Nullstellensatz de Hilbert

Relación entre variedades algebraicas e ideales polinomiales

En matemáticas , el Nullstellensatz de Hilbert (en alemán "teorema de los ceros", o más literalmente, "teorema del lugar cero") es un teorema que establece una relación fundamental entre geometría y álgebra . Esta relación es la base de la geometría algebraica . Relaciona conjuntos algebraicos con ideales en anillos polinomiales sobre campos algebraicamente cerrados . Esta relación fue descubierta por David Hilbert , quien demostró el Nullstellensatz en su segundo artículo importante sobre teoría invariante en 1893 (después de su artículo fundamental de 1890 en el que demostró el teorema de la base de Hilbert ).

Formulación

Sea un campo (como los números racionales ) y sea una extensión de campo algebraicamente cerrado de (como los números complejos ). Considere el anillo polinómico y sea un ideal en este anillo. El conjunto algebraico definido por este ideal consta de todas las tuplas de tal manera que para todas las ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathrm {V} (I)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle f(\mathbf {x} )=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$.Nullstellensatz de Hilbert afirma que si p es algún polinomio que desaparece en el conjunto algebraico , es decir, para todo en , entonces existe un número natural tal que está en . ^[1] ${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ ${\displaystyle \mathrm {V} (I)}$ ${\displaystyle p(\mathbf {x} )=0}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathrm {V} (I)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p^{r}}$ ${\displaystyle I}$

Un corolario inmediato es el Nullstellensatz débil : el ideal contiene 1 si y sólo si los polinomios en I no tienen ceros comunes en K ⁿ . El Nullstellensatz débil también puede formularse de la siguiente manera: si I es un ideal propio en entonces V( I ) no puede ser vacío , es decir, existe un cero común para todos los polinomios en el ideal en cada extensión algebraicamente cerrada de k . Ésta es la razón del nombre del teorema, cuya versión completa se puede demostrar fácilmente a partir de la forma "débil" utilizando el truco de Rabinowitsch . Aquí es esencial el supuesto de considerar ceros comunes en un campo algebraicamente cerrado; por ejemplo, los elementos del ideal propio ( X ² + 1) en no tienen un cero común en ${\displaystyle I\subseteq k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ ${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}],}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Con la notación común en geometría algebraica, el Nullstellensatz también se puede formular como

${\displaystyle {\hbox{I}}({\hbox{V}}(J))={\sqrt {J}}}$

para cada ideal J . Aquí, denota el radical de J e I ( U ) es el ideal de todos los polinomios que desaparecen en el conjunto U. ${\displaystyle {\sqrt {J}}}$

De esta manera, obtenemos una correspondencia biyectiva de inversión de orden entre los conjuntos algebraicos en K ⁿ y los ideales radicales de De hecho, de manera más general, se tiene una conexión de Galois entre subconjuntos del espacio y subconjuntos del álgebra, donde " Zariski cierre " y "radical del ideal generado" son los operadores de cierre . ${\displaystyle k=K}$ ${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}].}$

Como ejemplo particular, consideremos un punto . Entonces . Más generalmente, ${\displaystyle P=(a_{1},\dots ,a_{n})\in K^{n}}$ ${\displaystyle I(P)=(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})}$

${\displaystyle {\sqrt {I}}=\bigcap _{(a_{1},\dots ,a_{n})\in V(I)}(X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n}).}$

Por el contrario, todo ideal máximo del anillo polinómico (tenga en cuenta que es algebraicamente cerrado) tiene la forma para algunos . ${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in K}$

Como otro ejemplo, un subconjunto algebraico W en K ⁿ es irreducible (en la topología de Zariski) si y sólo si es un ideal primo. ${\displaystyle I(W)}$

Pruebas

Hay muchas demostraciones conocidas del teorema. Algunas son no constructivas , como la primera. Otros son constructivos, como los que se basan en algoritmos para expresar 1 o p ^r como una combinación lineal de los generadores del ideal.

Usando el lema de Zariski

El lema de Zariski afirma que si un campo se genera de forma finita como un álgebra asociativa sobre un campo k , entonces es una extensión de campo finito de k (es decir, también se genera de forma finita como un espacio vectorial ).

Aquí hay un bosquejo de una prueba usando este lema. ^[2]

Sea ( k campo algebraicamente cerrado), I un ideal de A, y V los ceros comunes de I en . Claramente, . Dejar . Entonces, para algún ideal primo en A . Sea y un ideal máximo en . Según el lema de Zariski, es una extensión finita de k ; por tanto, es k ya que k es algebraicamente cerrado. Sean las imágenes de debajo del mapa natural que pasa . De ello se deduce que y . ${\displaystyle A=k[t_{1},\ldots ,t_{n}]}$ ${\displaystyle k^{n}}$ ${\displaystyle {\sqrt {I}}\subseteq I(V)}$ ${\displaystyle f\not \in {\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle f\not \in {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\supseteq I}$ ${\displaystyle R=(A/{\mathfrak {p}})[f^{-1}]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle A\to k}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in V}$ ${\displaystyle f(x)\neq 0}$

Usando resultantes

La siguiente prueba constructiva de la forma débil es una de las pruebas más antiguas (la forma fuerte resulta del truco de Rabinowitsch , que también es constructiva).

La resultante de dos polinomios dependiendo de una variable x y otras variables es un polinomio en las otras variables que está en el ideal generado por los dos polinomios, y tiene las siguientes propiedades: si uno de los polinomios es mónico en x , todo cero ( en las otras variables) de la resultante se puede extender a un cero común de los dos polinomios.

La prueba es como sigue.

Si el ideal es principal , generado por un polinomio p no constante que depende de x , se eligen valores arbitrarios para las otras variables. El teorema fundamental del álgebra afirma que esta elección se puede extender a un cero de p .

En el caso de varios polinomios un cambio lineal de variables permite suponer que es mónica en la primera variable x . Luego, se introducen nuevas variables y se considera la resultante ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n},}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle u_{2},\ldots ,u_{n},}$

${\displaystyle R=\operatorname {Res} _{x}(p_{1},u_{2}p_{2}+\cdots +u_{n}p_{n}).}$

Como R está en el ideal generado por lo mismo ocurre con los coeficientes en R de los monomios en Entonces, si 1 está en el ideal generado por estos coeficientes, también está en el ideal generado por Por otro lado, si estos coeficientes tienen un cero común, este cero se puede extender a un cero común mediante la propiedad anterior del resultante. ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n},}$ ${\displaystyle u_{2},\ldots ,u_{n}.}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}.}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n},}$

Esto demuestra la debilidad de Nullstellensatz por inducción sobre el número de variables.

Usando bases de Gröbner

Una base de Gröbner es un concepto algorítmico que fue introducido en 1973 por Bruno Buchberger . Actualmente es fundamental en geometría computacional . Una base de Gröbner es un conjunto generador especial de un ideal del que se pueden extraer fácilmente la mayoría de las propiedades del ideal. Los que están relacionados con el Nullstellensatz son los siguientes:

• Un ideal contiene 1 si y sólo si su base de Gröbner reducida (para cualquier orden monomio ) es 1 .
• El número de ceros comunes de los polinomios en una base de Gröbner está fuertemente relacionado con el número de monomios que son irreducibles por la base. Es decir, el número de ceros comunes es infinito si y sólo si lo mismo ocurre con los monomios irreducibles; si los dos números son finitos, el número de monomios irreducibles es igual al número de ceros (en un campo algebraicamente cerrado), contados con multiplicidades.
• Con un orden monomial lexicográfico , los ceros comunes se pueden calcular resolviendo polinomios univariados de forma iterativa (esto no se utiliza en la práctica ya que se conocen mejores algoritmos).
• Nullstellensatz fuerte: una potencia de p pertenece a un ideal I si y sólo la saturación de I por p produce la base de Gröbner 1 . Así, la fuerte Nullstellensatz resulta casi inmediatamente de la definición de saturación.

Generalizaciones

El Nullstellensatz está subsumido por un desarrollo sistemático de la teoría de los anillos de Jacobson , que son aquellos anillos en los que todo ideal radical es una intersección de ideales máximos. Dado el lema de Zariski, demostrar el Nullstellensatz equivale a demostrar que si k es un campo, entonces toda k -álgebra R finitamente generada (necesariamente de la forma ) es Jacobson. De manera más general, se tiene el siguiente teorema: ${\textstyle R=k[t_{1},\cdots ,t_{n}]/I}$

Sea un anillo de Jacobson. Si es una R -álgebra finitamente generada , entonces es un anillo de Jacobson. Además, si es un ideal máximo, entonces es un ideal máximo de y es una extensión finita de . ^[3] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}\subseteq S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}:={\mathfrak {n}}\cap R}$ ${\textstyle R}$ ${\displaystyle S/{\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$

Otras generalizaciones proceden de ver el Nullstellensatz en términos de teoría de esquemas diciendo que para cualquier campo k y distinto de cero k -álgebra finitamente generado , el morfismo admite una sección étale-localmente (de manera equivalente, después del cambio de base a lo largo de alguna extensión de campo finito ). En este sentido, se tiene el siguiente teorema: ${\textstyle \mathrm {Spec} \,R\to \mathrm {Spec} \,k}$ ${\textstyle \mathrm {Spec} \,L\to \mathrm {Spec} \,k}$ ${\textstyle L/k}$

Cualquier morfismo fielmente plano de esquemas localmente de presentación finita admite una cuasi-sección , en el sentido de que existe un morfismo fielmente plano y localmente cuasi-finito localmente de presentación finita tal que el cambio de base de a lo largo admite una sección. ^[4] Además, si es cuasicompacto (resp. cuasicompacto y cuasiseparado ), entonces se puede considerar afín (resp. afín y cuasifinito), y si es sobreyectivo suave , entonces se puede considerar ser étale . ^[5] ${\textstyle f:Y\to X}$ ${\textstyle g:X'\to X}$ ${\textstyle f':Y\times _{X}X'\to X'}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle X'}$ ${\textstyle X'}$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle g}$

Serge Lang dio una extensión del Nullstellensatz al caso de infinitos generadores:

Sea un cardinal infinito y un campo algebraicamente cerrado cuyo grado de trascendencia sobre su subcampo primo sea estrictamente mayor que . Entonces, para cualquier conjunto de cardinalidad , el anillo polinómico satisface el Nullstellensatz, es decir, para cualquier ideal tenemos eso . ^[6] ${\textstyle \kappa }$ ${\textstyle K}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\textstyle S}$ ${\textstyle \kappa }$ ${\textstyle A=K[x_{i}]_{i\in S}}$ ${\textstyle J\subset A}$ ${\displaystyle {\sqrt {J}}={\hbox{I}}({\hbox{V}}(J))}$

Nullstellensatz eficaz

En todas sus variantes, el Nullstellensatz de Hilbert afirma que algún polinomio g pertenece o no a un ideal generado, digamos, por f ₁ , ..., f _k ; tenemos g = f ^r en la versión fuerte, g = 1 en la forma débil. Esto significa la existencia o no existencia de polinomios g ₁ , ..., g _k tales que g = f ₁ g ₁ + ... + f _k g _k . Las demostraciones habituales del Nullstellensatz no son constructivas, no efectivas, en el sentido de que no proporcionan ninguna forma de calcular el g _i .

Por lo tanto, es bastante natural preguntarse si existe una forma eficaz de calcular g i ₍ y el exponente r en la forma fuerte) o de demostrar que no existen. Para resolver este problema, basta con proporcionar un límite superior al grado total de g _i : dicho límite reduce el problema a un sistema finito de ecuaciones lineales que puede resolverse mediante técnicas habituales de álgebra lineal . Cualquier límite superior de este tipo se denomina Nullstellensatz efectivo .

Un problema relacionado es el problema de membresía ideal , que consiste en probar si un polinomio pertenece a un ideal. También para este problema, una solución la proporciona un límite superior en el grado de g _i . Una solución general del problema de la membresía ideal proporciona una Nullstellensatz efectiva, al menos para la forma débil.

En 1925, Grete Hermann dio un límite superior para el problema de membresía ideal que es doblemente exponencial en el número de variables. En 1982, Mayr y Meyer dieron un ejemplo en el que g _i tiene un grado que es al menos doble exponencial, mostrando que cada límite superior general del problema de membresía ideal es doble exponencial en el número de variables.

Dado que la mayoría de los matemáticos de la época asumieron que el Nullstellensatz efectivo era al menos tan difícil como la membresía ideal, pocos matemáticos buscaron un límite mejor que el doble exponencial. Sin embargo, en 1987, W. Dale Brownawell dio un límite superior para el Nullstellensatz efectivo que es simplemente exponencial en el número de variables. ^[7] La ​​prueba de Brownawell se basó en técnicas analíticas válidas sólo en la característica 0, pero, un año después, János Kollár dio una prueba puramente algebraica, válida en cualquier característica, de un límite ligeramente mejor.

En el caso del débil Nullstellensatz, el límite de Kollár es el siguiente: ^[8]

Sean f ₁ , ..., f _s polinomios en n ≥ 2 variables, de grado total d ₁ ≥ ... ≥ d _s . Si existen polinomios g _i tales que f ₁ g ₁ + ... + f _s g _s = 1 , entonces se pueden elegir de manera que

${\displaystyle \deg(f_{i}g_{i})\leq \max(d_{s},3)\prod _{j=1}^{\min(n,s)-1}\max(d_{j},3).}$

Este límite es óptimo si todos los grados son mayores que 2.

Si d es el máximo de los grados de f _i , este límite puede simplificarse a

${\displaystyle \max(3,d)^{\min(n,s)}.}$

El resultado de Kollár ha sido mejorado por varios autores. Al 14 de octubre de 2012 ^[update], la mejor mejora, debida a M. Sombra, es ^[9]

${\displaystyle \deg(f_{i}g_{i})\leq 2d_{s}\prod _{j=1}^{\min(n,s)-1}d_{j}.}$

Su límite mejora el de Kollár tan pronto como al menos dos de los grados involucrados sean inferiores a 3.

Nullstellensatz proyectivo

Podemos formular una cierta correspondencia entre ideales homogéneos de polinomios y subconjuntos algebraicos de un espacio proyectivo, llamado Nullstellensatz proyectivo , que es análogo al afín. Para ello, introducimos algunas notaciones. Dejemos que el ideal homogéneo, ${\displaystyle R=k[t_{0},\ldots ,t_{n}].}$

${\displaystyle R_{+}=\bigoplus _{d\geqslant 1}R_{d}}$

se llama ideal homogéneo máximo (ver también ideal irrelevante ). Como en el caso afín, dejamos: para un subconjunto y un ideal homogéneo I de R , ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(S)&=\{f\in R_{+}\mid f=0{\text{ on }}S\},\\\operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I)&=\{x\in \mathbb {P} ^{n}\mid f(x)=0{\text{ for all }}f\in I\}.\end{aligned}}}$

Con esto queremos decir: para cada coordenadas homogéneas de un punto de S tenemos . Esto implica que los componentes homogéneos de f también son cero en S y, por tanto, es un ideal homogéneo. De manera equivalente, es el ideal homogéneo generado por polinomios homogéneos f que desaparecen en S . Ahora bien, para cualquier ideal homogéneo , según el habitual Nullstellensatz, tenemos: ${\displaystyle f=0{\text{ on }}S}$ ${\displaystyle (a_{0}:\cdots :a_{n})}$ ${\displaystyle f(a_{0},\ldots ,a_{n})=0}$ ${\displaystyle \operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(S)}$ ${\displaystyle \operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(S)}$ ${\displaystyle I\subseteq R_{+}}$

${\displaystyle {\sqrt {I}}=\operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(\operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I)),}$

y así, como en el caso afín, tenemos: ^[10]

Existe una correspondencia uno a uno de inversión de orden entre ideales radicales homogéneos propios de R y subconjuntos de de la forma La correspondencia está dada por y ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I).}$ ${\displaystyle \operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}}$ ${\displaystyle \operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}.}$

Nullstellensatz analítico (Nulstellensatz de Rückert)

El Nullstellensatz también es válido para los gérmenes de funciones holomorfas en un punto del espacio n complejo. Precisamente, para cada subconjunto abierto, denotemos el anillo de funciones holomorfas en U ; entonces se puede demostrar que hay una gavilla en El tallo en, digamos, el origen como un anillo local noetheriano que es un dominio de factorización único . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} ^{n},}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$

Si es un germen representado por una función holomorfa , entonces sea la clase de equivalencia del conjunto. ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$ ${\displaystyle {\widetilde {f}}:U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle V_{0}(f)}$

${\displaystyle \left\{z\in U\mid {\widetilde {f}}(z)=0\right\},}$

donde dos subconjuntos se consideran equivalentes si para alguna vecindad U de 0. La nota es independiente de la elección del representante. Para cada ideal, denotemos por algunos generadores de I. Está bien definido; es decir, es independiente de la elección de los generadores. ${\displaystyle X,Y\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle X\cap U=Y\cap U}$ ${\displaystyle V_{0}(f)}$ ${\displaystyle {\widetilde {f}}.}$ ${\displaystyle I\subseteq {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0},}$ ${\displaystyle V_{0}(I)}$ ${\displaystyle V_{0}(f_{1})\cap \dots \cap V_{0}(f_{r})}$ ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{r}}$

Para cada subconjunto , sea ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle I_{0}(X)=\left\{f\in {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}\mid V_{0}(f)\supset X\right\}.}$

Es fácil ver que es un ideal de y que si en el sentido comentado anteriormente. ${\displaystyle I_{0}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$ ${\displaystyle I_{0}(X)=I_{0}(Y)}$ ${\displaystyle X\sim Y}$

El analítico Nullstellensatz afirma entonces: ^[11] para cada ideal , ${\displaystyle I\subseteq {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$

${\displaystyle {\sqrt {I}}=I_{0}(V_{0}(I))}$

donde el lado izquierdo es el radical de I .

Ver también

• Positivstellensatz de Stengle
• Nullstellensatz diferencial
• Combinatoria Nullstellensatz
• Lema de Artin-Tate
• verdadero radical
• Serie de potencias restringidas # Álgebra de Tate , un análogo del nullstellensatz de Hilbert es válido para las álgebras de Tate.

Notas

1. Zariski – Samuel, cap. VII, Teorema 14.
2. Atiyah-Macdonald, cap. 7.
3. Emerton, Mateo. "Anillos Jacobson" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 25 de julio de 2022.
4. EGA §IV.17.16.2.
5. EGA §IV.17.16.3(ii).
6. Lang, Serge (1952). "Nulstellensatz de Hilbert en el espacio de dimensiones infinitas". Proc. Soy. Matemáticas. Soc. 3 (3): 407–410. doi :10.2307/2031893. JSTOR  2031893.
7. Brownawell, W. Dale (1987), "Límites de los grados en Nullstellensatz", Ann. de Matemáticas. , 126 (3): 577–591, doi :10.2307/1971361, JSTOR  1971361, SEÑOR  0916719
8. Kollár, János (1988), "Sharp Effective Nullstellensatz" (PDF) , Journal of the American Mathematical Society , 1 (4): 963–975, doi :10.2307/1990996, JSTOR  1990996, MR  0944576, archivado desde el original ( PDF) el 3 de marzo de 2014 , consultado el 14 de octubre de 2012
9. Sombra, Martín (1999), "A Sparse Effective Nullstellensatz", Avances en Matemáticas Aplicadas , 22 (2): 271–295, arXiv : alg-geom/9710003 , doi :10.1006/aama.1998.0633, MR  1659402, S2CID  119726673
10. Esta formulación proviene de Milne, Geometría algebraica [1] y difiere de Hartshorne 1977, cap. Yo, Ejercicio 2.4
11. Huybrechts, Proposición 1.1.29.

Referencias

• Almira, José María (2007). «Nullstellensatz revisitado» (PDF) . Desgarrar. Semín. Estera. Univ. Politec. Turín . 65 (3): 365–369.
• Atiyah, MF ; Macdonald, IG (1994). Introducción al Álgebra Conmutativa . Addison-Wesley. ISBN 0-201-40751-5.
• Eisenbud, David (1999). Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 150. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94268-1.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, SEÑOR  0463157
• Hilbert, David (1893). "Ueber die vollen Invariantensysteme". Annalen Matemáticas . 42 (3): 313–373. doi :10.1007/BF01444162.
• Huybrechts, Daniel (2005). Geometría compleja: una introducción . Saltador. ISBN 3-540-21290-6.
• Mukai, Shigeru (2003). Introducción a las invariantes y los módulos . Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas. vol. 81. William Oxbury (trad.). pag. 82.ISBN​ 0-521-80906-1.
• Zariski, Óscar ; Samuel, Pierre (1960). Álgebra conmutativa. Volumen II . Berlina. ISBN 978-3-662-27753-9.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)