Operador ideal

En el análisis funcional , una rama de las matemáticas , un ideal de operador es un tipo especial de clase de operadores lineales continuos entre espacios de Banach . Si un operador pertenece a un ideal de operador , entonces para cualquier operador y que pueda estar compuesto con como , entonces también es de clase . Además, para que sea un ideal de operador, debe contener la clase de todos los operadores de espacio de Banach de rango finito. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle BTA}$ ${\displaystyle BTA}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$

Definición formal

Sea la clase de operadores lineales continuos que actúan entre espacios de Banach arbitrarios. Para cualquier subclase de y cualesquiera dos espacios de Banach y sobre el mismo cuerpo , denote por el conjunto de operadores lineales continuos de la forma tales que . En este caso, decimos que es un componente de . Un ideal de operador es una subclase de , que contiene cada operador identidad que actúa sobre un espacio de Banach unidimensional, tal que para cualesquiera dos espacios de Banach y sobre el mismo cuerpo , se satisfacen las dos condiciones siguientes para : ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}(X,Y)}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}(X,Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}(X,Y)}$

(1) Si entonces ; y ${\displaystyle S,T\in {\mathcal {J}}(X,Y)}$ ${\displaystyle S+T\in {\mathcal {J}}(X,Y)}$

(2) si y son espacios de Banach sobre y , y si , entonces . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {L}}(W,X)}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {L}}(Y,Z)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {J}}(X,Y)}$ ${\displaystyle BTA\in {\mathcal {J}}(W,Z)}$

Propiedades y ejemplos

Los ideales del operador disfrutan de las siguientes agradables propiedades.

• Cada componente de un ideal de operador forma un subespacio lineal de , aunque en general no es necesario que esté normadamente cerrado. ${\displaystyle {\mathcal {J}}(X,Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}(X,Y)}$
• Todo ideal de operador contiene todos los operadores de rango finito. En particular, los operadores de rango finito forman el ideal de operador más pequeño.
• Para cada operador ideal , cada componente de la forma forma un ideal en el sentido algebraico. ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}(X):={\mathcal {J}}(X,X)}$

Además, algunas clases muy conocidas son ideales de operador de norma cerrada, es decir, ideales de operador cuyos componentes siempre son de norma cerrada. Entre ellas se incluyen, entre otras, las siguientes:

• Operadores compactos
• Operadores débilmente compactos
• Operadores finitamente estrictamente singulares
• Operadores estrictamente singulares
• Operadores completamente continuos

Referencias

• Pietsch, Albrecht: Operador Ideales , Volumen 16 de Mathematische Monographien , Deutscher Verlag d. Suiza, VEB, 1978.