En la disciplina matemática de la teoría del orden , una red complementada es una red acotada (con el elemento menor 0 y el elemento mayor 1), en la que cada elemento a tiene un complemento , es decir, un elemento b que satisface a ∨ b = 1 y a ∧ b = 0. Los complementos no necesitan ser únicos.
Una red relativamente complementada es una red tal que cada intervalo [ c , d ], visto como una red acotada por derecho propio, es una red complementada.
Una ortocomplementación en una red complementada es una involución que invierte el orden y asigna cada elemento a un complemento. Una red ortocomplementada que satisface una forma débil de la ley modular se denomina red ortomodular .
En los retículos distributivos acotados , los complementos son únicos. Cada retículo distributivo complementado tiene una ortocomplementación única y, de hecho, es un álgebra de Boole .
Una red complementada es una red acotada (con el elemento menor 0 y el elemento mayor 1), en la que cada elemento a tiene un complemento , es decir, un elemento b tal que
En general, un elemento puede tener más de un complemento. Sin embargo, en una red distributiva (acotada) cada elemento tendrá como máximo un complemento. [1] Una red en la que cada elemento tiene exactamente un complemento se denomina red unívocamente complementada [2]
Una red con la propiedad de que cada intervalo (considerado como una subred) está complementado se denomina red relativamente complementada . En otras palabras, una red relativamente complementada se caracteriza por la propiedad de que para cada elemento a en un intervalo [ c , d ] hay un elemento b tal que
Un elemento b se llama complemento de a con respecto al intervalo.
Una red distributiva se complementa si y solo si está acotada y relativamente complementada. [3] [4] La red de subespacios de un espacio vectorial proporciona un ejemplo de una red complementada que no es, en general, distributiva.
Una ortocomplementación en una red acotada es una función que asigna cada elemento a a un "ortocomplemento" a ⊥ de tal manera que se satisfacen los siguientes axiomas: [5]
Una red ortocomplementada u ortolattice es una red acotada dotada de una ortocomplementación. La red de subespacios de un espacio de producto interno y la operación de complemento ortogonal proporcionan un ejemplo de una red ortocomplementada que no es, en general, distributiva. [6]
Las álgebras de Boole son un caso especial de retículas ortocomplementadas, que a su vez son un caso especial de retículas complementadas (con estructura adicional). Las ortolactias se utilizan con mayor frecuencia en lógica cuántica , donde los subespacios cerrados de un espacio de Hilbert separable representan proposiciones cuánticas y se comportan como una retícula ortocomplementada.
Las redes ortocomplementadas, como las álgebras de Boole, satisfacen las leyes de De Morgan :
Una red se llama modular si para todos los elementos a , b y c la implicación
se cumple. Esto es más débil que la distributividad ; por ejemplo, la red M 3 mostrada anteriormente es modular, pero no distributiva.
Un debilitamiento natural adicional de esta condición para redes ortocomplementadas, necesaria para aplicaciones en lógica cuántica, es requerirla solo en el caso especial b = a ⊥ . Por lo tanto, una red ortomodular se define como una red ortocomplementada tal que para dos elementos cualesquiera la implicación
sostiene.
Las redes de esta forma son de importancia crucial para el estudio de la lógica cuántica , ya que son parte de la axiomización de la formulación del espacio de Hilbert de la mecánica cuántica . Garrett Birkhoff y John von Neumann observaron que el cálculo proposicional en lógica cuántica es "formalmente indistinguible del cálculo de subespacios lineales [de un espacio de Hilbert] con respecto a productos de conjuntos , sumas lineales y complementos ortogonales" correspondientes a los roles de y , o y no en redes booleanas. Esta observación ha estimulado el interés en los subespacios cerrados de un espacio de Hilbert, que forman una red ortomodular. [7]