Tipos especiales de subgrupos encontrados en la teoría de grupos.
En matemáticas , especialmente en teoría de grupos , el centralizador (también llamado conmutante [1] [2] ) de un subconjunto S en un grupo G es el conjunto de elementos de G que conmutan con cada elemento de S , o equivalentemente, tal que la conjugación por deja cada elemento de S fijo. El normalizador de S en G es el conjunto de elementos de G que satisfacen la condición más débil de dejar el conjunto fijo bajo conjugación. El centralizador y normalizador de S son subgrupos de G . Muchas técnicas en teoría de grupos se basan en el estudio de los centralizadores y normalizadores de subconjuntos adecuados S.![{\displaystyle \operatorname {C} _ {G}(S)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathrm {N} _ {G}(S)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S\subseteq G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Debidamente formuladas, las definiciones también se aplican a los semigrupos .
En teoría de anillos , el centralizador de un subconjunto de un anillo se define con respecto a la operación de semigrupo (multiplicación) del anillo. El centralizador de un subconjunto de un anillo R es un subanillo de R. Este artículo también trata sobre centralizadores y normalizadores en un álgebra de Lie .
El idealizador en un semigrupo o anillo es otra construcción que está en la misma línea que el centralizador y el normalizador.
Definiciones
Grupo y semigrupo
El centralizador de un subconjunto S del grupo (o semigrupo) G se define como [3]
![{\displaystyle \mathrm {C} _{G}(S)=\left\{g\in G\mid gs=sg{\text{ para todos }}s\in S\right\}=\left\{ g\in G\mid gsg^{-1}=s{\text{ para todos }}s\in S\right\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde sólo la primera definición se aplica a los semigrupos. Si no hay ambigüedad sobre el grupo en cuestión, la G puede suprimirse de la notación. Cuando S = { a } es un conjunto singleton , escribimos C G ( a ) en lugar de C G ({ a }). Otra notación menos común para el centralizador es Z( a ), que es paralela a la notación del centro . Con esta última notación, hay que tener cuidado de evitar confusión entre el centro de un grupo G , Z( G ) y el centralizador de un elemento g en G , Z( g ).
El normalizador de S en el grupo (o semigrupo) G se define como
![{\displaystyle \mathrm {N} _{G}(S)=\left\{g\in G\mid gS=Sg\right\}=\left\{g\in G\mid gSg^{-1} =S\derecha\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde nuevamente sólo la primera definición se aplica a los semigrupos. Si el conjunto es un subgrupo de , entonces el normalizador es el subgrupo más grande donde hay un subgrupo normal de . Las definiciones de centralizador y normalizador son similares pero no idénticas. Si g está en el centralizador de S y s está en S , entonces debe ser que gs = sg , pero si g está en el normalizador, entonces gs = tg para algún t en S , con t posiblemente diferente de s . Es decir, los elementos del centralizador de S deben conmutar puntualmente con S , pero los elementos del normalizador de S sólo necesitan conmutar con S como un conjunto . Las mismas convenciones de notación mencionadas anteriormente para los centralizadores también se aplican a los normalizadores. El normalizador no debe confundirse con el cierre normal .![{\displaystyle S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle N_{G}(S)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G'\subseteq G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G'}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Claramente y ambos son subgrupos de .![{\displaystyle C_{G}(S)\subseteq N_{G}(S)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Anillo, álgebra sobre un campo, anillo de Lie y álgebra de Lie
Si R es un anillo o un álgebra sobre un campo , y S es un subconjunto de R , entonces el centralizador de S es exactamente como se define para los grupos, con R en el lugar de G.
Si es un álgebra de Lie (o anillo de Lie ) con producto de Lie [ x , y ], entonces el centralizador de un subconjunto S de se define como ![{\displaystyle {\mathfrak {L}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {L}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathrm {C} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]=0{\text{ para todos }}s \En s\}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La definición de centralizadores para anillos de Lie está vinculada a la definición de anillos de la siguiente manera. Si R es un anillo asociativo, entonces a R se le puede dar el producto entre corchetes [ x , y ] = xy − yx . Por supuesto, entonces xy = yx si y sólo si [ x , y ] = 0 . Si denotamos el conjunto R con el producto entre corchetes como L R , entonces claramente el centralizador de anillo de S en R es igual al centralizador de anillo de Lie de S en L R.
El normalizador de un subconjunto S de un álgebra de Lie (o anillo de Lie) viene dado por ![{\displaystyle {\mathfrak {L}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]\in S{\text{ para todos }} s\en S\}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si bien este es el uso estándar del término "normalizador" en álgebra de Lie, esta construcción es en realidad el idealizador del conjunto S en . Si S es un subgrupo aditivo de , entonces es el subanillo de Lie más grande (o subálgebra de Lie, según sea el caso) en el que S es un ideal de Lie . ![{\displaystyle {\mathfrak {L}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {L}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathrm {N} _ {\mathfrak {L}}(S)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ejemplo
Considere el grupo
(el grupo simétrico de permutaciones de 3 elementos).
Tome un subconjunto H del grupo G:
![{\displaystyle H=\{[1,2,3],[1,3,2]\}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Tenga en cuenta que [1, 2, 3] es la permutación de identidad en G y conserva el orden de cada elemento y [1, 3, 2] es la permutación que fija el primer elemento e intercambia el segundo y tercer elemento.
El normalizador de H con respecto al grupo G son todos los elementos de G que producen el conjunto H (potencialmente permutado) cuando se aplica la operación de grupo. Resolviendo el ejemplo para cada elemento de G:
cuando se aplica a H => ; por lo tanto [1, 2, 3] está en el Normalizador (H) con respecto a G.![{\displaystyle \{[1,2,3],[1,3,2]\}=H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
cuando se aplica a H => ; por lo tanto [1, 3, 2] está en el Normalizador (H) con respecto a G.![{\displaystyle \{[1,3,2],[1,2,3]\}=H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
cuando se aplica a H => ; por lo tanto [2, 1, 3] no está en el Normalizador (H) con respecto a G.![{\displaystyle \{[2,1,3],[3,1,2]\}!=H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
cuando se aplica a H => ; por lo tanto [2, 3, 1] no está en el Normalizador (H) con respecto a G.![{\displaystyle \{[2,3,1],[3,2,1]\}!=H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
cuando se aplica a H => ; por lo tanto [3, 1, 2] no está en el Normalizador (H) con respecto a G.![{\displaystyle \{[3,1,2],[2,1,3]\}!=H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
cuando se aplica a H => ; por lo tanto [3, 2, 2] no está en el Normalizador (H) con respecto a G.![{\displaystyle \{[3,2,1],[2,3,1]\}!=H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por lo tanto, el Normalizador (H) con respecto a G se debe a que ambos elementos del grupo conservan el conjunto H.![{\displaystyle \{[1,2,3],[1,3,2]\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Un grupo se considera simple si el normalizador respecto de un subconjunto es siempre la identidad y él mismo. Aquí queda claro que S 3 no es un grupo simple.
El centralizador del grupo G es el conjunto de elementos que dejan inalterado cada elemento de H. Está claro que el único elemento de este tipo en S 3 es el elemento identidad [1, 2, 3].
Propiedades
Semigrupos
Denotemos el centralizador de en el semigrupo ; es decir, entonces forma un subsemigrupo y ; es decir, un conmutante es su propio biconmutante .![{\displaystyle S'}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S'=\{x\in A\mid sx=xs{\text{ por cada }}s\in S\}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S'}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S'=S'''=S'''''}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Grupos
Fuente:
- El centralizador y el normalizador de S son ambos subgrupos de G.
- Claramente, C G ( S ) ⊆ N G ( S ) . De hecho, C G ( S ) es siempre un subgrupo normal de N G ( S ), siendo el núcleo del homomorfismo N G ( S ) → Bij( S ) y el grupo N G ( S )/C G ( S ) actúa por conjugación como un grupo de biyecciones sobre S. Por ejemplo, el grupo Weyl de un grupo de Lie compacto G con un toro T se define como W ( G , T ) = N G ( T )/C G ( T ) , y especialmente si el toro es máximo (es decir, C G ( T ) = T ) es una herramienta central en la teoría de grupos de Lie.
- C G (C G ( S )) contiene S , pero C G ( S ) no necesita contener S . La contención ocurre exactamente cuando S es abeliano.
- Si H es un subgrupo de G , entonces NG ( H ) contiene H.
- Si H es un subgrupo de G , entonces el subgrupo más grande de G en el que H es normal es el subgrupo N G (H).
- Si S es un subconjunto de G tal que todos los elementos de S conmutan entre sí, entonces el subgrupo más grande de G cuyo centro contiene a S es el subgrupo C G (S).
- Un subgrupo H de un grupo G se llamasubgrupo autonormalizador deGsiN G ( H ) = H .
- El centro de G es exactamente C G (G) y G es un grupo abeliano si y sólo si C G (G) = Z( G ) = G .
- Para conjuntos singleton, C G ( a ) = N G ( a ) .
- Por simetría, si S y T son dos subconjuntos de G , T ⊆ C G ( S ) si y sólo si S ⊆ C G ( T ) .
- Para un subgrupo H del grupo G , el teorema N/C establece que el grupo de factores N G ( H ) /C G ( H ) es isomorfo a un subgrupo de Aut( H ), el grupo de automorfismos de H. Dado que N G ( G ) = G y C G ( G ) = Z( G ) , el teorema N/C también implica que G /Z( G ) es isomorfo a Inn( G ), el subgrupo de Aut( G ) que consiste de todos los automorfismos internos de G .
- Si definimos un homomorfismo de grupo T : G → Inn( G ) por T ( x )( g ) = T x ( g ) = xgx −1 , entonces podemos describir N G ( S ) y C G ( S ) en términos de la acción grupal de Inn( G ) sobre G : el estabilizador de S en Inn( G ) es T (NG ( S ) ), y el subgrupo de Inn( G ) que fija S puntualmente es T (C G ( S ) ).
- Se dice que un subgrupo H de un grupo G es C-cerrado o autobiconmutante si H = C G ( S ) para algún subconjunto S ⊆ G . Si es así, entonces, de hecho, H = C G (C G ( H )) .
Anillos y álgebras sobre un campo.
Fuente:
- Los centralizadores en anillos y en álgebras sobre un campo son subanillos y subálgebras sobre un campo, respectivamente; Los centralizadores en anillos de Lie y en álgebras de Lie son subanillos de Lie y subálgebras de Lie, respectivamente.
- El normalizador de S en un anillo de Lie contiene el centralizador de S.
- C R (C R ( S )) contiene S pero no es necesariamente igual. El teorema del doble centralizador se ocupa de situaciones en las que se produce la igualdad.
- Si S es un subgrupo aditivo de un anillo de Lie A , entonces N A ( S ) es el subanillo de Lie más grande de A en el que S es un ideal de Lie.
- Si S es un subanillo de Lie de un anillo de Lie A , entonces S ⊆ N A ( S ) .
Ver también
Notas
- ^ Kevin O'Meara; Juan Clark; Charles Vinsonhaler (2011). Temas avanzados de álgebra lineal: tejer problemas de matrices a través de la forma de Weyr. Prensa de la Universidad de Oxford . pag. 65.ISBN 978-0-19-979373-0.
- ^ Karl Heinrich Hofmann; Sidney A. Morris (2007). La teoría de la mentira de los grupos pro-mentira conectados: una teoría de la estructura para álgebras pro-mentira, grupos pro-mentira y grupos conectados localmente compactos. Sociedad Matemática Europea . pag. 30.ISBN 978-3-03719-032-6.
- ^ Jacobson (2009), pág. 41
Referencias
- Isaacs, I. Martin (2009), Álgebra: un curso de posgrado, Estudios de Posgrado en Matemáticas , vol. 100 (reimpresión de la edición original de 1994), Providence, RI: American Mathematical Society , doi :10.1090/gsm/100, ISBN 978-0-8218-4799-2, señor 2472787
- Jacobson, Nathan (2009), Álgebra básica, vol. 1 (2 ed.), Publicaciones de Dover , ISBN 978-0-486-47189-1
- Jacobson, Nathan (1979), Lie Algebras (reedición de la edición original de 1962), Dover Publications , ISBN 0-486-63832-4, señor 0559927