Submódulo puro

Componentes modulares con flexibilidad en la teoría de módulos

En matemáticas , especialmente en el campo de la teoría de módulos , el concepto de submódulo puro proporciona una generalización del sumando directo , un tipo de pieza particularmente bien comportada de un módulo . Los módulos puros son complementarios a los módulos planos y generalizan la noción de subgrupos puros de Prüfer . Mientras que los módulos planos son aquellos módulos que dejan exactas secuencias cortas después de tensar , un submódulo puro define una secuencia corta exacta (conocida como secuencia exacta pura ) que permanece exacta después de tensar con cualquier módulo. De manera similar, un módulo plano es un límite directo de módulos proyectivos , y una secuencia exacta pura es un límite directo de secuencias exactas divididas .

Definición

Sea R un anillo (asociativo, con 1), sea M un módulo (izq.) sobre R , sea P un submódulo de M y sea i : P → M la función inyectiva natural . Entonces P es un submódulo puro de M si, para cualquier R -módulo X (der.) , la función inducida natural id _X ⊗ i  : X ⊗ P → X ⊗ M (donde los productos tensoriales se toman sobre R ) es inyectiva.

Análogamente, una secuencia corta y exacta

${\displaystyle 0\longrightarrow A\,\ {\stackrel {f}{\longrightarrow }}\ B\,\ {\stackrel {g}{\longrightarrow }}\ C\longrightarrow 0}$

de (izquierda) R -módulos es puramente exacta si la secuencia permanece exacta cuando se tensa con cualquier (derecha) R -módulo X . Esto es equivalente a decir que f ( A ) es un submódulo puro de B .

Caracterizaciones equivalentes

La pureza de un submódulo también puede expresarse elemento por elemento; en realidad, es una afirmación sobre la resolubilidad de ciertos sistemas de ecuaciones lineales. En concreto, P es puro en M si y solo si se cumple la siguiente condición: para cualquier matriz m por n ( a _ij ) con elementos en R , y cualquier conjunto y ₁ , ..., y _m de elementos de P , si existen elementos x ₁ , ..., x _n en M tales que

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}=y_{i}\qquad {\mbox{ for }}i=1,\ldots ,m}$

entonces también existen elementos x ₁ ′, ..., x _n ′ en P tales que

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{ij}x'_{j}=y_{i}\qquad {\mbox{ for }}i=1,\ldots ,m}$

Otra caracterización es: una secuencia es puramente exacta si y solo si es el colimite filtrado (también conocido como límite directo ) de secuencias exactas divididas.

${\displaystyle 0\longrightarrow A_{i}\longrightarrow B_{i}\longrightarrow C_{i}\longrightarrow 0.}$^[1]

Ejemplos

• Todo sumando directo de M es puro en M. En consecuencia, todo subespacio de un espacio vectorial sobre un cuerpo es puro.

Propiedades

Supongamos ^[2]

${\displaystyle 0\longrightarrow A\,\ {\stackrel {f}{\longrightarrow }}\ B\,\ {\stackrel {g}{\longrightarrow }}\ C\longrightarrow 0}$

es una secuencia corta y exacta de R -módulos, entonces:

1. C es un módulo plano si y solo si la secuencia exacta es puramente exacta para cada A y B. De esto podemos deducir que sobre un anillo regular de von Neumann , cada submódulo de cada módulo R es puro. Esto se debe a que cada módulo sobre un anillo regular de von Neumann es plano. La inversa también es cierta. ^[3]
2. Supongamos que B es plano. Entonces la sucesión es exacta pura si y sólo si C es plano. De esto se puede deducir que los submódulos puros de los módulos planos son planos.
3. Supongamos que C es plano. Entonces B es plano si y sólo si A es plano.

Si es puramente exacto, y F es un módulo R finitamente presentado , entonces todo homomorfismo de F a C puede elevarse a B , es decir, para cada u  : F → C existe v  : F → B tal que gv = u . ${\displaystyle 0\longrightarrow A\,\ {\stackrel {f}{\longrightarrow }}\ B\,\ {\stackrel {g}{\longrightarrow }}\ C\longrightarrow 0}$

Referencias

1. Para los grupos abelianos, esto se demuestra en Fuchs (2015, cap. 5, tem. 3.4)
2. Lam 1999, pág. 154.
3. Lam 1999, pág. 162.

• Fuchs, László (2015), Grupos abelianos , Springer Monographs in Mathematics, Springer, ISBN 9783319194226

• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lecciones sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas n.º 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, Sr.  1653294