En matemáticas , un álgebra AW* es una generalización algebraica de un álgebra W* . Fueron introducidas por Irving Kaplansky en 1951. [1] Como álgebras de operadores , las álgebras de von Neumann, entre todas las álgebras C* , normalmente se manejan utilizando uno de dos medios: son el espacio dual de algún espacio de Banach y están determinadas. en gran medida por sus proyecciones. La idea detrás de las álgebras AW* es renunciar a la primera condición topológica y utilizar sólo la última condición algebraica.
Recuerde que una proyección de un álgebra C* es un elemento idempotente autoadjunto . AC*-álgebra A es un AW*-álgebra si para cada subconjunto S de A , el aniquilador izquierdo
se genera como un ideal de izquierda mediante alguna proyección p de A , y de manera similar, el aniquilador derecho se genera como un ideal de derecha mediante alguna proyección q :
Por lo tanto, un álgebra AW* es un álgebra C* que es al mismo tiempo un anillo de Baer * .
La definición original de Kaplansky establece que un álgebra AW* es un álgebra C* tal que (1) cualquier conjunto de proyecciones ortogonales tiene un límite superior mínimo, y (2) que cada subálgebra C* conmutativa máxima es generada por su proyecciones. La primera condición establece que las proyecciones tengan una estructura interesante, mientras que la segunda condición asegura que haya suficientes proyecciones para que sea interesante. [1] Tenga en cuenta que la segunda condición es equivalente a la condición de que cada subálgebra C* conmutativa máxima sea monótona completa.
Muchos resultados relativos a las álgebras de von Neumann se trasladan a las álgebras AW*. Por ejemplo, las álgebras AW* pueden clasificarse según el comportamiento de sus proyecciones y descomponerse en tipos . [2] Para otro ejemplo, las matrices normales con entradas en un álgebra AW* siempre se pueden diagonalizar. [3] Las álgebras AW* también siempre tienen descomposición polar . [4]
Sin embargo, también hay formas en las que las álgebras AW* se comportan de manera diferente a las álgebras de von Neumann. [5] Por ejemplo, las álgebras AW* de tipo I pueden exhibir propiedades patológicas, [6] aunque Kaplansky ya demostró que tales álgebras con centro trivial son automáticamente álgebras de von Neumann.
Un álgebra C* conmutativa es un álgebra AW* si y sólo si su espectro es un espacio de Stone . A través de la dualidad de Stone , las álgebras conmutativas AW* corresponden, por tanto, a álgebras booleanas completas . Las proyecciones de un álgebra AW* conmutativa forman un álgebra booleana completa y, a la inversa, cualquier álgebra booleana completa es isomórfica a las proyecciones de algún álgebra AW* conmutativa.
