Ramificación (matemáticas)

Ramificarse a partir de una estructura matemática

Representación esquemática de la ramificación: las fibras de casi todos los puntos en Y a continuación constan de tres puntos, excepto dos puntos en Y marcados con puntos, donde las fibras constan de uno y dos puntos (marcados en negro), respectivamente. Se dice que el mapa f está ramificado en estos puntos de Y.

En geometría , la ramificación es una "ramificación", del mismo modo que se puede ver que la función de raíz cuadrada , para números complejos , tiene dos ramas que difieren en signo. El término también se utiliza desde la perspectiva opuesta (ramas que se juntan), como cuando un mapa de cobertura degenera en un punto de un espacio, con cierto colapso de las fibras del mapeo.

En análisis complejos

Usando la superficie de Riemann de la raíz cuadrada

En análisis complejo , el modelo básico puede tomarse como el mapeo z  →  zn en el plano complejo, cerca de  z  = 0. Esta es la imagen local estándar en la ^teoría de superficies de Riemann , de ramificación de orden  n . Ocurre, por ejemplo, en la fórmula de Riemann-Hurwitz para el efecto de las asignaciones en el género .

En topología algebraica

En un mapa de cobertura, la característica de Euler-Poincaré debe multiplicarse por el número de hojas; Por lo tanto, la ramificación puede detectarse mediante algunas caídas de eso. El mapeo z →  z ⁿ muestra esto como un patrón local: si excluimos 0, mirando 0 < | z | < 1 digamos, tenemos (desde el punto de vista de la homotopía ) el círculo asignado a sí mismo por el n -ésimo mapa de potencia (característica de Euler-Poincaré 0), pero con todo el disco la característica de Euler-Poincaré es 1, n  – 1 siendo los puntos 'perdidos' cuando las n hojas se juntan en  z  = 0.

En términos geométricos, la ramificación es algo que ocurre en la codimensión dos (como la teoría de nudos y la monodromía ); Dado que la codimensión dos real es la codimensión uno compleja , el ejemplo complejo local establece el patrón para variedades complejas de dimensiones superiores . En un análisis complejo, las hojas no pueden simplemente plegarse a lo largo de una línea (una variable) o codimensionar un subespacio en el caso general. El conjunto de ramificación (lugar de la rama en la base, punto doble establecido arriba) será dos dimensiones reales más bajo que la variedad ambiental y, por lo tanto, no lo separará localmente en dos 'lados'; habrá caminos que trazarán alrededor del lugar de la rama. , tal como en el ejemplo. En geometría algebraica sobre cualquier cuerpo , por analogía, también ocurre en codimensión algebraica uno.

En teoría algebraica de números

En extensiones algebraicas de los números racionales.

Ramificación en teoría algebraica de números significa factorizar un ideal primo en una extensión para dar algunos factores ideales primos repetidos. Es decir, sea el anillo de números enteros de un campo numérico algebraico y un ideal primo de . Para una extensión de campo podemos considerar el anillo de números enteros (que es la clausura integral de in ) y el ideal de . Este ideal puede ser primo o no, pero para finito , tiene una factorización en ideales primos: ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle [L:K]}$

${\displaystyle {\mathfrak {p}}\cdot {\mathcal {O}}_{L}={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{e_{k}}}$

donde son ideales primos distintos de . Entonces se dice que se ramifica en si para algunos ; de lo contrario es ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle e_{i}>1}$ ${\displaystyle i}$no ramificado . En otras palabras,se ramificasi elíndice de ramificaciónes mayor que uno para algunos. Una condición equivalente es quenilpotentedistinto de cero: no es producto decampos finitos. La analogía con el caso de la superficie de Riemann ya fue señalada porRichard DedekindyHeinrich M. Weberen el siglo XIX. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}}$

La ramificación está codificada por el discriminante relativo y por el diferente relativo . El primero es un ideal de y es divisible por si y sólo si algún ideal de división está ramificado. Este último es un ideal de y es divisible por el ideal primo de precisamente cuando se ramifica. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$

La ramificación es moderada cuando todos los índices de ramificación son relativamente primos con respecto a la característica del residuo p de , de lo contrario, salvaje . Esta condición es importante en la teoría del módulo de Galois . Una extensión finita genéricamente étale de los dominios de Dedekind es dócil si y sólo si la traza es sobreyectiva. ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle B/A}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} :B\to A}$

En campos locales

El análisis más detallado de la ramificación en campos numéricos se puede realizar utilizando extensiones de los números p-ádicos , porque es una cuestión local . En ese caso se define una medida cuantitativa de ramificación para las extensiones de Galois , básicamente preguntando hasta qué punto el grupo de Galois mueve los elementos del campo con respecto a la métrica. Se define una secuencia de grupos de ramificación , cosificando (entre otras cosas) la ramificación salvaje (no domesticada). Esto va más allá de la analogía geométrica.

en álgebra

En teoría de la valoración , la teoría de la ramificación de las valoraciones estudia el conjunto de extensiones de una valoración de un campo K a un campo de extensión de K. Esto generaliza las nociones de la teoría algebraica de números, los campos locales y los dominios de Dedekind.

En geometría algebraica

También existe la noción correspondiente de morfismo no ramificado en geometría algebraica. Sirve para definir morfismos étale .

Sea un morfismo de esquemas. El soporte de la gavilla cuasicoherente se llama lugar de ramificación de y la imagen del lugar de ramificación, se llama lugar de rama de . Si decimos que no está formalmente ramificado y si también tiene una presentación localmente finita, decimos que no está ramificado (ver Vakil 2017). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \Omega _{X/Y}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\left(\operatorname {Supp} \Omega _{X/Y}\right)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Omega _{X/Y}=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Ver también

• polinomio de Eisenstein
• polígono de newton
• Ampliación de Puiseux
• Cobertura ramificada

Referencias

• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . vol. 322. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. SEÑOR  1697859. Zbl  0956.11021.
• Vakil, Ravi (18 de noviembre de 2017). The Rising Sea: Fundamentos de la geometría algebraica (PDF) . Consultado el 5 de junio de 2019 .

enlaces externos

• "División y ramificación en campos numéricos y extensiones de Galois". PlanetMath .