En matemáticas, específicamente en análisis funcional , un álgebra C ∗ (pronunciada "estrella C") es un álgebra de Banach junto con una involución que satisface las propiedades del adjunto . Un caso particular es el de un álgebra A compleja de operadores lineales continuos en un espacio de Hilbert complejo con dos propiedades adicionales:
Otra clase importante de álgebras C* que no son de Hilbert incluye el álgebra de funciones continuas de valores complejos en X que desaparecen en el infinito, donde X es un espacio de Hausdorff localmente compacto .
Las álgebras C* se consideraron por primera vez principalmente para su uso en mecánica cuántica para modelar álgebras de observables físicos . Esta línea de investigación comenzó con la mecánica matricial de Werner Heisenberg y, de forma más matemáticamente desarrollada, con Pascual Jordan alrededor de 1933. Posteriormente, John von Neumann intentó establecer un marco general para estas álgebras, que culminó en una serie de artículos sobre anillos de operadores. Estos artículos consideraron una clase especial de álgebras C* que ahora se conocen como álgebras de von Neumann .
Alrededor de 1943, el trabajo de Israel Gelfand y Mark Naimark produjo una caracterización abstracta de las álgebras C* sin hacer referencia a operadores en un espacio de Hilbert.
Las álgebras C* son ahora una herramienta importante en la teoría de representaciones unitarias de grupos localmente compactos y también se utilizan en formulaciones algebraicas de la mecánica cuántica. Otra área activa de investigación es el programa para obtener clasificación, o para determinar hasta qué punto es posible la clasificación, para álgebras C* nucleares simples separables .
Comenzamos con la caracterización abstracta de las álgebras C* dada en el artículo de 1943 de Gelfand y Naimark.
AC*-álgebra, A , es un álgebra de Banach sobre el campo de números complejos , junto con un mapa para con las siguientes propiedades:
Observación. Las primeras cuatro identidades dicen que A es un *-álgebra . La última identidad se llama identidad C* y equivale a:
que a veces se denomina identidad B*. Para conocer la historia detrás de los nombres C*- y B*-álgebras, consulte la sección de historia a continuación.
La identidad C* es un requisito muy estricto. Por ejemplo, junto con la fórmula del radio espectral , implica que la norma C* está determinada únicamente por la estructura algebraica:
Un mapa lineal acotado , π : A → B , entre C*-álgebras A y B se llama *-homomorfismo si
En el caso de álgebras C*, cualquier *-homomorfismo π entre álgebras C* es contractivo , es decir, acotado con norma ≤ 1. Además, un homomorfismo * inyectivo entre álgebras C* es isométrico . Éstas son consecuencias de la identidad C*.
Un homomorfismo biyectivo * π se llama isomorfismo C* , en cuyo caso se dice que A y B son isomorfos .
El término B*-álgebra fue introducido por CE Rickart en 1946 para describir las álgebras * de Banach que satisfacen la condición:
Esta condición implica automáticamente que la involución * es isométrica, es decir, . Por lo tanto , y por lo tanto, un álgebra B* también es un álgebra C*. Por el contrario, la condición C* implica la condición B*. Esto no es trivial y se puede probar sin utilizar la condición . [1] Por estas razones, el término B*-álgebra rara vez se utiliza en la terminología actual y ha sido reemplazado por el término 'C*-álgebra'.
El término C*-álgebra fue introducido por IE Segal en 1947 para describir subálgebras de norma cerrada de B ( H ), es decir, el espacio de operadores acotados en algún espacio de Hilbert H. 'C' significaba 'cerrado'. [2] [3] En su artículo, Segal define un álgebra C* como un "álgebra autoadjunta, uniformemente cerrada, de operadores acotados en un espacio de Hilbert". [4]
Las álgebras C* tienen una gran cantidad de propiedades que son técnicamente convenientes. Algunas de estas propiedades se pueden establecer mediante el uso del cálculo funcional continuo o mediante la reducción a álgebras C* conmutativas. En este último caso podemos aprovechar el hecho de que la estructura de estos está completamente determinada por el isomorfismo de Gelfand .
Los elementos autoadjuntos son los de la forma . El conjunto de elementos de un álgebra C* A de la forma forma un cono convexo cerrado . Este cono es idéntico a los elementos de la forma . Los elementos de este cono se denominan no negativos (o a veces positivos , aunque esta terminología entra en conflicto con su uso para elementos de ℝ)
El conjunto de elementos autoadjuntos de un álgebra C* A tiene naturalmente la estructura de un espacio vectorial parcialmente ordenado ; el orden generalmente se indica . En este orden, un elemento autoadjunto satisface si y sólo si el espectro de no es negativo, si y sólo si para algunos . Dos elementos autoadjuntos y de A satisfacen si .
Este subespacio parcialmente ordenado permite la definición de un funcional lineal positivo en un álgebra C*, que a su vez se usa para definir los estados de un álgebra C*, que a su vez se puede usar para construir el espectro de un álgebra C*. álgebra utilizando la construcción GNS .
Cualquier C*-álgebra A tiene una identidad aproximada . De hecho, existe una familia dirigida { e λ } λ∈I de elementos autoadjuntos de A tal que
Usando identidades aproximadas, se puede demostrar que el cociente algebraico de un álgebra C* por un ideal bilateral propio cerrado , con la norma natural, es un álgebra C*.
De manera similar, un ideal cerrado de dos lados de un álgebra C* es en sí mismo un álgebra C*.
El álgebra M( n , C ) de matrices n × n sobre C se convierte en un álgebra C* si consideramos las matrices como operadores en el espacio euclidiano, C n , y utilizamos la norma del operador ||·|| sobre matrices. La involución viene dada por la transpuesta conjugada . De manera más general, se pueden considerar sumas directas finitas de álgebras matriciales. De hecho, todas las álgebras C* que son de dimensión finita como espacios vectoriales tienen esta forma, hasta el isomorfismo. El requisito de autoadjunción significa que las álgebras C* de dimensión finita son semisimples , de lo cual se puede deducir el siguiente teorema de tipo Artin-Wedderburn :
Teorema. Un álgebra C* de dimensión finita, A , es canónicamente isomorfa a una suma directa finita
donde min A es el conjunto de proyecciones centrales autoadjuntas mínimas distintas de cero de A.
Cada álgebra C*, Ae , es isomorfa (de forma no canónica) al álgebra matricial completa M(dim( e ), C ). La familia finita indexada en min A dada por {dim( e )} e se llama vector de dimensión de A . Este vector determina de forma única la clase de isomorfismo de un álgebra C* de dimensión finita. En el lenguaje de la teoría K , este vector es el cono positivo del grupo K 0 de A.
Un †-álgebra (o, más explícitamente, un †-álgebra cerrada ) es el nombre que se utiliza ocasionalmente en física [5] para un álgebra C* de dimensión finita. La daga , †, se utiliza en el nombre porque los físicos suelen utilizar el símbolo para denotar un adjunto hermitiano y, a menudo, no les preocupan las sutilezas asociadas con un número infinito de dimensiones. (Los matemáticos suelen utilizar el asterisco, *, para indicar el adjunto hermitiano.) Las álgebras † ocupan un lugar destacado en la mecánica cuántica y, especialmente, en la ciencia de la información cuántica .
Una generalización inmediata de las álgebras C* de dimensión finita son las álgebras C* de dimensión aproximadamente finita .
El ejemplo prototípico de un álgebra C* es el álgebra B(H) de operadores lineales acotados (equivalentemente continuos) definidos en un espacio de Hilbert complejo H ; aquí x* denota el operador adjunto del operador x : H → H . De hecho, cada C*-álgebra, A , es *-isomorfa a una subálgebra cerrada adjunta de norma cerrada de B ( H ) para un espacio de Hilbert adecuado, H ; este es el contenido del teorema de Gelfand-Naimark .
Sea H un espacio de Hilbert separable de dimensión infinita. El álgebra K ( H ) de operadores compactos en H es una subálgebra norma cerrada de B ( H ). También está cerrado bajo involución; por tanto, es un álgebra C*.
Las álgebras C* concretas de operadores compactos admiten una caracterización similar al teorema de Wedderburn para álgebras C* de dimensión finita:
Teorema. Si A es una subálgebra C* de K ( H ), entonces existen espacios de Hilbert { H i } i ∈ I tales que
donde la suma directa (C*-) consta de elementos ( T i ) del producto cartesiano Π K ( H i ) con || T i || → 0.
Aunque K ( H ) no tiene un elemento de identidad, se puede desarrollar una identidad secuencial aproximada para K ( H ). Para ser específico, H es isomorfo al espacio de secuencias cuadradas sumables l 2 ; podemos suponer que H = l 2 . Para cada número natural n, sea H n el subespacio de secuencias de l 2 que desaparecen para índices k ≥ n y sea en la proyección ortogonal sobre H n . La secuencia { e n } n es una identidad aproximada para K ( H ).
K ( H ) es un ideal cerrado de dos caras de B ( H ). Para espacios Hilbert separables, es el único ideal. El cociente de B ( H ) entre K ( H ) es el álgebra de Calkin .
Sea X un espacio de Hausdorff localmente compacto . El espacio de funciones continuas de valores complejos en X que desaparecen en el infinito (definido en el artículo sobre compacidad local ) forma un álgebra C* conmutativa bajo multiplicación y suma puntuales. La involución es una conjugación puntual. tiene un elemento unitario multiplicativo si y sólo si es compacto. Como cualquier álgebra C*, tiene una identidad aproximada . En el caso de esto es inmediato: considere el conjunto dirigido de subconjuntos compactos de , y para cada compacto sea una función de soporte compacto que es idénticamente 1 en . Tales funciones existen según el teorema de extensión de Tietze , que se aplica a espacios de Hausdorff localmente compactos. Cualquier secuencia de funciones de este tipo es una identidad aproximada.
La representación de Gelfand establece que cada álgebra C* conmutativa es *-isomorfa al álgebra , donde está el espacio de caracteres equipados con la topología débil* . Además, si es isomorfa como C*-álgebras, se deduce que y son homeomorfas . Esta caracterización es una de las motivaciones para los programas de topología no conmutativa y geometría no conmutativa .
Dada un álgebra A de Banach * con una identidad aproximada , existe un álgebra C* única (hasta C*-isomorfismo) E ( A ) y un *-morfismo π de A a E ( A ) que es universal , es decir , cualquier otro *-morfismo continuo π ': A → B se factoriza únicamente a través de π. El álgebra E ( A ) se llama álgebra envolvente C* del álgebra A de Banach * .
De particular importancia es el álgebra C* de un grupo G localmente compacto . Esto se define como el álgebra C* envolvente del álgebra de grupo de G . El álgebra C* de G proporciona un contexto para el análisis armónico general de G en el caso de que G no sea abeliano. En particular, el dual de un grupo localmente compacto se define como el espacio ideal primitivo del grupo C*-álgebra. Ver espectro de un álgebra C* .
Las álgebras de Von Neumann , conocidas como álgebras W* antes de la década de 1960, son un tipo especial de álgebra C*. Deben estar cerrados en la topología de operador débil , que es más débil que la topología normal.
El teorema de Sherman-Takeda implica que cualquier álgebra C* tiene un álgebra W* envolvente universal, de modo que cualquier homomorfismo de un álgebra W* lo factoriza.
AC*-álgebra A es de tipo I si y sólo si para todas las representaciones no degeneradas π de A el álgebra de von Neumann π( A )′′ (es decir, el bicommutante de π( A )) es un tipo I de von Neumann álgebra. De hecho, es suficiente considerar sólo representaciones factoriales, es decir, representaciones π para las cuales π( A )′′ es un factor.
Se dice que un grupo localmente compacto es de tipo I si y sólo si su grupo C*-álgebra es de tipo I.
Sin embargo, si un álgebra C* tiene representaciones que no son de tipo I, entonces, según los resultados de James Glimm, también tiene representaciones de tipo II y tipo III. Por tanto, para álgebras C* y grupos localmente compactos, sólo tiene sentido hablar de propiedades de tipo I y de no tipo I.
En mecánica cuántica , normalmente se describe un sistema físico con un álgebra C* A con elemento unitario; los elementos autoadjuntos de A (elementos x con x* = x ) se consideran los observables , las cantidades mensurables, del sistema. Un estado del sistema se define como un funcional positivo en A (un mapa lineal C φ : A → C con φ( u*u ) ≥ 0 para todo u ∈ A ) tal que φ(1) = 1. El estado esperado El valor del observable x , si el sistema está en el estado φ, es entonces φ( x ).
Este enfoque de álgebra C* se utiliza en la axiomatización de Haag-Kastler de la teoría cuántica de campos local , donde cada conjunto abierto del espacio-tiempo de Minkowski está asociado con un álgebra C*.
