En álgebra , un anillo de división , también llamado campo sesgado , es un anillo no trivial en el que se define la división por elementos distintos de cero. Específicamente, es un anillo no trivial [1] en el que cada elemento a distinto de cero tiene un inverso multiplicativo , es decir, un elemento generalmente denotado como –1 , tal que a a –1 = a –1 a = 1 . Entonces, la división (derecha) puede definirse como a / b = a b –1 , pero se evita esta notación, ya que se puede tener a b –1 ≠ b –1 a .
Un anillo de división conmutativo es un campo . El pequeño teorema de Wedderburn afirma que todos los anillos de división finitos son conmutativos y, por tanto, campos finitos .
Históricamente, los anillos de división a veces se denominaban campos, mientras que los campos se denominaban "campos conmutativos". [5] En algunos idiomas, como el francés , la palabra equivalente a "campo" ("cuerpo") se utiliza tanto para los casos conmutativos como para los no conmutativos, y la distinción entre los dos casos se hace añadiendo calificativos como "cuerpo conmutativo". (campo conmutativo) o "corps gauche" (campo sesgado).
Todos los anillos de división son simples . Es decir, no tienen un ideal bilateral además del ideal cero y de sí mismo.
Todos los campos son anillos de división y cada anillo de división que no es de campo es no conmutativo. El ejemplo más conocido es el anillo de cuaterniones . Si en la construcción de los cuaterniones sólo se permiten coeficientes racionales en lugar de reales , se obtiene otro anillo de división. En general, si R es un anillo y S es un módulo simple sobre R , entonces, según el lema de Schur , el anillo de endomorfismo de S es un anillo de división; [6] cada anillo de división surge de esta manera a partir de algún módulo simple.
Gran parte del álgebra lineal puede formularse, y sigue siendo correcta, para módulos sobre un anillo de división D en lugar de espacios vectoriales sobre un campo. Al hacerlo, se debe especificar si se están considerando módulos derechos o izquierdos, y se necesita cierto cuidado para distinguir adecuadamente los módulos izquierdo y derecho en las fórmulas. En particular, cada módulo tiene una base y se puede utilizar la eliminación gaussiana . Entonces, todo lo que se puede definir con estas herramientas funciona en álgebras de división. Las matrices y sus productos se definen de manera similar. [ cita necesaria ] Sin embargo, una matriz que es invertible a la izquierda no necesita ser invertible a la derecha y, si lo es, su inversa derecha puede diferir de su inversa izquierda. (Ver Inversa generalizada § Inversa unilateral ).
Los determinantes no se definen sobre álgebras de división no conmutativas, y todo lo que requiera este concepto no puede generalizarse a álgebras de división no conmutativas.
Trabajando en coordenadas, los elementos de un módulo derecho de dimensión finita se pueden representar mediante vectores de columna, que se pueden multiplicar a la derecha por escalares y a la izquierda por matrices (que representan mapas lineales); para los elementos de un módulo izquierdo de dimensión finita, se deben utilizar vectores de fila, que se pueden multiplicar a la izquierda por escalares y a la derecha, por matrices. El dual de un módulo derecho es un módulo izquierdo y viceversa. La transpuesta de una matriz debe verse como una matriz sobre el anillo de división opuesto D op para que la regla ( AB ) T = B T A T siga siendo válida.
Cada módulo sobre un anillo de división es libre ; es decir, tiene una base, y todas las bases de un módulo tienen la misma cantidad de elementos . Los mapas lineales entre módulos de dimensión finita sobre un anillo de división pueden describirse mediante matrices ; El hecho de que los mapas lineales, por definición, conmutan con la multiplicación escalar se representa más convenientemente en notación escribiéndolos en el lado opuesto de los vectores como lo están los escalares. El algoritmo de eliminación gaussiano sigue siendo aplicable. El rango de columna de una matriz es la dimensión del módulo derecho generado por las columnas, y el rango de fila es la dimensión del módulo izquierdo generado por las filas; Se puede utilizar la misma prueba que para el caso del espacio vectorial para demostrar que estos rangos son los mismos y definir el rango de una matriz.
Los anillos de división son los únicos anillos sobre los cuales cada módulo está libre: un anillo R es un anillo de división si y sólo si cada módulo R está libre . [7]
El centro de un anillo de división es conmutativo y por tanto un campo. [8] Cada anillo de división es, por tanto, un álgebra de división sobre su centro. Los anillos de división se pueden clasificar aproximadamente según si son o no de dimensión finita o infinita en sus centros. Los primeros se denominan centralmente finitos y los segundos centralmente infinitos . Todo campo es unidimensional sobre su centro. El anillo de cuaterniones hamiltonianos forma un álgebra de cuatro dimensiones sobre su centro, que es isomorfo a los números reales.
Pequeño teorema de Wedderburn : Todos los anillos de división finitos son conmutativos y, por tanto, campos finitos . ( Ernst Witt dio una demostración sencilla.)
Teorema de Frobenius : Las únicas álgebras de división asociativa de dimensión finita sobre los reales son los propios reales, los números complejos y los cuaterniones .
Los anillos de división solían llamarse "campos" en un uso más antiguo. En muchos idiomas, se utiliza una palabra que significa "cuerpo" para los anillos de división, en algunos idiomas para designar anillos de división conmutativos o no conmutativos, mientras que en otros designa específicamente anillos de división conmutativos (lo que ahora llamamos campos en inglés). Una comparación más completa se encuentra en el artículo sobre campos .
El nombre "campo sesgado" tiene una característica semántica interesante : un modificador (aquí "sesgo") amplía el alcance del término base (aquí "campo"). Por tanto, un campo es un tipo particular de campo sesgado y no todos los campos sesgados son campos.
Si bien se supone que los anillos de división y las álgebras analizadas aquí tienen multiplicación asociativa, las álgebras de división no asociativas, como los octoniones , también son de interés.
Un campo cercano es una estructura algebraica similar a un anillo de división, excepto que tiene sólo una de las dos leyes distributivas .
