Categoría accesible

La teoría de categorías accesibles es parte de las matemáticas , específicamente de la teoría de categorías . Intenta describir categorías en términos del "tamaño" (un número cardinal ) de las operaciones necesarias para generar sus objetos.

La teoría se origina en el trabajo de Grothendieck completado en 1969, ^[1] y Gabriel y Ulmer (1971). ^[2] Ha sido desarrollado aún más en 1989 por Michael Makkai y Robert Paré, con la motivación proveniente de la teoría de modelos , una rama de la lógica matemática . ^[3] En 1994 apareció un libro de texto estándar de Adámek y Rosický. ^[4] Las categorías accesibles también tienen aplicaciones en la teoría de la homotopía . ^{[5] [6]} Grothendieck continuó el desarrollo de la teoría con fines teóricos de la homotopía en su manuscrito de 1991 (aún parcialmente inédito) Les dérivateurs . ^[7] Algunas propiedades de categorías accesibles dependen del universo establecido en uso, particularmente de las propiedades cardinales y el principio de Vopěnka . ^[8]

κ -colimits dirigidos y κ -objetos presentables

Sea un cardinal regular infinito , es decir, un número cardinal que no es la suma de un número menor de cardinales menores; ejemplos son ( aleph-0 ), el primer número cardinal infinito, y , el primer cardinal incontable). Un conjunto parcialmente ordenado se llama -dirigido si cada subconjunto de cardinalidad menor que tiene un límite superior en . En particular, los conjuntos dirigidos ordinarios son precisamente los conjuntos dirigidos. ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Ahora sea una categoría . Un límite directo (también conocido como colimit dirigido) sobre un conjunto dirigido se llama colimit dirigido . Un objeto de se llama -presentable si el funtor Hom conserva todos los colimits dirigidos en . Está claro que todo objeto presentable también lo es cuando sea , ya que todo colimit dirigido también es un colimit dirigido en ese caso. Un objeto presentable se llama finitamente presentable . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,-)}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa '}$ ${\displaystyle \kappa \leq \kappa '}$ ${\displaystyle \kappa '}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Ejemplos

• En la categoría Conjunto de todos los conjuntos, los objetos finitamente presentables coinciden con los conjuntos finitos. Los objetos presentables son los conjuntos de cardinalidad menores que . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$
• En la categoría de todos los grupos , un objeto es finitamente presentable si y sólo si es un grupo finitamente presentado , es decir, si tiene una presentación con un número finito de generadores y un número finito de relaciones. Para incontables regulares , los objetos presentables son precisamente los grupos con cardinalidad menor que . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$
• En la categoría de módulos ${\displaystyle R}$ izquierdos sobre algún anillo (unitario, asociativo) , los objetos finitamente presentables son precisamente los módulos finitamente presentados . ${\displaystyle R}$

κ -categorías accesibles y presentables localmente

La categoría se denomina accesible siempre que: ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \kappa }$

• ${\displaystyle C}$tiene colimites totalmente dirigidos ${\displaystyle \kappa }$
• ${\displaystyle C}$contiene un conjunto de objetos presentables tales que cada objeto de es un colimit dirigido de objetos de . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle P}$

Una categoría accesible se llama finitamente accesible . Una categoría se llama accesible si es accesible para algún cardinal regular infinito . Cuando una categoría accesible también es cocompleta , se llama localmente presentable . ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

Un functor entre categorías accesibles se denomina accesible siempre que conserve los colimits dirigidos. ${\displaystyle F:C\to D}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \kappa }$

Ejemplos

• La categoría Conjunto de todos los conjuntos y funciones es localmente finitamente presentable, ya que cada conjunto es el límite directo de sus subconjuntos finitos, y los conjuntos finitos son finitamente presentables.
• La categoría -Mod de (izquierda) -módulos es localmente presentable de forma finita para cualquier anillo . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$
• La categoría de conjuntos simpliciales es finitamente accesible.
• La categoría Mod(T) de modelos de alguna teoría de primer orden T con firma contable es accesible. -los objetos presentables son modelos con un número contable de elementos. ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$
• Otros ejemplos de categorías localmente presentables son las categorías algebraicas finitas (es decir, las categorías correspondientes a variedades de álgebras en el álgebra universal ) y las categorías de Grothendieck .

Teoremas

Se puede demostrar que todas las categorías localmente presentables también están completas . ^[9] Además, una categoría es localmente presentable si y sólo si es equivalente a la categoría de modelos de un boceto límite . ^[10]

Los functores adjuntos entre categorías localmente presentables tienen una caracterización particularmente simple. Un funtor entre categorías localmente presentables: ${\displaystyle F:C\to D}$

• es un adjunto izquierdo si y sólo si conserva colimits pequeños,
• es un adjunto derecho si y sólo si conserva pequeños límites y es accesible.

Notas

1. Grothendieck, Alejandro; et al. (1972), Théorie des Topos et Cohomologie Étale des Schémas , Lecture Notes in Mathematics 269, Springer
2. Gabriel, P; Ulmer, F (1971), Lokal Präsentierbare Kategorien , Lecture Notes in Mathematics 221, Springer
3. Mekai, Michael; Paré, Robert (1989), Categorías accesibles: los fundamentos de la teoría del modelo categórico , Matemáticas contemporáneas, AMS, ISBN 0-8218-5111-X
4. Adamek/Rosický 1994
5. J. Rosický "Sobre categorías de modelos combinatorios", arXiv , 16 de agosto de 2007. Recuperado el 19 de enero de 2008.
6. Rosický, J. "Inyectividad y categorías accesibles". Cubo Matem. Educación 4 (2002): 201-211.
7. Grothendieck, Alexander (1991), Les dérivateurs , Matemáticas contemporáneas, manuscrito(Les Dérivateurs: Texte d'Alexandre Grothendieck. Édité par M. Künzer, J. Malgoire, G. Maltsiniotis)
8. Adamek/Rosický 1994, capítulo 6
9. Adamek/Rosický 1994, observación 1,56
10. Adamek/Rosický 1994, corolario 1,52

Referencias

• Adámek, Jiří; Rosický, Jiří (1994), Categorías accesibles y presentables localmente , LNM Lecture Notes, Cambridge University Press, ISBN 0-521-42261-2