En matemáticas , específicamente en análisis funcional , el teorema bicommutante de von Neumann relaciona el cierre de un conjunto de operadores acotados en un espacio de Hilbert en ciertas topologías con el bicommutante de ese conjunto. En esencia, es una conexión entre los lados algebraico y topológico de la teoría del operador .
El enunciado formal del teorema es el siguiente:
Esta álgebra se llama álgebra de von Neumann generada por M.
Hay varias otras topologías en el espacio de operadores acotados, y uno puede preguntarse cuáles son las *-álgebras cerradas en estas topologías. Si M es cerrado en la topología normal , entonces es un álgebra C* , pero no necesariamente un álgebra de von Neumann. Un ejemplo de ello es el álgebra C* de operadores compactos (en un espacio de Hilbert de dimensión infinita). Para la mayoría de las otras topologías comunes, las *-álgebras cerradas que contienen 1 son álgebras de von Neumann; esto se aplica en particular a las topologías de operador débil, operador fuerte, operador *-fuerte, ultradébil , ultrafuerte y *-ultrafuerte.
Está relacionado con el teorema de densidad de Jacobson .
Sea H un espacio de Hilbert y L ( H ) los operadores acotados en H. Considere una subálgebra unital autoadjunta M de L ( H ) (esto significa que M contiene los adjuntos de sus miembros y el operador de identidad en H ).
El teorema es equivalente a la combinación de los siguientes tres enunciados:
donde los subíndices W y S representan cierres en las topologías de operador débil y fuerte , respectivamente.
Para cualquier x e y en H , el mapa T → < Tx , y > es continuo en la topología del operador débil, por su definición. Por lo tanto, para cualquier operador fijo O , también lo es el mapa
Sea S cualquier subconjunto de L ( H ) y S ′ su conmutante . Para cualquier operador T en S ′, esta función es cero para todo O en S . Para cualquier T que no esté en S ′, debe ser distinto de cero para algún O en S y algún x e y en H . Por su continuidad hay una vecindad abierta de T para la topología de operador débil en la que es distinto de cero y que, por tanto, tampoco está en S ′. Por tanto, cualquier conmutante S ′ está cerrado en la topología del operador débil. En particular, también lo es M ” ; dado que contiene M , también contiene su cierre de operador débil.
Esto se sigue directamente de que la topología de operador débil es más burda que la topología de operador fuerte: para cada punto x en cl S ( M ) , cada vecindad abierta de x en la topología de operador débil también está abierta en la topología de operador fuerte y por lo tanto contiene un miembro de M ; por lo tanto x también es miembro de cl W ( M ) .
Fijar X∈M ” . Debemos demostrar que X ∈ cl S ( M ) , es decir, para cada h ∈ H y cualquier ε > 0 , existe T en M con || Xh − Th || < ε .
Arreglar h en H . El subespacio cíclico M h = { Mh : M ∈ M } es invariante bajo la acción de cualquier T en M. Su cierre cl( M h ) en la norma de H es un subespacio lineal cerrado, con su correspondiente proyección ortogonal P : H → cl( M h ) en L ( H ). De hecho, esta P está en M ′ , como ahora mostramos.
Por definición de biconmutante , debemos tener XP = PX . Como M es unital, h ∈ M h , por lo que h = Ph . Por tanto Xh = XPh = PXh ∈ cl( M h ) . Entonces para cada ε > 0 , existe T en M con || Xh − Th || < ε , es decir, X está en el cierre del operador fuerte de M .
Se dice que el álgebra AC* M que actúa sobre H actúa de forma no degenerada si para h en H , M h = {0} implica h = 0 . En este caso, se puede demostrar utilizando una identidad aproximada en M que el operador de identidad I se encuentra en el cierre fuerte de M. Por tanto, la conclusión del teorema bicommutante es válida para M .
