El pequeño teorema de Wedderburn

Resultado en álgebra

En matemáticas , el pequeño teorema de Wedderburn establece que todo anillo de división finito es un cuerpo . En otras palabras, para los anillos finitos , no hay distinción entre dominios , anillos de división y cuerpos.

El teorema de Artin-Zorn generaliza el teorema a anillos alternativos : cada anillo de división alternativa finito es un cuerpo. ^[1]

Historia

La prueba original fue presentada por Joseph Wedderburn en 1905, ^[2] quien luego demostró el teorema de otras dos maneras. Otra prueba fue presentada por Leonard Eugene Dickson poco después de la prueba original de Wedderburn, y Dickson reconoció la prioridad de Wedderburn. Sin embargo, como se señala en (Parshall 1983), la primera prueba de Wedderburn era incorrecta –tenía un vacío– y sus pruebas posteriores aparecieron solo después de haber leído la prueba correcta de Dickson. Sobre esta base, Parshall sostiene que a Dickson se le debe atribuir la primera prueba correcta.

Una versión simplificada de la prueba fue dada posteriormente por Ernst Witt . ^[2] La prueba de Witt se esboza a continuación. Alternativamente, el teorema es una consecuencia del teorema de Skolem-Noether por el siguiente argumento. ^[3] Sea un álgebra de división finita con centro . Sea y denote la cardinalidad de . Todo subcuerpo maximalista de tiene elementos; por lo tanto, son isomorfos y, por lo tanto, son conjugados por Skolem-Noether. Pero un grupo finito (el grupo multiplicativo de en nuestro caso) no puede ser una unión de conjugados de un subgrupo propio; por lo tanto, . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle [D:k]=n^{2}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle q^{n}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle n=1}$

Una prueba " teórica de grupos " posterior fue dada por Ted Kaczynski en 1964. ^[4] Esta prueba, el primer escrito matemático publicado de Kaczynski, era una nota breve de dos páginas que también reconocía las pruebas históricas anteriores.

Relación con el grupo de Brauer de un cuerpo finito

El teorema es esencialmente equivalente a decir que el grupo de Brauer de un cuerpo finito es trivial. De hecho, esta caracterización produce inmediatamente una prueba del teorema como sigue: sea K un cuerpo finito. Como el cociente de Herbrand se anula por finitud, coincide con , que a su vez se anula por Hilbert 90 . ${\displaystyle \operatorname {Br} (K)=H^{2}(K^{\text{al}}/K)}$ ${\displaystyle H^{1}(K^{\text{al}}/K)}$

La trivialidad del grupo de Brauer también se puede obtener por cálculo directo, como sigue. Sea y sea una extensión finita de grado tal que Entonces es un grupo cíclico de orden y el método estándar de cálculo de la cohomología de grupos cíclicos finitos muestra que donde la función normativa está dada por Tomando como un generador del grupo cíclico encontramos que tiene orden y por lo tanto debe ser un generador de . Esto implica que es sobreyectiva y, por lo tanto, es trivial. ${\displaystyle |K|=q,}$ ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle |L|=q^{n}.}$ ${\displaystyle \mathrm {Gal} (L/K)}$ ${\displaystyle n,}$ $${\displaystyle H^{2}(L/K)=K^{\times }/N_{L/K}(L^{\times }),}$$ ${\displaystyle N_{L/K}:L^{\times }\to K^{\times }}$ $${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )=\prod _{\sigma \in \mathrm {Gal} (L/K)}\sigma (\alpha )=\alpha \cdot \alpha ^{q}\cdot \alpha ^{q^{2}}\cdots \alpha ^{q^{n-1}}=\alpha ^{\frac {q^{n}-1}{q-1}}.}$$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L^{\times },}$ ${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )}$ ${\displaystyle q-1,}$ ${\displaystyle K^{\times }}$ ${\displaystyle N_{L/K}}$ ${\displaystyle H^{2}(L/K)}$

Prueba

Sea A un dominio finito. Para cada x distinto de cero en A , las dos aplicaciones

${\displaystyle a\mapsto ax,a\mapsto xa:A\to A}$

son inyectivas por la propiedad de cancelación y, por lo tanto, sobreyectivas por conteo. De la teoría elemental de grupos ^[5] se deduce que los elementos distintos de cero de forman un grupo bajo multiplicación. Por lo tanto, es un cuerpo sesgado . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Para demostrar que todo cuerpo oblicuo finito es un cuerpo, utilizamos la inducción fuerte sobre el tamaño del cuerpo oblicuo. Por lo tanto, sea un cuerpo oblicuo y supongamos que todos los cuerpos oblicuos que son subconjuntos propios de son cuerpos. Como el centro de es un cuerpo, es un espacio vectorial sobre con dimensión finita . Nuestro objetivo es entonces demostrar que . Si es el orden de , entonces tiene orden . Nótese que debido a que contiene los elementos distintos y , . Para cada uno en que no está en el centro, el centralizador de es claramente un cuerpo oblicuo y, por lo tanto, un cuerpo, por la hipótesis de inducción, y debido a que puede verse como un espacio vectorial sobre y puede verse como un espacio vectorial sobre , tenemos que tiene orden donde divide y es menor que . Viendo , , y como grupos bajo la multiplicación, podemos escribir la ecuación de clase ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Z(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Z(A)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Z(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {q}^{n}}$ ${\displaystyle Z(A)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle q>1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {Z}_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {Z}_{x}}$ ${\displaystyle Z(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {Z}_{x}}$ ${\displaystyle {Z}_{x}}$ ${\displaystyle {q}^{d}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {Z(A)}^{*}}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle {Z}_{x}^{*}}$

${\displaystyle q^{n}-1=q-1+\sum {q^{n}-1 \over q^{d}-1}}$

donde la suma se toma sobre las clases de conjugación no contenidas en , y se definen de modo que para cada clase de conjugación, el orden de para cualquier en la clase es . y ambos admiten factorización polinomial en términos de polinomios ciclotómicos ${\displaystyle {Z(A)}^{*}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {Z}_{x}^{*}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {q}^{d}-1}$ ${\displaystyle {q}^{n}-1}$ ${\displaystyle q^{d}-1}$

${\displaystyle \Phi _{f}(q).}$

Los polinomios ciclotómicos en están en y respetan las siguientes identidades: ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$

${\displaystyle x^{n}-1=\prod _{m|n}\Phi _{m}(x)}$y . ${\displaystyle x^{d}-1=\prod _{m|d}\Phi _{m}(x)}$

Debido a que cada uno es un divisor propio de , ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$divide a ambos y a cada uno en , ${\displaystyle {x}^{n}-1}$ ${\displaystyle {x^{n}-1 \over x^{d}-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$

Así que por la ecuación de clase anterior, se debe dividir , y por lo tanto tomando las normas ${\displaystyle \Phi _{n}(q)}$ ${\displaystyle q-1}$

${\displaystyle |\Phi _{n}(q)|\leq q-1}$.

Para ver que esto obliga a ser , mostraremos ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle |\Phi _{n}(q)|>q-1}$

para utilizar la factorización sobre los números complejos. En la identidad polinómica ${\displaystyle n>1}$

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\prod (x-\zeta ),}$

donde recorre las raíces primitivas -ésimas de la unidad, se establece en y luego toma valores absolutos ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle |\Phi _{n}(q)|=\prod |q-\zeta |.}$

Para , vemos que para cada raíz primitiva -ésima de la unidad , ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle |q-\zeta |>|q-1|}$

debido a la ubicación de , , y en el plano complejo. Por lo tanto ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle |\Phi _{n}(q)|>q-1.}$

Notas

1. Shult, Ernest E. (2011). Puntos y líneas. Caracterización de las geometrías clásicas . Universitext. Berlín: Springer-Verlag . p. 123. ISBN 978-3-642-15626-7.Zbl 1213.51001  .
2. Lam (2001), pág. 204
3. Teorema 4.1 en el capítulo IV de Milne, teoría de campos de clases, http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/cft.html
4. Kaczynski, TJ (junio-julio de 1964). "Otra prueba del teorema de Wedderburn". American Mathematical Monthly . 71 (6): 652–653. doi :10.2307/2312328. JSTOR  2312328.(Enlace a Jstor, requiere iniciar sesión)
5. p. ej., Ejercicio 1-9 en Milne, teoría de grupos, http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/GT.pdf

Referencias

• Parshall, KH (1983). "En busca del teorema del álgebra de división finita y más allá: Joseph HM Wedderburn, Leonard Dickson y Oswald Veblen". Archivos de Historia Internacional de la Ciencia . 33 : 274–99.
• Lam, Tsit-Yuen (2001). Un primer curso sobre anillos no conmutativos . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 131 (2.ª ed.). Springer. ISBN. 0-387-95183-0.

Enlaces externos

• Prueba del teorema de Wedderburn en Planet Math
• Prueba del sistema Mizar : http://mizar.org/version/current/html/weddwitt.html#T38