Álgebra única de von Neumann
En matemáticas , hasta el isomorfismo existen exactamente dos factores hiperfinitos de tipo II que actúan de forma separable ; uno infinito y otro finito. Murray y von Neumann demostraron que hasta el isomorfismo existe un álgebra de von Neumann única que es un factor de tipo II 1 y además hiperfinito ; se llama factor hiperfinito tipo II 1 . Hay un número incontable de otros factores del tipo II 1 . Connes demostró que el infinito también es único.
Construcciones
- El álgebra de grupos de von Neumann de un grupo discreto con la propiedad de clase de conjugación infinita es un factor de tipo II 1 , y si el grupo es dócil y contable, el factor es hiperfinito. Hay muchos grupos con estas propiedades, ya que cualquier grupo localmente finito es susceptible. Por ejemplo, el álgebra de grupo de von Neumann del grupo simétrico infinito de todas las permutaciones de un conjunto infinito contable que fija todos menos un número finito de elementos da el factor hiperfinito tipo II 1 .
- El factor hiperfinito tipo II 1 también surge de la construcción del espacio de medidas de grupo para acciones ergódicas libres de preservación de medidas de grupos contables y susceptibles en espacios de probabilidad.
- El producto tensorial infinito de un número contable de factores de tipo I n con respecto a sus estados trazales es el factor hiperfinito de tipo II 1 . Cuando n = 2, esto a veces también se denomina álgebra de Clifford de un espacio de Hilbert infinito separable.
- Si p es cualquier proyección finita distinta de cero en un álgebra A hiperfinita de von Neumann de tipo II, entonces pAp es el factor hiperfinito de tipo II 1 . De manera equivalente, el grupo fundamental de A es el grupo de números reales positivos . A menudo, esto puede resultar difícil de ver directamente. Sin embargo, es obvio cuando A es el producto tensorial infinito de factores de tipo In , donde n recorre todos los números enteros mayores que 1 infinitas veces: basta con tomar p equivalente a un producto tensorial infinito de proyecciones p n en las que se traza el el estado es o .
Propiedades
El factor hiperfinito II 1 R es el único factor de dimensión infinita más pequeño en el siguiente sentido: está contenido en cualquier otro factor de dimensión infinita, y cualquier factor de dimensión infinita contenido en R es isomorfo a R.
El grupo de automorfismo externo de R es un grupo infinito simple con muchas clases de conjugación contables, indexadas por pares que consisten en un entero positivo p y una p -ésima raíz compleja de 1.
Las proyecciones del factor hiperfinito II 1 forman una geometría continua .
El factor infinito hiperfinito tipo II
Si bien existen otros factores de tipo II ∞ , existe uno único hiperfinito, hasta el isomorfismo. Consiste en aquellas matrices cuadradas infinitas con entradas en el factor hiperfinito tipo II 1 que definen operadores acotados .
Ver también
Referencias
- A. Connes, Clasificación de factores inyectivos The Annals of Mathematics 2nd Ser., vol. 104, núm. 1 (julio de 1976), págs. 73-115
- FJ Murray, J. von Neumann, Sobre anillos de operadores IV Ann. de Matemáticas. (2), 44 (1943) págs. 716–808. Esto muestra que todos los factores aproximadamente finitos de tipo II 1 son isomorfos.
