Teorema de densidad de Kaplansky

En la teoría de las álgebras de von Neumann , el teorema de densidad de Kaplansky , debido a Irving Kaplansky , es un teorema de aproximación fundamental. La importancia y ubicuidad de esta herramienta técnica llevó a Gert Pedersen a comentar en uno de sus libros ^[1] que,

El teorema de la densidad es el gran regalo de Kaplansky a la humanidad. Se puede utilizar todos los días y dos veces los domingos.

Declaración formal

Sea K ⁻ el cierre de operador fuerte de un conjunto K en B(H) , el conjunto de operadores acotados en el espacio de Hilbert H , y sea ( K ) ₁ la intersección de K con la bola unitaria de B(H) .

Teorema de densidad de Kaplansky . ^[2] Si es un álgebra autoadjunta de operadores en , entonces cada elemento en la bola unitaria del cierre del operador fuerte de está en el cierre del operador fuerte de la bola unitaria de . En otras palabras, . Si es un operador autoadjunto en , entonces está en el cierre de operador fuerte del conjunto de operadores autoadjuntos en . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B(H)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A)_{1}^{-}=(A^{-})_{1}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (A^{-})_{1}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (A)_{1}}$

El teorema de densidad de Kaplansky se puede utilizar para formular algunas aproximaciones con respecto a la topología de operador fuerte .

1) Si h es un operador positivo en ( A ⁻ ) ₁ , entonces h está en el cierre de operador fuerte del conjunto de operadores autoadjuntos en ( A ⁺ ) ₁ , donde A ⁺ denota el conjunto de operadores positivos en A .

2) Si A es un álgebra C* que actúa sobre el espacio de Hilbert H y u es un operador unitario en A ⁻ , entonces u está en el cierre de operador fuerte del conjunto de operadores unitarios en A .

En el teorema de densidad y 1) anteriores, los resultados también son válidos si se considera una bola de radio r > 0 , en lugar de la bola unitaria.

Prueba

La prueba estándar utiliza el hecho de que una función f continua acotada de valor real es continua de operador fuerte. En otras palabras, para una red { a _α } de operadores autoadjuntos en A , el cálculo funcional continuo a → f ( a ) satisface,

${\displaystyle \lim f(a_{\alpha })=f(\lim a_{\alpha })}$

en la topología de operador fuerte . Esto muestra que la parte autoadjunta de la bola unitaria en A ⁻ puede aproximarse fuertemente mediante elementos autoadjuntos en A . Un cálculo matricial en M ₂ ( A ) considerando el operador autoadjunto con entradas 0 en la diagonal y a y a ^* en las otras posiciones, luego elimina la restricción de autoadjunción y prueba el teorema.

Ver también

• Teorema de densidad de Jacobson

Notas

1. pág. 25; Pedersen, GK, C * -álgebras y sus grupos de automorfismo , Monografías de la London Mathematical Society, ISBN  978-0125494502 .
2. Teorema 5.3.5; Richard Kadison , Fundamentos de la teoría de álgebras de operadores, vol. I: Teoría elemental , Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0821808191 . 

Referencias

• Kadison, Richard , Fundamentos de la teoría de álgebras de operadores, vol. I: Teoría elemental , Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0821808191 . 
• VFR Álgebras de Jones von Neumann; notas incompletas de un curso.
• M. Takesaki Teoría de las álgebras de operadores I ISBN 3-540-42248-X