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Sexto problema de Hilbert

El sexto problema de Hilbert consiste en axiomatizar aquellas ramas de la física en las que predominan las matemáticas . Aparece en la lista ampliamente citada de problemas de Hilbert en matemáticas que presentó en el año 1900. [1] En su traducción común al inglés, la declaración explícita dice:

Escaleras de reducción de modelos desde la dinámica microscópica ( la visión atomística ) a la dinámica macroscópica del continuo ( las leyes del movimiento de los continuos ) (Ilustración del contenido del libro [2] )
6. Tratamiento matemático de los axiomas de la física. Las investigaciones sobre los fundamentos de la geometría plantean el problema de tratar de la misma manera, por medio de axiomas, aquellas ciencias físicas en las que ya hoy día las matemáticas juegan un papel importante; en primer lugar están la teoría de probabilidades y la mecánica.

Hilbert dio una explicación más detallada de este problema y sus posibles formas específicas:

"En cuanto a los axiomas de la teoría de probabilidades, me parece deseable que su investigación lógica vaya acompañada de un desarrollo riguroso y satisfactorio del método de valores medios en la física matemática, y en particular en la teoría cinética de los gases... El trabajo de Boltzmann sobre los principios de la mecánica sugiere el problema de desarrollar matemáticamente los procesos límite, allí meramente indicados, que conducen desde la visión atomística a las leyes del movimiento de los continuos."

Historia

El propio David Hilbert dedicó gran parte de su investigación al sexto problema; [3] en particular, trabajó en aquellos campos de la física que surgieron después de que él planteó el problema.

En la década de 1910, la mecánica celeste evolucionó hacia la relatividad general . Hilbert y Emmy Noether mantuvieron una extensa correspondencia con Albert Einstein sobre la formulación de la teoría. [4]

En la década de 1920, la mecánica de sistemas microscópicos evolucionó hacia la mecánica cuántica . Hilbert, con la ayuda de John von Neumann , L. Nordheim y EP Wigner , trabajó sobre la base axiomática de la mecánica cuántica (véase espacio de Hilbert ). [5] Al mismo tiempo, pero de forma independiente, Dirac formuló la mecánica cuántica de una manera cercana a un sistema axiomático, al igual que Hermann Weyl con la ayuda de Erwin Schrödinger .

En la década de 1930, la teoría de la probabilidad fue puesta sobre una base axiomática por Andrey Kolmogorov , utilizando la teoría de la medida .

Desde la década de 1960, siguiendo los trabajos de Arthur Wightman y Rudolf Haag , la teoría cuántica de campos moderna también puede considerarse cercana a una descripción axiomática.

En los años 1990-2000, muchos grupos de matemáticos abordaron el problema de los "procesos límite, simplemente indicados, que conducen desde la visión atomística a las leyes del movimiento de los continuos". Los principales resultados recientes están resumidos por Laure Saint-Raymond , [6] Marshall Slemrod, [7] Alexander N. Gorban e Ilya Karlin. [8]

Estado

El sexto problema de Hilbert fue una propuesta para expandir el método axiomático más allá de las disciplinas matemáticas existentes, a la física y más allá. Esta expansión requiere el desarrollo de la semántica de la física con un análisis formal de la noción de realidad física que debe realizarse. [9] Dos teorías fundamentales capturan la mayoría de los fenómenos fundamentales de la física:

Hilbert consideraba la relatividad general como una parte esencial de los fundamentos de la física. [11] [12] Sin embargo, la teoría cuántica de campos no es lógicamente consistente con la relatividad general, lo que indica la necesidad de una teoría aún desconocida de la gravedad cuántica , donde se espera que la semántica de la física desempeñe un papel central. El sexto problema de Hilbert, por tanto, permanece abierto. [13] Sin embargo, en los últimos años ha fomentado la investigación sobre los fundamentos de la física con un énfasis particular en el papel de la lógica y la precisión del lenguaje, lo que ha llevado a algunos resultados interesantes, a saber, una realización directa del principio de incertidumbre a partir de la definición de Cauchy de "derivada" y el desenlace de un obstáculo semántico en el camino de cualquier teoría de la gravedad cuántica desde la perspectiva axiomática, [14] el desenlace de una tautología lógica en las pruebas cuánticas del principio de equivalencia [15] y la imposibilidad de demostrar formalmente la primera ecuación de Maxwell. [16]

Véase también

Notas

  1. ^ Hilbert, David (1902). "Problemas matemáticos". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 8 (10): 437–479. doi : 10.1090/S0002-9904-1902-00923-3 . MR  1557926.Publicaciones anteriores (en el original alemán) aparecieron en Göttinger Nachrichten , 1900, págs. 253-297, y Archiv der Mathematik und Physik , tercera serie, vol. 1 (1901), págs. 44-63, 213-237.
  2. ^ Gorban, Alexander N.; Karlin, Ilya V. (2005). Variedades invariantes para cinética física y química. Apuntes de clases de física (LNP, vol. 660). Berlín, Heidelberg: Springer. doi :10.1007/b98103. ISBN 978-3-540-22684-0. Archivado desde el original el 19 de agosto de 2020.URL alternativa
  3. ^ Corry, L. (1997). «David Hilbert y la axiomatización de la física (1894-1905)». Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 51 (2): 83–198. doi :10.1007/BF00375141.
  4. ^ Sauer 1999, pág. 6
  5. ^ van Hove, Léon (1958). "Contribuciones de von Neumann a la teoría cuántica". Bull. Amer. Math. Soc . 64 (3): 95–99. doi : 10.1090/s0002-9904-1958-10206-2 . MR  0092587. Zbl  0080.00416.
  6. ^ Saint-Raymond, L. (2009). Límites hidrodinámicos de la ecuación de Boltzmann . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1971. Springer-Verlag. doi :10.1007/978-3-540-92847-8. ISBN. 978-3-540-92847-8.
  7. ^ Slemrod, M. (2013). "De Boltzmann a Euler: el sexto problema de Hilbert revisado". Comput. Matemáticas. Aplicaciones . 65 (10): 1497–1501. doi : 10.1016/j.camwa.2012.08.016 . MR  3061719.
  8. ^ Gorban, AN; Karlin, I. (2014). "El sexto problema de Hilbert: variedades hidrodinámicas exactas y aproximadas para ecuaciones cinéticas". Bull. Amer. Math. Soc . 51 (2): 186–246. arXiv : 1310.0406 . doi : 10.1090/S0273-0979-2013-01439-3 .
  9. ^ Gorban, AN (2018). "El sexto problema de Hilbert: el camino interminable hacia el rigor". Phil. Trans. R. Soc. A . 376 (2118): 20170238. arXiv : 1803.03599 . Bibcode :2018RSPTA.37670238G. doi : 10.1098/rsta.2017.0238 . PMID  29555808.
  10. ^ Wightman, AS (1976). "El sexto problema de Hilbert: tratamiento matemático de los axiomas de la física". En Felix E. Browder (ed.). Desarrollos matemáticos derivados de los problemas de Hilbert . Actas de simposios sobre matemáticas puras . Vol. XXVIII. Sociedad Matemática Americana . págs. 147–240. ISBN. 0-8218-1428-1.
  11. ^ Hilbert, David (1915). "Die Grundlagen der Physik. (Erste Mitteilung)". Nahrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse . 1915 : 395–407.
  12. ^ Sauer 1999
  13. ^ Número temático "El sexto problema de Hilbert". Phil. Trans. R. Soc. A . 376 (2118). 2018. doi : 10.1098/rsta/376/2118 .
  14. ^ A. Majhi (2022). "El desliz lógico-lingüístico de Cauchy, el principio de incertidumbre de Heisenberg y un dilema semántico en torno a la "gravedad cuántica""". Revista Internacional de Física Teórica . 61 (3). arXiv : 2204.00418 . doi :10.1007/s10773-022-05051-8.
  15. ^ Majhi, A.; Sardar, G. (2023). "Valor científico de las pruebas cuánticas del principio de equivalencia a la luz del sexto problema de Hilbert". Pramana - J Phys . 97 (1). arXiv : 2301.06327 . doi :10.1007/s12043-022-02504-x.
  16. ^ A. Majhi (2023). "Indemostrabilidad de la primera ecuación de Maxwell a la luz de la condición de completitud de EPR: un enfoque computacional desde una perspectiva lógico-lingüística". Pramana - J Phys . 61 (4). arXiv : 2310.14930 . doi :10.1007/s12043-023-02594-1.

Referencias

Enlaces externos