Teorema 90 de Hilbert

Resultado debido a Kummer sobre extensiones cíclicas de campos que conducen a la teoría de Kummer

En álgebra abstracta , el teorema 90 de Hilbert (o Satz 90 ) es un resultado importante sobre extensiones cíclicas de cuerpos (o una de sus generalizaciones) que conduce a la teoría de Kummer . En su forma más básica, establece que si L / K es una extensión de cuerpos con grupo de Galois cíclico G  = Gal( L / K ) generado por un elemento y si es un elemento de L de norma relativa 1, es decir ${\displaystyle \sigma ,}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle N(a):=a\,\sigma (a)\,\sigma ^{2}(a)\cdots \sigma ^{n-1}(a)=1,}$

entonces existe en L tal que ${\displaystyle b}$

${\displaystyle a=b/\sigma (b).}$

El teorema toma su nombre del hecho de que es el teorema número 90 en el Zahlbericht de David Hilbert (Hilbert 1897, 1998), aunque originalmente se debe a Kummer  (1855, p.213, 1861).

A menudo se le da el nombre a un teorema más general debido a Emmy Noether  (1933), que establece que si L / K es una extensión de Galois finita de campos con un grupo de Galois arbitrario G  = Gal( L / K ), entonces el primer grupo de cohomología de G , con coeficientes en el grupo multiplicativo de L , es trivial:

${\displaystyle H^{1}(G,L^{\times })=\{1\}.}$

Ejemplos

Sea la extensión cuadrática . El grupo de Galois es cíclico de orden 2, su generador actúa por conjugación: ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (i)/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sigma :c+di\mapsto c-di.}$

Un elemento en tiene norma . Un elemento de norma uno corresponde entonces a una solución racional de la ecuación o, en otras palabras, a un punto con coordenadas racionales en el círculo unitario . El teorema 90 de Hilbert establece entonces que cada elemento a de norma uno puede escribirse como ${\displaystyle a=x+yi}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$ ${\displaystyle a\sigma (a)=x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

${\displaystyle a={\frac {c-di}{c+di}}={\frac {c^{2}-d^{2}}{c^{2}+d^{2}}}-{\frac {2cd}{c^{2}+d^{2}}}i,}$

donde es como en la conclusión del teorema, y ​​c y d son ambos números enteros. Esto puede verse como una parametrización racional de los puntos racionales en el círculo unitario. Los puntos racionales en el círculo unitario corresponden a ternas pitagóricas , es decir, ternas de números enteros que satisfacen . ${\displaystyle b=c+di}$ ${\displaystyle (x,y)=(p/r,q/r)}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ${\displaystyle (p,q,r)}$ ${\displaystyle p^{2}+q^{2}=r^{2}}$

Cohomología

El teorema se puede enunciar en términos de cohomología de grupos : si L ^× es el grupo multiplicativo de cualquier extensión de Galois (no necesariamente finita) L de un campo K con el grupo de Galois correspondiente G , entonces

${\displaystyle H^{1}(G,L^{\times })=\{1\}.}$

Específicamente, la cohomología de grupo es la cohomología del complejo cuyas i- cocadenas son funciones arbitrarias de i -tuplas de elementos del grupo al grupo de coeficientes multiplicativos, , con diferenciales definidos en dimensiones por: ${\displaystyle C^{i}(G,L^{\times })=\{\phi :G^{i}\to L^{\times }\}}$ ${\displaystyle d^{i}:C^{i}\to C^{i+1}}$ ${\displaystyle i=0,1}$

${\displaystyle (d^{0}(b))(\sigma )=b/b^{\sigma },\quad {\text{ and }}\quad (d^{1}(\phi ))(\sigma ,\tau )\,=\,\phi (\sigma )\phi (\tau )^{\sigma }/\phi (\sigma \tau ),}$

donde denota la imagen del elemento -módulo bajo la acción del elemento de grupo . Nótese que en el primero de estos hemos identificado una cocadena 0 , con su único valor de imagen . La trivialidad del primer grupo de cohomología es entonces equivalente a que los 1-cociclos sean iguales a los 1-colímites , es decir: ${\displaystyle x^{g}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle \gamma =\gamma _{b}:G^{0}=id_{G}\to L^{\times }}$ ${\displaystyle b\in L^{\times }}$ ${\displaystyle Z^{1}}$ ${\displaystyle B^{1}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}Z^{1}&=&\ker d^{1}&=&\{\phi \in C^{1}{\text{ satisfying }}\,\,\forall \sigma ,\tau \in G\,\colon \,\,\phi (\sigma \tau )=\phi (\sigma )\,\phi (\tau )^{\sigma }\}\\{\text{ is equal to }}\\B^{1}&=&{\text{im }}d^{0}&=&\{\phi \in C^{1}\ \,\colon \,\,\exists \,b\in L^{\times }{\text{ such that }}\phi (\sigma )=b/b^{\sigma }\ \ \forall \sigma \in G\}.\end{array}}}$

Para cíclico , un 1-cociclo está determinado por , con y: ${\displaystyle G=\{1,\sigma ,\ldots ,\sigma ^{n-1}\}}$ ${\displaystyle \phi (\sigma )=a\in L^{\times }}$ ${\displaystyle \phi (\sigma ^{i})=a\,\sigma (a)\cdots \sigma ^{i-1}(a)}$

${\displaystyle 1=\phi (1)=\phi (\sigma ^{n})=a\,\sigma (a)\cdots \sigma ^{n-1}(a)=N(a).}$

Por otra parte, un 1-colímite está determinado por . Al igualarlos se obtiene la versión original del Teorema. ${\displaystyle \phi (\sigma )=b/b^{\sigma }}$

Una generalización adicional es la cohomología con coeficientes no abelianos : si H es el grupo lineal general o especial sobre L , incluyendo , entonces ${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}(L)=L^{\times }}$

${\displaystyle H^{1}(G,H)=\{1\}.}$

Otra generalización es para un esquema X :

${\displaystyle H_{\text{et}}^{1}(X,\mathbb {G} _{m})=H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })=\operatorname {Pic} (X),}$

donde es el grupo de clases de isomorfismo de haces localmente libres de -módulos de rango 1 para la topología de Zariski, y es el haz definido por la línea afín sin el origen considerado como un grupo bajo multiplicación. ^[1] ${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$

Hay otra generalización de la teoría K de Milnor que juega un papel en la prueba de Voevodsky de la conjetura de Milnor .

Prueba

Sea cíclico de grado y genere . Elija cualquiera de las normas ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$ ${\displaystyle a\in L}$

${\displaystyle N(a):=a\sigma (a)\sigma ^{2}(a)\cdots \sigma ^{n-1}(a)=1.}$

Al despejar los denominadores, resolver es lo mismo que demostrar que tiene como valor propio. Extendemos esto a una función de espacios vectoriales mediante ${\displaystyle a=x/\sigma ^{-1}(x)\in L}$ ${\displaystyle a\sigma ^{-1}(\cdot ):L\to L}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\begin{cases}1_{L}\otimes a\sigma ^{-1}(\cdot ):L\otimes _{K}L\to L\otimes _{K}L\\\ell \otimes \ell '\mapsto \ell \otimes a\sigma ^{-1}(\ell ').\end{cases}}}$

El teorema del elemento primitivo da para algún . Dado que tiene polinomio mínimo ${\displaystyle L=K(\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle f(t)=(t-\alpha )(t-\sigma (\alpha ))\cdots \left(t-\sigma ^{n-1}(\alpha )\right)\in K[t],}$

podemos identificar

${\displaystyle L\otimes _{K}L{\stackrel {\sim }{\to }}L\otimes _{K}K[t]/f(t){\stackrel {\sim }{\to }}L[t]/f(t){\stackrel {\sim }{\to }}L^{n}}$

a través de

${\displaystyle \ell \otimes p(\alpha )\mapsto \ell \left(p(\alpha ),p(\sigma \alpha ),\ldots ,p(\sigma ^{n-1}\alpha )\right).}$

Aquí escribimos el segundo factor como un polinomio en . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \alpha }$

Bajo esta identificación, nuestro mapa se convierte en

${\displaystyle {\begin{cases}a\sigma ^{-1}(\cdot ):L^{n}\to L^{n}\\\ell \left(p(\alpha ),\ldots ,p(\sigma ^{n-1}\alpha ))\mapsto \ell (ap(\sigma ^{n-1}\alpha ),\sigma ap(\alpha ),\ldots ,\sigma ^{n-1}ap(\sigma ^{n-2}\alpha )\right).\end{cases}}}$

Es decir bajo este mapa

${\displaystyle (\ell _{1},\ldots ,\ell _{n})\mapsto (a\ell _{n},\sigma a\ell _{1},\ldots ,\sigma ^{n-1}a\ell _{n-1}).}$

${\displaystyle (1,\sigma a,\sigma a\sigma ^{2}a,\ldots ,\sigma a\cdots \sigma ^{n-1}a)}$es un vector propio con valor propio si y solo si tiene norma . ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 1}$

Referencias

1. Milne, James S. (2013). "Conferencias sobre cohomología étale (v2.21)" (PDF) . pág. 80.

• Hilbert, David (1897), "Die Theorie der algebraischen Zahlkörper", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (en alemán), 4 : 175–546, ISSN  0012-0456
• Hilbert, David (1998), La teoría de los campos numéricos algebraicos, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62779-1, Sr.  1646901
• Kummer, Ernst Eduard (1855), "Über eine besondere Art, aus complexen Einheiten gebildeter Ausdrücke.", Journal für die reine und angewandte Mathematik (en alemán), 50 : 212–232, doi :10.1515/crll.1855.50.212, ISSN  0075-4102
• Kummer, Ernst Eduard (1861), "Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist", Abdruck aus den Abhandlungen der Kgl. Akademie der Wissenschaften zu Berlin (en alemán), reimpreso en el volumen 1 de sus obras completas, páginas 699–839
• Capítulo II de JS Milne, Class Field Theory , disponible en su sitio web [1].
• Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alejandro; Wingberg, Kay (2000), Cohomología de campos numéricos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , vol. 323, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR  1737196, Zbl  0948.11001
• Noether, Emmy (1933), "Der Hauptgeschlechtssatz für relativ-galoissche Zahlkörper.", Mathematische Annalen (en alemán), 108 (1): 411–419, doi :10.1007/BF01452845, ISSN  0025-5831, Zbl  0007.29501
• Snaith, Victor P. (1994), Estructura del módulo de Galois , monografías del Fields Institute, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0264-X, Zbl0830.11042 ​

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