descomponerse en una suma directa de un módulo libre y un número finito de módulos de la forma , donde P es un polinomio irreducible sobre K y k un entero positivo. $K[X]/\left\langle P^{k}\right\rangle$

Definición (caso multivariado)

Dados $n$ símbolos llamados indeterminados , se forma un monomio (también llamado producto potencia ) $X_{1},\dots ,X_{n},$

X_{1}^{\alpha _{1}}\cdots X_{n}^{\alpha _{n}}

es un producto formal de estos indeterminados, posiblemente elevado a una potencia no negativa. Como es habitual, se pueden omitir los exponentes iguales a uno y los factores con exponente cero. En particular, $X_{1}^{0}\cdots X_{n}^{0}=1.$

La tupla de exponentes $α = (α 1, \dots, α n)$ se llama vector multigrado o exponente del monomio. Para una notación menos engorrosa, la abreviatura

X^{\alpha }=X_{1}^{\alpha _{1}}\cdots X_{n}^{\alpha _{n}}

se utiliza a menudo. El grado de un monomio $X α$ , frecuentemente denotado $grado α$ o $| α |$ , es la suma de sus exponentes:

\deg \alpha =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}.

Un polinomio en estos indeterminados, con coeficientes en un campo $K$ , o más generalmente un anillo , es una combinación lineal finita de monomios.

p=\sum _{\alpha }p_{\alpha }X^{\alpha }

con coeficientes en $K$ . El grado de un polinomio distinto de cero es el máximo de los grados de sus monomios con coeficientes distintos de cero.

El conjunto de polinomios denotados es, por tanto, un espacio vectorial (o un módulo libre , si $K$ es un anillo) que tiene los monomios como base. $X_{1},\dots ,X_{n},$ $K[X_{1},\dots ,X_{n}],$

$K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ está naturalmente equipado (ver más abajo) con una multiplicación que forma un anillo , y un álgebra asociativa sobre $K$ , llamado anillo polinómico en $n$ indeterminados sobre $K$ (el artículo definido refleja que está definido de manera única hasta el nombre y el orden de los indeterminados.Si el anillo $K$ es conmutativo , también es un anillo conmutativo. $K[X_{1},\dots ,X_{n}]$

Operaciones en K [ X 1 , ..., X n ]

La suma y la multiplicación escalar de polinomios son las de un espacio vectorial o módulo libre dotado de una base específica (aquí la base de los monomios). Explícitamente, sean donde $I$ y $J$ sean conjuntos finitos de vectores exponentes. $p=\sum _{\alpha \in I}p_{\alpha }X^{\alpha },\quad q=\sum _{\beta \in J}q_{\beta }X^{\beta },$

La multiplicación escalar de $p$ y un escalar es $c\in K$

cp=\sum _{\alpha \in I}cp_{\alpha }X^{\alpha }.

La suma de $p$ y $q$ es

p+q=\sum _{\alpha \in I\cup J}(p_{\alpha }+q_{\alpha })X^{\alpha },

donde si y si Además, si se tiene para algunos , el término cero correspondiente se elimina del resultado. $p_{\alpha }=0$ $\alpha \not \in I,$ $q_{\beta }=0$ $\beta \not \in J.$ $p_{\alpha }+q_{\alpha }=0$ $\alpha \in I\cap J,$

La multiplicación es

pq=\sum _{\gamma \in I+J}\left(\sum _{\alpha ,\beta \mid \alpha +\beta =\gamma }p_{\alpha }q_{\beta }\right)X^{\gamma },

donde es el conjunto de las sumas de un vector exponente en $I$ y otro en $J$ (suma habitual de vectores). En particular, el producto de dos monomios es un monomio cuyo vector exponente es la suma de los vectores exponentes de los factores. $I+J$

La verificación de los axiomas de un álgebra asociativa es sencilla.

Expresión polinómica

Una expresión polinómica es una expresión construida con escalares (elementos de $K$ ), indeterminados y los operadores de suma, multiplicación y exponenciación a potencias enteras no negativas.

Como todas estas operaciones se definen en una expresión polinómica, representa un polinomio, es decir, un elemento de La definición de un polinomio como una combinación lineal de monomios es una expresión polinómica particular, que a menudo se denomina forma canónica , forma normal o forma expandida. del polinomio. Dada una expresión polinómica, se puede calcular la forma expandida del polinomio representado expandiendo con la ley distributiva todos los productos que tienen una suma entre sus factores, y luego usando la conmutatividad (excepto el producto de dos escalares) y la asociatividad para transformar los términos de la suma resultante en productos de un escalar y un monomio; entonces se obtiene la forma canónica reagrupando los términos semejantes . $K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ $K[X_{1},\dots ,X_{n}].$

La distinción entre una expresión polinómica y el polinomio que representa es relativamente reciente y está motivada principalmente por el auge del álgebra informática , donde, por ejemplo, la prueba de si dos expresiones polinómicas representan el mismo polinomio puede ser un cálculo no trivial.

Caracterización categórica

Si $K$ es un anillo conmutativo, el anillo polinómico $K [X 1, \dots, X n]$ tiene la siguiente propiedad universal : para cada K -álgebra $A$ conmutativa y para cada $n$ - tupla $($ $x$ $1$ $, \dots,$ $x$ $n$ $)$ de elementos de $A$ , existe un único homomorfismo de álgebra de $K$ $[$ $X$ $1$ $, \dots,$ $X$ $n$ $]$ a $A$ que asigna cada uno al correspondiente. Este homomorfismo es el homomorfismo de evaluación que consiste en sustituir con en cada polinomio. $X_{i}$ $x_{i}.$ $X_{i}$ $x_{i}$

Como ocurre con toda propiedad universal, esto caracteriza al par hasta un isomorfismo único . $(K[X_{1},\dots ,X_{n}],(X_{1},\dots ,X_{n}))$

Esto también puede interpretarse en términos de funtores adjuntos . Más precisamente, sean $SET$ y $ALG$ respectivamente las categorías de conjuntos y $K$ -álgebras conmutativas (aquí y en adelante, los morfismos se definen trivialmente). Hay un functor olvidadizo que asigna álgebras a sus conjuntos subyacentes. Por otro lado, el mapa define un funtor en la otra dirección. (Si $X$ es infinito, $K$ $[$ $X$ $]$ es el conjunto de todos los polinomios en un número finito de elementos de $X$ ). $\mathrm {F} :\mathrm {ALG} \to \mathrm {SET}$ $X\mapsto K[X]$ $\mathrm {POL} :\mathrm {SET} \to \mathrm {ALG}$

La propiedad universal del anillo polinómico significa que $F$ y $POL$ son functores adjuntos . Es decir, hay una biyección.

\operatorname {Hom} _{\mathrm {SET} }(X,\operatorname {F} (A))\cong \operatorname {Hom} _{\mathrm {ALG} }(K[X],A).

Esto también se puede expresar diciendo que los anillos polinómicos son álgebras conmutativas libres , ya que son objetos libres en la categoría de álgebras conmutativas. De manera similar, un anillo polinómico con coeficientes enteros es el anillo conmutativo libre sobre su conjunto de variables, ya que los anillos conmutativos y las álgebras conmutativas sobre números enteros son lo mismo.

Estructura graduada

Univariante sobre un anillo versus multivariado

Un polinomio in puede considerarse como un polinomio univariado en lo indeterminado sobre el anillo reagrupando los términos que contienen la misma potencia de es decir, usando la identidad $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $X_{n}$ $K[X_{1},\ldots ,X_{n-1}],$ $X_{n},$

\sum _{(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in I}c_{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}X_{1}^{\alpha _{1}}\cdots X_{n}^{\alpha _{n}}=\sum _{i}\left(\sum _{(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1})\mid (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1},i)\in I}c_{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1}}X_{1}^{\alpha _{1}}\cdots X_{n-1}^{\alpha _{n-1}}\right)X_{n}^{i},

que resulta de la distributividad y asociatividad de las operaciones en anillo.

Esto significa que uno tiene un isomorfismo de álgebra.

K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\cong (K[X_{1},\ldots ,X_{n-1}])[X_{n}]

que asigna cada indeterminado a sí mismo. (Este isomorfismo a menudo se escribe como una igualdad, lo cual se justifica por el hecho de que los anillos polinomiales se definen hasta un isomorfismo único ).

En otras palabras, un anillo polinómico multivariado puede considerarse como un polinomio univariante sobre un anillo polinómico más pequeño. Esto se usa comúnmente para probar propiedades de anillos polinomiales multivariados, mediante inducción del número de indeterminados.

Las principales propiedades de este tipo se enumeran a continuación.

Propiedades que pasan de R a R [ X ]

En esta sección, $R$ es un anillo conmutativo, $K$ es un campo, $X$ denota un único indeterminado y, como es habitual, es el anillo de los números enteros. Aquí está la lista de las principales propiedades del anillo que siguen siendo verdaderas al pasar de $R$ a $R$ $[$ $X$ $]$ . $\mathbb {Z}$

Si R es un dominio integral, entonces lo mismo se aplica a R [ X ] (ya que el coeficiente principal de un producto de polinomios es, si no cero, el producto de los coeficientes principales de los factores).
- En particular, y son dominios integrales. $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $\mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]$
Si R es un dominio de factorización único, entonces lo mismo se aplica a R [ X ] . Esto resulta del lema de Gauss y de la propiedad única de factorización de donde L es el campo de fracciones de R. $L[X],$
- En particular, y son dominios de factorización únicos. $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $\mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]$
Si R es un anillo noetheriano , entonces lo mismo se aplica a R [ X ] .
- En particular, y son anillos noetherianos; este es el teorema de la base de Hilbert . $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $\mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]$
Si R es un anillo noetheriano, entonces " " denota la dimensión de Krull . $\dim R[X]=1+\dim R,$ $\dim$
- En particular, y $\dim K[X_{1},\ldots ,X_{n}]=n$ $\dim \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]=n+1.$
Si R es un anillo regular , entonces lo mismo se aplica a R [ X ] ; en este caso uno tiene
$\operatorname {gl} \,\dim R[X]=\dim R[X]=1+\operatorname {gl} \,\dim R=1+\dim R,$
donde " " denota la dimensión global . $\operatorname {gl} \,\dim$
- En particular, y son anillos regulares, y La última igualdad es el teorema de la sizigia de Hilbert . $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $\mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $\operatorname {gl} \,\dim \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]=n+1,$ $\operatorname {gl} \,\dim K[X_{1},\ldots ,X_{n}]=n.$

Varios indeterminados sobre un campo.

Los anillos polinomiales en varias variables sobre un campo son fundamentales en la teoría invariante y la geometría algebraica . Algunas de sus propiedades, como las descritas anteriormente, se pueden reducir al caso de un único indeterminado, pero no siempre es así. En particular, debido a las aplicaciones geométricas, muchas propiedades interesantes deben ser invariantes bajo transformaciones afines o proyectivas de los indeterminados. Esto a menudo implica que no se puede seleccionar uno de los indeterminados para una recurrencia en los indeterminados.

El teorema de Bézout , la Nullstellensatz de Hilbert y la conjetura jacobiana se encuentran entre las propiedades más famosas específicas de los polinomios multivariados sobre un cuerpo.

Nullstellensatz de Hilbert

El Nullstellensatz (en alemán "teorema del lugar cero") es un teorema, demostrado por primera vez por David Hilbert , que extiende al caso multivariado algunos aspectos del teorema fundamental del álgebra . Es fundamental para la geometría algebraica , ya que establece un fuerte vínculo entre las propiedades algebraicas y las propiedades geométricas de las variedades algebraicas , que son (en términos generales) un conjunto de puntos definidos por ecuaciones polinómicas implícitas . $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$

El Nullstellensatz, tiene tres versiones principales, siendo cada una un corolario de cualquier otra. A continuación se dan dos de estas versiones. Para la tercera versión, se remite al lector al artículo principal del Nullstellensatz.

La primera versión generaliza el hecho de que un polinomio univariado distinto de cero tiene un cero complejo si y sólo si no es una constante. El enunciado es: un conjunto de polinomios $S$ in tiene un cero común en un cuerpo algebraicamente cerrado que contiene $K$ , si y sólo si $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $1$ no pertenece al ideal generado por $S$ , es decir, si $1$ no es una combinación lineal de elementos de $S$ con coeficientes polinomiales .

La segunda versión generaliza el hecho de que los polinomios univariados irreducibles sobre números complejos están asociados a un polinomio de la forma. El enunciado es: Si $K$ es algebraicamente cerrado, entonces los ideales máximos de tienen la forma $X-\alpha .$ $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $\langle X_{1}-\alpha _{1},\ldots ,X_{n}-\alpha _{n}\rangle .$

Teorema de Bézout

El teorema de Bézout puede verse como una generalización multivariada de la versión del teorema fundamental del álgebra que afirma que un polinomio univariado de grado $n$ tiene $n$ raíces complejas, si se cuentan con sus multiplicidades.

En el caso de los polinomios bivariados , establece que dos polinomios de grados $d$ y $e$ en dos variables, que no tienen factores comunes de grado positivo, tienen exactamente $los$ ceros comunes en un campo algebraicamente cerrado que contiene los coeficientes, si los ceros se cuentan con su multiplicidad e incluyen los ceros en el infinito .

Para plantear el caso general, y no considerar el "cero en el infinito" como ceros especiales, conviene trabajar con polinomios homogéneos , y considerar ceros en un espacio proyectivo . En este contexto, un cero proyectivo de un polinomio homogéneo es, hasta un escalamiento, una $($ $n$ $+ 1)$ - tupla de elementos de $K$ distinta de $(0,\dots, 0)$ , y tal que . Aquí, "hasta una escala" significa que y se consideran el mismo cero para cualquier distinto de cero. En otras palabras, un cero es un conjunto de coordenadas homogéneas de un punto en un espacio proyectivo de dimensión $n$ . $P(X_{0},\ldots ,X_{n})$ $(x_{0},\ldots ,x_{n})$ $P(x_{0},\ldots ,x_{n})=0$ $(x_{0},\ldots ,x_{n})$ $(\lambda x_{0},\ldots ,\lambda x_{n})$ $\lambda \in K.$

Entonces, el teorema de Bézout establece: Dados $n$ polinomios homogéneos de grados en $n$ $+ 1$ indeterminados, que tienen sólo un número finito de ceros proyectivos comunes en una extensión algebraicamente cerrada de $K$ , la suma de las multiplicidades de estos ceros es el producto $d_{1},\ldots ,d_{n}$ $d_{1}\cdots d_{n}.$

conjetura jacobiana

Generalizaciones

Los anillos polinomiales se pueden generalizar de muchas maneras, incluidos anillos polinomiales con exponentes generalizados, anillos de series de potencias, anillos polinomiales no conmutativos , anillos polinomiales sesgados y plataformas polinómicas .

Infinitas variables

Una ligera generalización de los anillos polinomiales es permitir una infinidad de indeterminados. Cada monomio todavía implica sólo un número finito de indeterminados (de modo que su grado sigue siendo finito), y cada polinomio sigue siendo una combinación lineal (finita) de monomios. Por lo tanto, cualquier polinomio individual implica sólo un número finito de indeterminados, y cualquier cálculo finito que involucre polinomios permanece dentro de algún subanillo de polinomios en un número finito de indeterminados. Esta generalización tiene la misma propiedad de los anillos polinomiales habituales, de ser el álgebra conmutativa libre , la única diferencia es que es un objeto libre sobre un conjunto infinito.

También se puede considerar un anillo estrictamente más grande, definiendo como polinomio generalizado una suma formal infinita (o finita) de monomios con un grado acotado. Este anillo es más grande que el anillo polinómico habitual, ya que incluye sumas infinitas de variables. Sin embargo, es más pequeño que el anillo de series de potencias en infinitas variables . Un anillo de este tipo se utiliza para construir el anillo de funciones simétricas en un conjunto infinito.

Exponentes generalizados

Una generalización simple sólo cambia el conjunto del que se extraen los exponentes de la variable. Las fórmulas de suma y multiplicación tienen sentido siempre que se puedan sumar exponentes: X ⁱ ⋅ X ^j = X ^{i + j} . Un conjunto para el cual la suma tiene sentido (es cerrado y asociativo) se llama monoide . Al conjunto de funciones desde un monoide N hasta un anillo R que son distintas de cero en sólo un número finito de lugares se le puede dar la estructura de un anillo conocido como R [ N ], el anillo monoide de N con coeficientes en R . La suma se define componente a componente, de modo que si c = a + b , entonces c _n = a _n + b _n para cada n en N . La multiplicación se define como el producto de Cauchy, de modo que si c = a ⋅ b , entonces para cada n en N , c _n es la suma de todos los a _i b _j donde i , j abarcan todos los pares de elementos de N que suman al n .

Cuando N es conmutativo, es conveniente denotar la función a en R [ N ] como la suma formal:

\sum _{n\in N}a_{n}X^{n}

y luego las fórmulas de suma y multiplicación son las familiares:

\left(\sum _{n\in N}a_{n}X^{n}\right)+\left(\sum _{n\in N}b_{n}X^{n}\right)=\sum _{n\in N}\left(a_{n}+b_{n}\right)X^{n}

\left(\sum _{n\in N}a_{n}X^{n}\right)\cdot \left(\sum _{n\in N}b_{n}X^{n}\right)=\sum _{n\in N}\left(\sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}\right)X^{n}

donde la última suma se toma sobre todos los i , j en N que suman n .

Algunos autores como (Lang 2002, II,§3) llegan incluso a tomar esta definición de monoide como punto de partida, y los polinomios regulares de una sola variable son el caso especial en el que N es el monoide de números enteros no negativos. Los polinomios en varias variables simplemente toman a N como el producto directo de varias copias del monoide de números enteros no negativos.

Varios ejemplos interesantes de anillos y grupos se forman tomando N como el monoide aditivo de números racionales no negativos (Osbourne 2000, §4.4) . Véase también serie Puiseux .

Serie de potencia

Las series de potencias generalizan la elección del exponente en una dirección diferente al permitir infinitos términos distintos de cero. Esto requiere varias hipótesis sobre el monoide N utilizado para los exponentes, para garantizar que las sumas en el producto de Cauchy sean sumas finitas. Alternativamente, se puede colocar una topología en el anillo y luego restringirla a sumas infinitas convergentes. Para la elección estándar de N , los enteros no negativos, no hay problema, y el anillo de la serie de potencias formal se define como el conjunto de funciones desde N hasta un anillo R con suma por componentes y multiplicación dada por Cauchy. producto. El anillo de la serie de potencias también puede verse como la terminación del anillo polinómico con respecto al ideal generado por $x$ .

Anillos polinomiales no conmutativos

Para anillos polinomiales de más de una variable, los productos X ⋅ Y e Y ⋅ X simplemente se definen como iguales. Se obtiene una noción más general de anillo polinomial cuando se mantiene la distinción entre estos dos productos formales. Formalmente, el anillo polinómico en n variables no conmutantes con coeficientes en el anillo R es el anillo monoide R [ N ], donde el monoide N es el monoide libre en n letras, también conocido como el conjunto de todas las cadenas sobre un alfabeto de n símbolos. , con multiplicación dada por concatenación. Ni los coeficientes ni las variables necesitan conmutar entre sí, pero los coeficientes y las variables conmutan entre sí.

Así como el anillo polinómico en n variables con coeficientes en el anillo conmutativo R es el álgebra R conmutativa libre de rango n , el anillo polinómico no conmutativo en n variables con coeficientes en el anillo conmutativo R es el álgebra R unital asociativa libre en n generadores, que es no conmutativo cuando n > 1.

Anillos diferenciales y polinomiales sesgados

Otras generalizaciones de polinomios son los anillos polinómicos diferenciales y sesgados.

Un anillo polinómico diferencial es un anillo de operadores diferenciales formado a partir de un anillo R y una derivación δ de R en R. Esta derivación opera en R y se denotará X cuando se la vea como un operador. Los elementos de R también operan sobre R mediante multiplicación. La composición de operadores se denota como la multiplicación habitual. De ello se deduce que la relación δ ( ab ) = aδ ( b ) + δ ( a ) b puede reescribirse como

X\cdot a=a\cdot X+\delta (a).

Esta relación puede ampliarse para definir una multiplicación sesgada entre dos polinomios en X con coeficientes en R , lo que los convierte en un anillo no conmutativo .

El ejemplo estándar, llamado álgebra de Weyl , toma a R como un anillo polinomial (habitual) k [ Y ], y δ como la derivada polinómica estándar . Tomando a = Y en la relación anterior, se obtiene la relación de conmutación canónica , X ⋅ Y − Y ⋅ X = 1. Ampliar esta relación mediante asociatividad y distributividad permite construir explícitamente el álgebra de Weyl . (Lam 2001, §1, ex 1.9). ${\tfrac {\partial }{\partial Y}}$

El anillo polinomial sesgado se define de manera similar para un anillo R y un endomorfismo de anillo f de R , extendiendo la multiplicación de la relación X ⋅ r = f ( r )⋅ X para producir una multiplicación asociativa que se distribuye sobre la suma estándar. De manera más general, dado un homomorfismo F del monoide N de los enteros positivos en el anillo de endomorfismo de R , la fórmula X ⁿ ⋅ r = F ( n )( r )⋅ X ⁿ permite construir un anillo polinomial sesgado. (Lam 2001, §1, ex 1.11) Los anillos polinomiales sesgados están estrechamente relacionados con las álgebras de productos cruzados .

Plataformas polinomiales

La definición de anillo polinomial se puede generalizar relajando el requisito de que la estructura algebraica R sea un campo o un anillo al requisito de que R sólo sea un semicampo o aparejo ; la estructura/extensión polinómica resultante R [ X ] es una plataforma polinómica . Por ejemplo, el conjunto de todos los polinomios multivariados con coeficientes de números naturales es un equipo polinómico.

Ver también

Referencias

^ Herstein 1975, pag. 153
^ Herstein, Salón pag. 73
^ Lang 2002, pag. 97
^ Herstein 1975, pag. 154
^ Lang 2002, pag. 100
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^ Herstein 1975, pag. 162
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Salón, FM (1969). "Sección 3.6". Introducción al álgebra abstracta . vol. 2. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0521084849.
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