Norma del operador

Medida del "tamaño" de los operadores lineales.

En matemáticas , el operador norma mide el "tamaño" de ciertos operadores lineales asignando a cada uno un número real llamado su operador norma . Formalmente, es una norma definida en el espacio de operadores lineales acotados entre dos espacios vectoriales normados dados . Informalmente, la norma del operador de un mapa lineal es el factor máximo por el cual "alarga" los vectores. ${\displaystyle \|T\|}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$

Introducción y definición

Dados dos espacios vectoriales normados y (sobre el mismo campo base , ya sea los números reales o los números complejos ), una aplicación lineal es continua si y sólo si existe un número real tal que ^[1] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle A:V\to W}$ ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle \|Av\|\leq c\|v\|\quad {\mbox{ for all }}v\in V.}$$

La norma de la izquierda es la que está dentro y la norma de la derecha es la que está dentro . Intuitivamente, el operador continuo nunca aumenta la longitud de ningún vector en más de un factor de Por lo tanto, la imagen de un conjunto acotado bajo un operador continuo también está acotada. Debido a esta propiedad, los operadores lineales continuos también se conocen como operadores acotados . Para "medir el tamaño" de uno, se puede tomar el mínimo de los números de modo que la desigualdad anterior sea válida para todos. Este número representa el factor escalar máximo por el cual "alarga" los vectores. En otras palabras, el "tamaño" de se mide por cuánto "alarga" los vectores en el caso "más grande". Entonces definimos la norma del operador como ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle c.}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle v\in V.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \|A\|_{op}=\inf\{c\geq 0:\|Av\|\leq c\|v\|{\mbox{ for all }}v\in V\}.}$$

El mínimo se alcanza cuando el conjunto de todos ellos es cerrado , no vacío y acotado desde abajo. ^[2] ${\displaystyle c}$

Es importante tener en cuenta que este operador norma depende de la elección de normas para los espacios vectoriales normados y . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

Ejemplos

Cada matriz real por matriz corresponde a un mapa lineal desde a Cada par de la plétora de normas (vectoriales) aplicables a espacios vectoriales reales induce una norma de operador para todas las matrices por matriz de números reales; estas normas inducidas forman un subconjunto de normas matriciales . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}.}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

Si elegimos específicamente la norma euclidiana en ambos y entonces la norma matricial dada a una matriz es la raíz cuadrada del valor propio más grande de la matriz (donde denota la transpuesta conjugada de ). ^[3] Esto equivale a asignar el mayor valor singular de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}A}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$

Pasando a un ejemplo típico de dimensión infinita, considere el espacio de secuencia que es un espacio Lp , definido por ${\displaystyle \ell ^{2},}$

$${\displaystyle l^{2}=\left\{\left(a_{n}\right)_{n\geq 1}:\;a_{n}\in \mathbb {C} ,\;\sum _{n}|a_{n}|^{2}<\infty \right\}.}$$

Esto puede verse como un análogo de dimensión infinita del espacio euclidiano. Consideremos ahora una secuencia acotada. La secuencia es un elemento del espacio con una norma dada por ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }.}$ ${\displaystyle s_{\bullet }}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty },}$

$${\displaystyle \left\|s_{\bullet }\right\|_{\infty }=\sup _{n}\left|s_{n}\right|.}$$

Defina un operador mediante multiplicación puntual: ${\displaystyle T_{s}}$

$${\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty }\;{\stackrel {T_{s}}{\mapsto }}\;\ \left(s_{n}\cdot a_{n}\right)_{n=1}^{\infty }.}$$

El operador está limitado por la norma del operador. ${\displaystyle T_{s}}$

$${\displaystyle \left\|T_{s}\right\|_{op}=\left\|s_{\bullet }\right\|_{\infty }.}$$

Esta discusión se extiende directamente al caso en el que se reemplaza por un espacio general con y se reemplaza por ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p>1}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{\infty }.}$

Definiciones equivalentes

Sea un operador lineal entre espacios normados. Las primeras cuatro definiciones son siempre equivalentes, y si además entonces todas son equivalentes: ${\displaystyle A:V\to W}$ ${\displaystyle V\neq \{0\}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\|A\|_{op}&=\inf &&\{c\geq 0~&&:~\|Av\|\leq c\|v\|~&&~{\mbox{ for all }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|\leq 1~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|<1~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|\in \{0,1\}~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|=1~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\;\;\;{\text{ this equality holds if and only if }}V\neq \{0\}\\&=\sup &&{\bigg \{}{\frac {\|Av\|}{\|v\|}}~&&:~v\neq 0~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V{\bigg \}}\;\;\;{\text{ this equality holds if and only if }}V\neq \{0\}.\\\end{alignedat}}}$

Si entonces los conjuntos en las dos últimas filas estarán vacíos y, en consecuencia, sus supremos sobre el conjunto serán iguales en lugar del valor correcto de Si, en cambio, el supremo se toma sobre el conjunto , entonces el supremo del conjunto vacío es y las fórmulas se mantienen. para cualquier ${\displaystyle V=\{0\}}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle [0,\infty ]}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle V.}$

Es importante destacar que, en general, no se garantiza que un operador lineal alcance su norma en la bola unitaria cerrada, lo que significa que podría no existir ningún vector de norma tal que (si tal vector existe y si entonces necesariamente tendría norma unitaria ). RC James demostró el teorema de James en 1964, que establece que un espacio de Banach es reflexivo si y sólo si cada funcional lineal acotado alcanza su norma en la bola unitaria cerrada. ^[4] Se deduce, en particular, que cada espacio de Banach no reflexivo tiene algún funcional lineal acotado (un tipo de operador lineal acotado) que no alcanza su norma en la bola unitaria cerrada. ${\displaystyle A:V\to W}$ ${\displaystyle \|A\|_{op}=\sup\{\|Av\|:\|v\|\leq 1,v\in V\}}$ ${\displaystyle \{v\in V:\|v\|\leq 1\},}$ ${\displaystyle u\in V}$ ${\displaystyle \|u\|\leq 1}$ ${\displaystyle \|A\|_{op}=\|Au\|}$ ${\displaystyle A\neq 0,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \|u\|=1}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f\in V^{*}}$

Si está acotado entonces ^[5] ${\displaystyle A:V\to W}$

$${\displaystyle \|A\|_{op}=\sup \left\{\left|w^{*}(Av)\right|:\|v\|\leq 1,\left\|w^{*}\right\|\leq 1{\text{ where }}v\in V,w^{*}\in W^{*}\right\}}$$

^[5]

$${\displaystyle \|A\|_{op}=\left\|{}^{t}A\right\|_{op}}$$

transpuesta ${\displaystyle {}^{t}A:W^{*}\to V^{*}}$ ${\displaystyle A:V\to W,}$ ${\displaystyle w^{*}\,\mapsto \,w^{*}\circ A.}$

Propiedades

La norma del operador es de hecho una norma en el espacio de todos los operadores acotados entre y . Esto significa ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

$${\displaystyle \|A\|_{op}\geq 0{\mbox{ and }}\|A\|_{op}=0{\mbox{ if and only if }}A=0,}$$

$${\displaystyle \|aA\|_{op}=|a|\|A\|_{op}{\mbox{ for every scalar }}a,}$$

$${\displaystyle \|A+B\|_{op}\leq \|A\|_{op}+\|B\|_{op}.}$$

La siguiente desigualdad es una consecuencia inmediata de la definición:

$${\displaystyle \|Av\|\leq \|A\|_{op}\|v\|\ {\mbox{ for every }}\ v\in V.}$$

La norma del operador también es compatible con la composición o multiplicación de operadores: si , y son tres espacios normados sobre el mismo campo base, y y son dos operadores acotados, entonces es una norma submultiplicativa , es decir: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A:V\to W}$ ${\displaystyle B:W\to X}$

$${\displaystyle \|BA\|_{op}\leq \|B\|_{op}\|A\|_{op}.}$$

Para operadores acotados en , esto implica que la multiplicación de operadores es conjuntamente continua. ${\displaystyle V}$

De la definición se deduce que si una secuencia de operadores converge en la norma del operador, converge uniformemente en conjuntos acotados.

Tabla de normas comunes de los operadores.

Al elegir diferentes normas para el codominio, utilizado en informática , y el dominio, utilizado en informática , obtenemos diferentes valores para la norma del operador. Algunas normas de operadores comunes son fáciles de calcular y otras son NP-difíciles . Excepto las normas NP-duras, todas estas normas se pueden calcular en operaciones (para una matriz), con la excepción de la norma (que requiere operaciones para la respuesta exacta, o menos si se aproxima con el método de potencia o iteraciones de Lanczos ). ). ${\displaystyle \|Av\|}$ ${\displaystyle \|v\|}$ ${\displaystyle N^{2}}$ ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle \ell _{2}-\ell _{2}}$ ${\displaystyle N^{3}}$

La norma del adjunto o transpuesto se puede calcular de la siguiente manera. Tenemos que para cualquier entonces donde se conjuga Hölder con eso es, y ${\displaystyle p,q,}$ ${\displaystyle \|A\|_{p\rightarrow q}=\|A^{*}\|_{q'\rightarrow p'}}$ ${\displaystyle p',q'}$ ${\displaystyle p,q,}$ ${\displaystyle 1/p+1/p'=1}$ ${\displaystyle 1/q+1/q'=1.}$

Operadores en un espacio de Hilbert

Supongamos que es un espacio de Hilbert real o complejo . Si es un operador lineal acotado, entonces tenemos ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A:H\to H}$

$${\displaystyle \|A\|_{op}=\left\|A^{*}\right\|_{op}}$$

$${\displaystyle \left\|A^{*}A\right\|_{op}=\|A\|_{op}^{2},}$$

operador adjuntoespacios euclidianosproducto internotranspuesta conjugada ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

En general, el radio espectral de está limitado por la norma del operador de : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \rho (A)\leq \|A\|_{op}.}$$

Para ver por qué la igualdad no siempre se cumple, consideremos la forma canónica de Jordan de una matriz en el caso de dimensión finita. Debido a que hay entradas distintas de cero en la superdiagonal, se puede violar la igualdad. Los operadores cuasinilpotentes son una clase de tales ejemplos. Un operador cuasipotente distinto de cero tiene espectro . Entonces , mientras ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{0\}.}$ ${\displaystyle \rho (A)=0}$ ${\displaystyle \|A\|_{op}>0.}$

Sin embargo, cuando una matriz es normal , su forma canónica de Jordan es diagonal (hasta equivalencia unitaria); este es el teorema espectral . En ese caso es fácil ver que ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle \rho (N)=\|N\|_{op}.}$$

Esta fórmula a veces se puede utilizar para calcular la norma del operador de un operador acotado dado : defina el operador hermitiano , determine su radio espectral y tome la raíz cuadrada para obtener la norma del operador de ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B=A^{*}A,}$ ${\displaystyle A.}$

El espacio de operadores acotados con la topología inducida por la norma del operador no es separable . Por ejemplo, considere el espacio Lp, que es un espacio de Hilbert. Porque sea la función característica de y sea el operador de multiplicación dado por es decir, ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle L^{2}[0,1],}$ ${\displaystyle 0<t\leq 1,}$ ${\displaystyle \Omega _{t}}$ ${\displaystyle [0,t],}$ ${\displaystyle P_{t}}$ ${\displaystyle \Omega _{t},}$

$${\displaystyle P_{t}(f)=f\cdot \Omega _{t}.}$$

Entonces cada uno es un operador acotado con norma de operador 1 y ${\displaystyle P_{t}}$

$${\displaystyle \left\|P_{t}-P_{s}\right\|_{op}=1\quad {\mbox{ for all }}\quad t\neq s.}$$

Pero es un conjunto incontable . Esto implica que el espacio de los operadores acotados no es separable, en la norma del operador. Se puede comparar esto con el hecho de que el espacio de secuencia no es separable. ${\displaystyle \{P_{t}:0<t\leq 1\}}$ ${\displaystyle L^{2}([0,1])}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

El álgebra asociativa de todos los operadores acotados en un espacio de Hilbert, junto con la norma del operador y la operación adjunta, produce un álgebra C* .

Ver también

• Banach-Mazur compactum  : conjunto de subespacios n-dimensionales de un espacio normado convertidos en un espacio métrico compacto.
• Operador lineal continuo
• Contracción (teoría del operador)  : operadores acotados con norma de subunidad
• Mapa lineal discontinuo
• Norma dual  : medición en un espacio vectorial normado
• Norma matricial  : norma en un espacio vectorial de matrices
• Norma (matemáticas)  – Longitud en un espacio vectorial
• Espacio normado  : espacio vectorial en el que se define una distancia.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Álgebra de operadores  - Rama del análisis funcional
• Teoría del operador  - Campo de estudio matemático
• Topologías sobre el conjunto de operadores en un espacio de Hilbert
• Operador ilimitado  : operador lineal definido en un subespacio lineal denso

Notas

1. Kreyszig, Erwin (1978), Análisis funcional introductorio con aplicaciones , John Wiley & Sons, p. 97, ISBN 9971-51-381-1
2. Véase, por ejemplo, el Lema 6.2 de Aliprantis & Border (2007).
3. Weisstein, Eric W. "Norma del operador". mathworld.wolfram.com . Consultado el 14 de marzo de 2020 .
4. Diestel 1984, pag. 6.
5. Rudin 1991, págs. 92-115.
6. sección 4.3.1, tesis doctoral de Joel Tropp , [1]

Referencias

• Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2007), Análisis dimensional infinito: una guía para el autoestopista, Springer, pág. 229, ISBN 9783540326960.
• Conway, John B. (1990), "III.2 Operadores lineales en espacios normados", Un curso de análisis funcional, Nueva York: Springer-Verlag, págs. 67–69, ISBN 0-387-97245-5
• Diéstel, Joe (1984). Secuencias y series en espacios de Banach . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90859-5. OCLC  9556781.
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie Internacional en Matemática Pura y Aplicada. vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Ciencias/Ingeniería/Matemáticas . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.