Axiomas de Dirac-von Neumann

Formulación de la mecánica cuántica en un espacio de Hilbert

En física matemática , los axiomas de Dirac-von Neumann proporcionan una formulación matemática de la mecánica cuántica en términos de operadores en un espacio de Hilbert . Fueron introducidos por Paul Dirac en 1930 y John von Neumann en 1932.

Formulación del espacio de Hilbert

El espacio es un espacio de Hilbert complejo fijo de dimensión infinita contable . ${\displaystyle \mathbb {H} }$

• Los observables de un sistema cuántico se definen como los operadores autoadjuntos (posiblemente ilimitados ) en . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$
• Un estado del sistema cuántico es un vector unitario de , hasta múltiplos escalares; o equivalentemente, un rayo del espacio de Hilbert . ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$
• El valor esperado de un observable A para un sistema en un estado está dado por el producto interno . ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \langle \psi ,A\psi \rangle }$

Formulación del álgebra de operadores

Los axiomas de Dirac-von Neumann pueden formularse en términos de un C*-álgebra de la siguiente manera.

• Los observables acotados del sistema mecánico cuántico se definen como los elementos autoadjuntos del C*-álgebra.
• Los estados del sistema mecánico cuántico se definen como los estados del álgebra C* (en otras palabras, los funcionales lineales positivos normalizados ). ${\displaystyle \omega }$
• El valor de un estado en un elemento es el valor esperado del observable si el sistema cuántico está en el estado . ${\displaystyle \omega (A)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \omega }$

Ejemplo

Si el C*-álgebra es el álgebra de todos los operadores acotados en un espacio de Hilbert , entonces los observables acotados son simplemente los operadores autoadjuntos acotados en . Si es un vector unitario de entonces es un estado en el C*-álgebra, lo que significa que los vectores unitarios (hasta la multiplicación escalar) dan los estados del sistema. Esto es similar a la formulación de Dirac de la mecánica cuántica, aunque Dirac también permitió operadores no acotados y no distinguió claramente entre operadores autoadjuntos y hermíticos. ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \omega (A)=\langle v,Av\rangle }$

Véase también

• Teoría cuántica de campos axiomática

Referencias

• Dirac, Paul (1930), Los principios de la mecánica cuántica
• Strocchi, F. (2008), "Introducción a la estructura matemática de la mecánica cuántica. Un curso breve para matemáticos", Introducción a la estructura matemática de la mecánica cuántica. Serie: Advanced Series in Mathematical Physics , Advanced Series in Mathematical Physics, 28 (2 ed.), World Scientific Publishing Co., Bibcode :2008ASMP...28.....S, doi :10.1142/7038, ISBN 9789812835222, Sr.  2484367
• Takhtajan, Leon A. (2008), Mecánica cuántica para matemáticos , Graduate Studies in Mathematics , vol. 95, Providence, RI: American Mathematical Society, doi : 10.1090/gsm/095, ISBN 978-0-8218-4630-8, Sr.  2433906
• von Neumann, John (1932), Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica , Berlín: Springer, MR  0066944