Álgebra finita de von Neumann

En matemáticas , un álgebra de von Neumann finita es un álgebra de von Neumann en la que cada isometría es unitaria . En otras palabras, para un operador V en un álgebra finita de von Neumann si , entonces . En términos de la teoría de comparación de proyecciones , el operador de identidad no es (Murray-von Neumann) equivalente a ninguna subproyección adecuada en el álgebra de von Neumann. ${\displaystyle V^{*}V=I}$ ${\displaystyle VV^{*}=I}$

Propiedades

Denotemos un álgebra de von Neumann finita con centro . Una de las propiedades características fundamentales de las álgebras finitas de von Neumann es la existencia de una traza con valor central. Un álgebra de von Neumann es finita si y sólo si existe un mapa normal positivo acotado con las propiedades: ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \tau :{\mathcal {M}}\to {\mathcal {Z}}}$

• ${\displaystyle \tau (AB)=\tau (BA),A,B\in {\mathcal {M}}}$,
• si y entonces , ${\displaystyle A\geq 0}$ ${\displaystyle \tau (A)=0}$ ${\displaystyle A=0}$
• ${\displaystyle \tau (C)=C}$para , ${\displaystyle C\in {\mathcal {Z}}}$
• ${\displaystyle \tau (CA)=C\tau (A)}$Para y . ${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {Z}}}$

Ejemplos

Álgebras de von Neumann de dimensión finita

Las álgebras de von Neumann de dimensión finita se pueden caracterizar utilizando la teoría de álgebras semisimples de Wedderburn . Sean C ^{n × n} las matrices n × n con entradas complejas. Un álgebra de von Neumann M es una subálgebra autoadjunta en C ^{n × n} tal que M contiene el operador de identidad I en C ^{n × n} .

Cada M tal como se definió anteriormente es un álgebra semisimple , es decir, no contiene ideales nilpotentes. Supongamos que M ≠ 0 se encuentra en un ideal nilpotente de M . Dado que M* ∈ M por supuesto, tenemos que M*M , una matriz semidefinida positiva, se encuentra en ese ideal nilpotente. Esto implica ( M*M ) ^k = 0 para algunos k . Entonces M*M = 0, es decir, M = 0.

El centro de un álgebra de von Neumann M se denotará por Z ( M ). Dado que M es autoadjunto, Z ( M ) es en sí mismo un álgebra (conmutativa) de von Neumann. Un álgebra de von Neumann N se llama factor si Z ( N ) es unidimensional, es decir, Z ( N ) consta de múltiplos de la identidad I.

Teorema Todo álgebra de von Neumann M de dimensión finita es una suma directa de m factores, donde m es la dimensión de Z ( M ).

Prueba: Según la teoría de álgebras semisimples de Wedderburn, Z ( M ) contiene un conjunto ortogonal finito de idempotentes (proyecciones) { P _i } tal que P _i P _j = 0 para i ≠ j , Σ P _i = I , y

${\displaystyle Z(\mathbf {M} )=\bigoplus _{i}Z(\mathbf {M} )P_{i}}$

donde cada Z ( M )P _i es un álgebra simple conmutativa. Cada álgebra simple compleja es isomorfa al álgebra matricial completa C ^{k × k} para algunos k . Pero Z ( M )P _i es conmutativo, por lo tanto unidimensional.

Las proyecciones P _i "diagonalizan" a M de forma natural. Para M ∈ M , M se puede descomponer únicamente en M = Σ MP _i . Por lo tanto,

${\displaystyle {\mathbf {M} }=\bigoplus _{i}{\mathbf {M} }P_{i}.}$

Se puede ver que Z ( MP i ₎ = Z ( M )P _i . Entonces Z ( MP i ₎ es unidimensional y cada _{MP i} es un factor. Esto prueba la afirmación.

Para las álgebras generales de von Neumann, la suma directa se reemplaza por la integral directa . Lo anterior es un caso especial de la descomposición central de las álgebras de von Neumann .

Álgebras abelianas de von Neumann

Factores de tipo I I 1 {\ Displaystyle II_ {1}}

Referencias

• Kadison, RV; Ringrose, JR (1997). Fundamentos de la teoría de álgebras de operadores, vol. II: Teoría Avanzada . AMS. pag. 676.ISBN​ 978-0821808207.

• Sinclair, AM; Smith, RR (2008). Álgebras y masas finitas de von Neumann . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 410.ISBN​ 978-0521719193.