La identidad de Hua

Fórmula que relaciona pares de elementos en un anillo de división

En álgebra, la identidad de Hua ^[1], que lleva el nombre de Hua Luogeng, establece que para cualquier elemento a , b en un anillo de división , siempre que . Reemplazando por se obtiene otra forma equivalente de la identidad: $${\displaystyle a-\left(a^{-1}+\left(b^{-1}-a\right)^{-1}\right)^{-1}=aba}$$ ${\displaystyle ab\neq 0,1}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle -b^{-1}}$ $${\displaystyle \left(a+ab^{-1}a\right)^{-1}+(a+b)^{-1}=a^{-1}.}$$

Teorema de Hua

La identidad se utiliza en una prueba del teorema de Hua ^[2] , que establece que si es una función entre anillos de división que satisface entonces es un homomorfismo o un antihomomorfismo . Este teorema está conectado con el teorema fundamental de la geometría proyectiva . ${\displaystyle \sigma }$ $${\displaystyle \sigma (a+b)=\sigma (a)+\sigma (b),\quad \sigma (1)=1,\quad \sigma (a^{-1})=\sigma (a)^{-1},}$$ ${\displaystyle \sigma }$

Prueba de la identidad

Uno tiene $${\displaystyle (a-aba)\left(a^{-1}+\left(b^{-1}-a\right)^{-1}\right)=1-ab+ab\left(b^{-1}-a\right)\left(b^{-1}-a\right)^{-1}=1.}$$

La prueba es válida en cualquier anillo siempre que sean unidades . ^[3] ${\displaystyle a,b,ab-1}$

Referencias

1. Cohn 2003, §9.1
2. Cohn 2003, Teorema 9.1.3
3. Jacobson 2009, § 2.2. Ejercicio 9.

• Cohn, Paul M. (2003). Álgebra adicional y aplicaciones (edición revisada de Álgebra, 2.ª ed.). Londres: Springer-Verlag . ISBN 1-85233-667-6.Zbl1006.00001  .​
• Jacobson, Nathan (2009). Álgebra básica . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-47189-1.OCLC 294885194  .