Número transfinito

Número que es mayor que todos los números finitos

En matemáticas , los números transfinitos o números infinitos son números que son " infinitos " en el sentido de que son más grandes que todos los números finitos . Estos incluyen los cardinales transfinitos , que son números cardinales utilizados para cuantificar el tamaño de conjuntos infinitos, y los ordinales transfinitos , que son números ordinales utilizados para proporcionar un ordenamiento de conjuntos infinitos. ^{[1] [2]} El término transfinito fue acuñado en 1895 por Georg Cantor , ^{[3] [4] [5] [6]} quien deseaba evitar algunas de las implicaciones de la palabra infinito en conexión con estos objetos, que, sin embargo, no eran finitos . ^{[ cita requerida ]} Pocos escritores contemporáneos comparten estos reparos; ahora se acepta el uso de referirse a los cardinales y ordinales transfinitos como números infinitos . Sin embargo, el término transfinito también sigue en uso.

Un trabajo notable sobre los números transfinitos fue realizado por Wacław Sierpiński : Leçons sur les nombres transfinis (libro de 1928) muy ampliado en Cardinal and Ordinal Numbers (1958, ^[7] 2da ed. 1965 ^[8] ).

Definición

Cualquier número natural finito puede usarse al menos de dos maneras: como ordinal y como cardinal. Los números cardinales especifican el tamaño de los conjuntos (p. ej., una bolsa de cinco canicas), mientras que los números ordinales especifican el orden de un miembro dentro de un conjunto ordenado ^[9] (p. ej., "el tercer hombre desde la izquierda" o "el día veintisiete de enero"). Cuando se extienden a los números transfinitos, estos dos conceptos ya no están en correspondencia uno a uno . Un número cardinal transfinito se usa para describir el tamaño de un conjunto infinitamente grande, ^[2] mientras que un ordinal transfinito se usa para describir la ubicación dentro de un conjunto infinitamente grande que está ordenado. ^{[9] [ verificación fallida ]} Los números ordinales y cardinales más notables son, respectivamente:

• ${\displaystyle \omega }$( Omega ): el número ordinal transfinito más bajo. También es el tipo de orden de los números naturales bajo su ordenamiento lineal habitual.
• ${\displaystyle \aleph _{0}}$( Aleph-null ): el primer número cardinal transfinito. También es la cardinalidad de los números naturales. Si se cumple el axioma de elección , el siguiente número cardinal superior es aleph-uno . Si no, puede haber otros cardinales que sean incomparables con aleph-uno y mayores que aleph-null. De cualquier manera, no hay cardinales entre aleph-null y aleph-uno. ${\displaystyle \aleph _{1}.}$

La hipótesis del continuo es la proposición de que no existen números cardinales intermedios entre y la cardinalidad del continuo (la cardinalidad del conjunto de números reales ): ^[2] o equivalentemente, que es la cardinalidad del conjunto de números reales. En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , ni la hipótesis del continuo ni su negación pueden probarse. ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$

Algunos autores, entre ellos P. Suppes y J. Rubin, utilizan el término cardinal transfinito para referirse a la cardinalidad de un conjunto infinito de Dedekind en contextos en los que esto puede no ser equivalente a "cardinal infinito"; es decir, en contextos en los que no se supone o no se sabe si se cumple el axioma de elección numerable . Dada esta definición, los siguientes son todos equivalentes:

• ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$es un cardinal transfinito. Es decir, existe un conjunto infinito de Dedekind tal que la cardinalidad de es ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}.}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {m}}+1={\mathfrak {m}}.}$
• ${\displaystyle \aleph _{0}\leq {\mathfrak {m}}.}$
• Hay un cardenal tal que ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}+{\mathfrak {n}}={\mathfrak {m}}.}$

Aunque los ordinales y cardinales transfinitos generalizan sólo los números naturales, otros sistemas de números, incluidos los números hiperreales y los números surrealistas , proporcionan generalizaciones de los números reales . ^[10]

Ejemplos

En la teoría de los números ordinales de Cantor, cada número entero debe tener un sucesor. ^[11] El siguiente entero después de todos los regulares, es decir, el primer entero infinito, se llama . En este contexto, es mayor que , y , y son aún mayores. Las expresiones aritméticas que contienen especifican un número ordinal y pueden considerarse como el conjunto de todos los números enteros hasta ese número. Un número dado generalmente tiene múltiples expresiones que lo representan, sin embargo, hay una forma normal de Cantor única que lo representa, ^[11] esencialmente una secuencia finita de dígitos que dan coeficientes de potencias descendentes de . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega +1}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega \cdot 2}$ ${\displaystyle \omega ^{2}}$ ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

Sin embargo, no todos los números enteros infinitos pueden representarse mediante una forma normal de Cantor, y el primero que no puede hacerlo está dado por el límite y se denomina . ^[11] es la solución más pequeña de , y las siguientes soluciones dan ordinales aún mayores, y pueden seguirse hasta llegar al límite , que es la primera solución de . Esto significa que para poder especificar todos los números enteros transfinitos, uno debe pensar en una secuencia infinita de nombres: porque si uno tuviera que especificar un único número entero más grande, entonces siempre podría mencionar su sucesor más grande. Pero como señaló Cantor, ^{[ cita requerida ]} incluso esto solo permite llegar a la clase más baja de números transfinitos: aquellos cuyo tamaño de conjuntos corresponde al número cardinal . ${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega ^{...}}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \omega ^{\varepsilon }=\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon _{1},...,\varepsilon _{\omega },...,\varepsilon _{\varepsilon _{0}},...}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{...}}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\alpha }=\alpha }$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Véase también

• Infinito real
• Número aleph
• Número de Beth
• Número épsilon
• Infinitesimal
• Inducción transfinita

Referencias

1. "Definición de número transfinito | Dictionary.com". www.dictionary.com . Consultado el 4 de diciembre de 2019 .
2. "Números transfinitos y teoría de conjuntos". www.math.utah.edu . Consultado el 4 de diciembre de 2019 .
3. "Georg Cantor | Biografía, contribuciones, libros y datos". Enciclopedia Británica . Consultado el 4 de diciembre de 2019 .
4. Georg Cantor (noviembre de 1895). "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (1)". Annalen Matemáticas . 46 (4): 481–512.
5. Georg Cantor (julio de 1897). "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (2)". Annalen Matemáticas . 49 (2): 207–246.
6. Georg Cantor (1915). Philip EB Jourdain (ed.). Contribuciones a la fundación de la teoría de los números transfinitos (PDF) . Nueva York: Dover Publications, Inc.Traducción inglesa de Cantor (1895, 1897).
7. Oxtoby, JC (1959), "Revisión de números cardinales y ordinales (1.ª ed.)", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 65 (1): 21–23, doi : 10.1090/S0002-9904-1959-10264-0 , MR  1565962
8. Goodstein, RL (diciembre de 1966), "Revisión de números cardinales y ordinales (2.ª ed.)", The Mathematical Gazette , 50 (374): 437, doi :10.2307/3613997, JSTOR  3613997
9. Weisstein, Eric W. (3 de mayo de 2023). "Número ordinal". mathworld.wolfram.com .
10. Beyer, WA; Louck, JD (1997), "Iteración de funciones transfinitas y números surrealistas", Advances in Applied Mathematics , 18 (3): 333–350, doi : 10.1006/aama.1996.0513 , MR  1436485
11. John Horton Conway , (1976) On Numbers and Games . Academic Press, ISBN 0-12-186350-6. (Véase el capítulo 3.)

Bibliografía

• Levy, Azriel, 2002 (1978) Teoría básica de conjuntos . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-42079-5 
• O'Connor, JJ y EF Robertson (1998) "Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor", Archivo de Historia de las Matemáticas MacTutor .
• Rubin, Jean E. , 1967. "Teoría de conjuntos para matemáticos". San Francisco: Holden-Day. Fundamentado en la teoría de conjuntos de Morse-Kelley .
• Rudy Rucker , 2005 (1982) Infinity and the Mind . Princeton Univ. Press. Principalmente una exploración de las implicaciones filosóficas del paraíso de Cantor . ISBN 978-0-691-00172-2 . 
• Patrick Suppes , 1972 (1960) "Teoría de conjuntos axiomáticos". Dover. ISBN 0-486-61630-4 . Fundamentado en ZFC .