producto cruzado

En matemáticas , y más específicamente en la teoría de las álgebras de von Neumann , un producto cruzado es un método básico para construir una nueva álgebra de von Neumann a partir de un álgebra de von Neumann sobre la que actúa un grupo . Está relacionado con la construcción de productos semidirectos para grupos. (En términos generales, el producto cruzado es la estructura esperada para un anillo de grupo de un grupo de productos semidirecto. Por lo tanto, los productos cruzados también tienen un aspecto de teoría de anillos . Este artículo se concentra en un caso importante, en el que aparecen en el análisis funcional ).

Motivación

Recordemos que si tenemos dos grupos finitos y N con una acción de G sobre N podemos formar el producto semidirecto . Este contiene a N como subgrupo normal , y la acción de G sobre N viene dada por conjugación en el producto semidirecto. Podemos reemplazar N por su álgebra de grupo complejo C [ N ], y nuevamente formar un producto de manera similar; esta álgebra es una suma de subespacios gC [ N ] cuando g pasa por los elementos de G , y es el álgebra de grupo de . Podemos generalizar aún más esta construcción reemplazando C [ N ] por cualquier álgebra A sobre la que actúe G para obtener un producto cruzado , que es la suma de los subespacios gA y donde la acción de G sobre A viene dada por conjugación en el producto cruzado. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N\rtimes G}$ ${\displaystyle C[N]\rtimes G}$ ${\displaystyle N\rtimes G}$ ${\displaystyle A\rtimes G}$

El producto cruzado de un álgebra de von Neumann por un grupo G que actúa sobre él es similar excepto que tenemos que tener más cuidado con las topologías y construir un espacio de Hilbert sobre el que actúa el producto cruzado. (Tenga en cuenta que el producto cruzado del álgebra de von Neumann suele ser mayor que el producto cruzado algebraico analizado anteriormente; de ​​hecho, es una especie de compleción del producto cruzado algebraico).

En física, esta estructura aparece en presencia del llamado grupo calibre del primer tipo. G es el grupo de calibre y N el álgebra de "campo". Los observables se definen entonces como los puntos fijos de N bajo la acción de G. Un resultado de Doplicher, Haag y Roberts dice que, bajo algunos supuestos, el producto cruzado puede recuperarse del álgebra de observables.

Construcción

Supongamos que A es un álgebra de von Neumann de operadores que actúan sobre un espacio de Hilbert H y G es un grupo discreto que actúa sobre A. Dejamos que K sea el espacio de Hilbert de todas las funciones cuadradas sumables con valores H en G. Hay una acción de A sobre K dada por

• a(k)(g) = g ⁻¹ (a)k(g)

para k en K , g , h en G y a en A , y hay una acción de G sobre K dada por

• gramo(k)(h) = k(gramo ⁻¹ h).

El producto cruzado es el álgebra de von Neumann que actúa sobre K generada por las acciones de A y G sobre K. No depende (hasta el isomorfismo) de la elección del espacio de Hilbert H. ${\displaystyle A\rtimes G}$

Esta construcción se puede ampliar para funcionar con cualquier grupo G localmente compacto que actúe sobre cualquier álgebra A de von Neumann . Cuando es un álgebra abeliana de von Neumann , esta es la construcción espacial de medidas de grupos original de Murray y von Neumann . ${\displaystyle A}$

Propiedades

Dejamos que G sea un grupo discreto contable infinito que actúa sobre el álgebra abeliana de von Neumann A. La acción se llama libre si A no tiene proyecciones p distintas de cero de modo que alguna g no trivial fije todos los elementos de pAp . La acción se llama ergódica si las únicas proyecciones invariantes son 0 y 1. Por lo general, A puede identificarse como el álgebra abeliana de von Neumann de funciones esencialmente acotadas en un espacio de medida X sobre el que actúa G , y luego la acción de G sobre X es ergódica. (para cualquier subconjunto invariante mensurable, el subconjunto o su complemento tiene medida 0) si y sólo si la acción de G sobre A es ergódica. ${\displaystyle L^{\infty }(X)}$

Si la acción de G sobre A es libre y ergódica entonces el producto cruzado es un factor. Además: ${\displaystyle A\rtimes G}$

• El factor es de tipo I si A tiene una proyección mínima tal que 1 es la suma de los G conjugados de esta proyección. Esto corresponde a que la acción de G sobre X sea transitiva. Ejemplo: X son los números enteros y G es el grupo de números enteros que actúan mediante traslaciones.
• El factor es de tipo II ₁ si A tiene una traza invariante G normal finita fiel . Esto corresponde a que X tenga una medida finita G invariante, absolutamente continua con respecto a la medida en X. Ejemplo: X es el círculo unitario en el plano complejo y G es el grupo de todas las raíces de la unidad.
• El factor es de tipo II _∞ si no es de tipo I o II ₁ y tiene una traza invariante G normal semifinita fiel . Esto corresponde a que X tenga una medida invariante G infinita sin átomos, absolutamente continua con respecto a la medida en X. Ejemplo: X es la recta real y G es el grupo de racionales que actúan por traslación.
• El factor es de tipo III si A no tiene una traza invariante G normal semifinita fiel . Esto corresponde a que X no tenga una medida invariante G absolutamente continua distinta de cero . Ejemplo: X es la recta real y G es el grupo de todas las transformaciones ax + b para a y b racionales, distintos de cero.

En particular, se pueden construir ejemplos de todos los diferentes tipos de factores como productos cruzados.

Dualidad

Si es un álgebra de von Neumann sobre la que actúa un abeliano localmente compacto , entonces , el grupo dual de caracteres de , actúa de forma unitaria sobre  : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$

• ${\displaystyle (\chi \cdot k)(h)=\chi (h)k(h)}$

Estos unitarios normalizan el producto cruzado, definiendo la acción dual de . Junto con el producto cruzado generan , que puede identificarse con el producto cruzado iterado por la acción dual . Bajo esta identificación, la doble acción dual de (el grupo dual de ) corresponde al producto tensorial de la acción original sobre y conjugación de los siguientes unitarios sobre  : ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle A\otimes B(L^{2}(G))}$ ${\displaystyle (A\rtimes G)\rtimes \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L^{2}(G)}$

• ${\displaystyle (g\cdot f)(h)=f(hg)}$

El producto cruzado puede identificarse con el álgebra de punto fijo de la doble acción dual. De manera más general, es el álgebra de punto fijo de en el producto cruzado. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Declaraciones similares son válidas cuando se reemplaza por un grupo localmente compacto no abeliano o, más generalmente, un grupo cuántico localmente compacto , una clase de álgebra de Hopf relacionada con las álgebras de von Neumann . También se ha desarrollado una teoría análoga para acciones sobre álgebras C* y sus productos cruzados. ${\displaystyle G}$

La dualidad apareció por primera vez para las acciones de los reales en el trabajo de Connes y Takesaki sobre la clasificación de los factores Tipo III . Según la teoría de Tomita-Takesaki , todo vector que es cíclico para el factor y su conmutante da lugar a un grupo de automorfismo modular de 1 parámetro . El producto cruzado correspondiente es un álgebra de tipo von Neumann y la acción dual correspondiente se restringe a una acción ergódica de los reales en su centro, un álgebra abeliana de von Neumann . Este flujo ergódico se llama flujo de pesos ; es independiente de la elección del vector cíclico. El espectro de Connes , un subgrupo cerrado de los reales positivos , se obtiene aplicando la exponencial al núcleo de este flujo. ${\displaystyle II_{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$

• Cuando el núcleo es el conjunto de , el factor es tipo . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle III_{1}}$
• Cuando el núcleo está en (0,1), el factor es tipo . ${\displaystyle (\log \lambda )Z}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle III_{\lambda }}$
• Cuando el núcleo es trivial, el factor es tipo . ${\displaystyle III_{0}}$

Connes y Haagerup demostraron que el espectro de Connes y el flujo de pesos son invariantes completos de factores hiperfinitos de tipo III . A partir de esta clasificación y de los resultados de la teoría ergódica , se sabe que todo factor hiperfinito de dimensión infinita tiene la forma de alguna acción ergódica libre . ${\displaystyle L^{\infty }(X)\rtimes Z}$ ${\displaystyle Z}$

Ejemplos

• Si tomamos como números complejos, entonces el producto cruzado se llama álgebra de grupos de von Neumann de G. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C\rtimes G}$
• Si es un grupo discreto infinito tal que cada clase de conjugación tiene orden infinito, entonces el álgebra de grupos de von Neumann es un factor de tipo II ₁ . Además, si todo conjunto finito de elementos de genera un subgrupo finito (o más generalmente si G es susceptible), entonces el factor es el factor hiperfinito de tipo II ₁ . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Ver también

• Álgebra de productos cruzados

Referencias

• Takesaki, Masamichi (2002), Teoría de las álgebras de operadores I, II, III , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-42248-8, ISBN 3-540-42914-X (II), ISBN 3-540-42913-1 (III)  
• Connes, Alain (1994), Geometría no conmutativa , Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-185860-5
• Pedersen, Gert Kjaergard (1979), C*-álgebras y sus grupos de automorfismo , London Math. Soc. Monografías, vol. 14, Boston, MA: Prensa académica , ISBN 978-0-12-549450-2