Operador positivo (espacio de Hilbert)

En matemáticas (específicamente álgebra lineal , teoría de operadores y análisis funcional ), así como en física , un operador lineal que actúa sobre un espacio de producto interno se llama positivo-semidefinido (o no negativo ) si, para cada , y , donde es el dominio de . Los operadores positivos-semidefinidos se denotan como . Se dice que el operador es positivo-definido y se escribe , si para todo . ^[1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {Dom} (A)}$ ${\displaystyle \langle Ax,x\rangle \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \langle Ax,x\rangle \geq 0}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\geq 0}$ ${\displaystyle A>0}$ ${\displaystyle \langle Ax,x\rangle >0,}$ ${\displaystyle x\in \mathop {\mathrm {Dom} } (A)\setminus \{0\}}$

Muchos autores definen un operador positivo como un operador no negativo autoadjunto (o al menos simétrico). A continuación, mostramos que, para un espacio de Hilbert complejo, la autoadjunción se deduce automáticamente de la no negatividad. Para un espacio de Hilbert real, la no negatividad no implica autoadjunción. ${\displaystyle A}$

En física (específicamente en mecánica cuántica ), dichos operadores representan estados cuánticos , a través del formalismo de la matriz de densidad .

Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Supongamos que el producto interno es antilineal en el primer argumento y lineal en el segundo y supongamos que es positivo y simétrico, lo último significa que . Entonces la no negatividad de ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle A(\lambda x+\mu y),\lambda x+\mu y\rangle =|\lambda |^{2}\langle Ax,x\rangle +\lambda ^{*}\mu \langle Ax,y\rangle +\lambda \mu ^{*}\langle Ay,x\rangle +|\mu |^{2}\langle Ay,y\rangle \\[1mm]=|\lambda |^{2}\langle Ax,x\rangle +\lambda ^{*}\mu \langle Ax,y\rangle +\lambda \mu ^{*}(\langle Ax,y\rangle )^{*}+|\mu |^{2}\langle Ay,y\rangle \end{aligned}}}$

para todos los complejos y demuestra que ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \left|\langle Ax,y\rangle \right|^{2}\leq \langle Ax,x\rangle \langle Ay,y\rangle .}$

De ello se deduce que If está definido en todas partes, y entonces ${\displaystyle \mathop {\text{Im}} A\perp \mathop {\text{Ker}} A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle Ax,x\rangle =0,}$ ${\displaystyle Ax=0.}$

En un espacio de Hilbert complejo, si un operador no es negativo, entonces es simétrico.

Para la identidad de polarización ${\displaystyle x,y\in \operatorname {Dom} A,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle Ax,y\rangle ={\frac {1}{4}}({}&\langle A(x+y),x+y\rangle -\langle A(x-y),x-y\rangle \\[1mm]&{}-i\langle A(x+iy),x+iy\rangle +i\langle A(x-iy),x-iy\rangle )\end{aligned}}}$

y el hecho de que para los operadores positivos, demuestra que es simétrico. ${\displaystyle \langle Ax,x\rangle =\langle x,Ax\rangle ,}$ ${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle ,}$ ${\displaystyle A}$

En contraste con el caso complejo, un operador semidefinido positivo en un espacio de Hilbert real puede no ser simétrico. Como contraejemplo, definamos que es un operador de rotación por un ángulo agudo. Entonces, pero , por lo tanto, no es simétrico. ${\displaystyle H_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle A:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \varphi \in (-\pi /2,\pi /2).}$ ${\displaystyle \langle Ax,x\rangle =\|Ax\|\|x\|\cos \varphi >0,}$ ${\displaystyle A^{*}=A^{-1}\neq A,}$ ${\displaystyle A}$

Si un operador no es negativo y está definido en todo el espacio de Hilbert, entonces es autoadjunto yencerrado

La simetría de implica que y Para que sean autoadjuntos, es necesario que En nuestro caso, la igualdad de dominios se cumple porque por lo tanto es de hecho autoadjunto. El hecho de que esté acotado ahora se sigue del teorema de Hellinger-Toeplitz . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} A\subseteq \operatorname {Dom} A^{*}}$ ${\displaystyle A=A^{*}|_{\operatorname {Dom} (A)}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} A=\operatorname {Dom} A^{*}.}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }=\operatorname {Dom} A\subseteq \operatorname {Dom} A^{*},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Esta propiedad no se conserva ${\displaystyle H_{\mathbb {R} }.}$

Orden parcial de operadores autoadjuntos

De la definición de operadores positivos surge un ordenamiento parcial natural de los operadores autoadjuntos. Defina si se cumple lo siguiente: ${\displaystyle B\geq A}$

1. ${\displaystyle A}$y son autoadjuntos ${\displaystyle B}$
2. ${\displaystyle B-A\geq 0}$

Se puede observar que un resultado similar al del teorema de convergencia monótona se cumple para operadores monótonos crecientes , acotados y autoadjuntos en espacios de Hilbert. ^[2]

Aplicación a la física: estados cuánticos

La definición de un sistema cuántico incluye un espacio de Hilbert separable complejo y un conjunto de operadores de clase traza positivos en para los cuales El conjunto es el conjunto de estados . Cada se llama estado o un operador de densidad . Para donde el operador de proyección sobre el lapso de se llama estado puro . (Dado que cada estado puro es identificable con un vector unitario algunas fuentes definen los estados puros como elementos unitarios de Los estados que no son puros se llaman mixtos . ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle {\cal {S}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \mathop {\text{Trace}} \rho =1.}$ ${\displaystyle {\cal {S}}}$ ${\displaystyle \rho \in {\cal {S}}}$ ${\displaystyle \psi \in H_{\mathbb {C} },}$ ${\displaystyle \|\psi \|=1,}$ ${\displaystyle P_{\psi }}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi \in H_{\mathbb {C} },}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }).}$

Referencias

1. Romano 2008, pág. 250 §10
2. Eidelman, Yuli, Vitali D. Milman y Antonis Tsolomitis. 2004. Análisis funcional: una introducción. Providence (RI): Sociedad matemática americana.

• Conway, John B. (1990), Análisis funcional: una introducción , Springer Verlag , ISBN 0-387-97245-5
• Roman, Stephen (2008), Álgebra lineal avanzada , Textos de posgrado en matemáticas (tercera edición), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5