En matemáticas , un anillo regular de von Neumann es un anillo R (asociativo, con 1, no necesariamente conmutativo) tal que para cada elemento a en R existe una x en R con a = axa . Se puede pensar en x como una "inversa débil" del elemento a; en general , x no está determinado únicamente por a . Los anillos regulares de Von Neumann también se llaman anillos absolutamente planos , porque estos anillos se caracterizan por el hecho de que cada módulo R izquierdo es plano .
Los anillos regulares de Von Neumann fueron introducidos por von Neumann (1936) bajo el nombre de "anillos regulares", en el curso de su estudio de las álgebras de von Neumann y la geometría continua . Los anillos regulares de Von Neumann no deben confundirse con los anillos regulares no relacionados y los anillos locales regulares del álgebra conmutativa .
Un elemento a de un anillo se llama elemento regular de von Neumann si existe una x tal que a = axa . [1] Un ideal se llama ideal regular (von Neumann) si para cada elemento a existe un elemento x tal que a = axa . [2]
Cada campo (y cada campo sesgado ) es regular de von Neumann: para a ≠ 0 podemos tomar x = a −1 . [1] Un dominio integral es regular de von Neumann si y sólo si es un campo. Todo producto directo de los anillos regulares de von Neumann es nuevamente regular de von Neumann.
Otra clase importante de ejemplos de anillos regulares de von Neumann son los anillos M n ( K ) de n por n matrices cuadradas con entradas de algún campo K . Si r es el rango de A ∈ M n ( K ) , la eliminación gaussiana da matrices invertibles U y V tales que
(donde I r es la matriz identidad r -by- r ). Si establecemos X = V −1 U −1 , entonces
De manera más general, el anillo de matriz n × n sobre cualquier anillo regular de von Neumann es nuevamente regular de von Neumann. [1]
Si V es un espacio vectorial sobre un campo (o campo sesgado ) K , entonces el anillo de endomorfismo End K ( V ) es regular de von Neumann, incluso si V no es de dimensión finita. [3]
Generalizando los ejemplos anteriores, supongamos que S es algún anillo y M es un módulo S tal que cada submódulo de M es una suma directa de M (tales módulos M se denominan semisimples ). Entonces el anillo de endomorfismo End S ( M ) es regular de von Neumann. En particular, todo anillo semisimple es regular de von Neumann. De hecho, los anillos semisimples son precisamente los anillos regulares noetherianos de von Neumann.
El anillo de operadores afiliados de un álgebra de von Neumann finita es regular de von Neumann.
Un anillo booleano es un anillo en el que cada elemento satisface a 2 = a . Todo anillo booleano es regular de von Neumann.
Las siguientes afirmaciones son equivalentes para el anillo R :
Las declaraciones correspondientes para los módulos correctos también son equivalentes a que R sea regular de von Neumann.
Cada anillo regular de von Neumann tiene el radical de Jacobson {0} y, por tanto, es semiprimitivo (también llamado "semisimple de Jacobson").
En un anillo regular conmutativo de von Neumann, para cada elemento x hay un elemento único y tal que xyx = x e yxy = y , por lo que existe una forma canónica de elegir el "inverso débil" de x .
Las siguientes afirmaciones son equivalentes para el anillo conmutativo R :
Además, lo siguiente es equivalente: para un anillo conmutativo A
Los tipos especiales de anillos regulares de von Neumann incluyen anillos regulares unitarios y anillos regulares fuertemente de von Neumann y anillos de rango .
Un anillo R se llama unidad regular si para cada a en R , existe una unidad u en R tal que a = aua . Todo anillo semisimple es regular unitariamente y los anillos regulares unitarios son anillos directamente finitos . Un anillo regular de von Neumann ordinario no necesita ser directamente finito.
Un anillo R se llama fuertemente regular de von Neumann si para cada a en R , hay algo de x en R con a = aax . La condición es simétrica de izquierda a derecha. Los anillos regulares de von Neumann son claramente unitarios. Todo anillo fuertemente regular de von Neumann es un producto subdirecto de anillos de división . En cierto sentido, esto imita más de cerca las propiedades de los anillos regulares conmutativos de von Neumann, que son productos subdirectos de campos. Para anillos conmutativos, von Neumann regular y fuertemente von Neumann regular son equivalentes. En general, lo siguiente es equivalente para un anillo R :
Las generalizaciones de los anillos regulares de von Neumann incluyen anillos π -regulares, anillos semihereditarios izquierdo/derecho, anillos no singulares izquierdo/derecho y anillos semiprimitivos .
