Extensión trascendental

Extensión de campo que no es algebraica

En matemáticas , una extensión trascendental es una extensión de campo tal que existe un elemento en el campo que es trascendental sobre el campo ; es decir, un elemento que no es raíz de ningún polinomio univariado con coeficientes en . En otras palabras, una extensión trascendental es una extensión de campo que no es algebraica . Por ejemplo, y son ambas extensiones trascendentales de ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Una base de trascendencia de una extensión de campo (o una base de trascendencia de over ) es un subconjunto algebraicamente independiente máximo de over. Las bases de trascendencia comparten muchas propiedades con bases de espacios vectoriales . En particular, todas las bases de trascendencia de una extensión de campo tienen la misma cardinalidad , llamada grado de trascendencia de la extensión. Por tanto, una extensión de campo es una extensión trascendental si y sólo si su grado de trascendencia es distinto de cero. ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K.}$

Las extensiones trascendentales se utilizan ampliamente en geometría algebraica . Por ejemplo, la dimensión de una variedad algebraica es el grado de trascendencia de su campo funcional . Además, los campos de funciones globales son extensiones trascendentales de grado uno de un campo finito , y desempeñan en la teoría de números en característica positiva un papel que es muy similar al papel de los campos numéricos algebraicos en característica cero.

Base de trascendencia

El lema de Zorn muestra que existe un subconjunto máximo linealmente independiente de un espacio vectorial (es decir, una base). Un argumento similar con el lema de Zorn muestra que, dada una extensión de campo L / K , existe un subconjunto algebraicamente independiente máximo de L sobre K. ^[1] Entonces se le llama base de trascendencia . Por maximalidad, un subconjunto algebraicamente independiente S de L sobre K es una base de trascendencia si y sólo si L es una extensión algebraica de K ( S ), el campo obtenido al unir los elementos de S a K.

El lema de intercambio (una versión para conjuntos algebraicamente independientes ^[2] ) implica que si S y S' son bases de trascendencia, entonces S y S' tienen la misma cardinalidad . Entonces, la cardinalidad común de las bases de trascendencia se denomina grado de trascendencia de L sobre K y se denota como o . Hay entonces una analogía: una base de trascendencia y un grado de trascendencia, por un lado, y una base y una dimensión, por el otro. Esta analogía puede hacerse más formal observando que la independencia lineal en espacios vectoriales y la independencia algebraica en extensiones de campo forman ejemplos de matroides finitas ( pregeometrías ). Cualquier matroide finita tiene una base y todas las bases tienen la misma cardinalidad. ^[3] ${\displaystyle \operatorname {tr.deg.} _{K}L}$ ${\displaystyle \operatorname {tr.deg.} (L/K)}$

Si G es un conjunto generador de L (es decir, L = K ( G )), entonces una base de trascendencia para L puede tomarse como un subconjunto de G. En particular, la cardinalidad mínima de los grupos electrógenos de L sobre K. En particular, una extensión de campo generada finitamente admite una base de trascendencia finita. ${\displaystyle \operatorname {tr.deg.} _{K}L\leq }$

Si no se especifica ningún campo K , el grado de trascendencia de un campo L es su grado relativo a algún campo de base fija; por ejemplo, el campo primo de la misma característica , o K , si L es un campo de función algebraica sobre K.

La extensión de campo L / K es puramente trascendental si hay un subconjunto S de L que es algebraicamente independiente de K y tal que L = K ( S ).

Una base de trascendencia separable de L / K es una base de trascendencia S tal que L es una extensión algebraica separable sobre K ( S ). Se dice que una extensión de campo L / K se genera separablemente si admite una base de trascendencia separativa. ^[4] Si una extensión de campo se genera de forma finita y también se genera de forma separable, entonces cada conjunto generador de la extensión de campo contiene una base de trascendencia separadora. ^[5] Sobre un campo perfecto , cada extensión de campo generada finitamente se genera de forma separable; es decir, admite una base de trascendencia separadora finita. ^[6]

Ejemplos

• Una extensión es algebraica si y sólo si su grado de trascendencia es 0; el conjunto vacío sirve aquí como base de trascendencia.
• El campo de funciones racionales en n variables K ( x ₁ ,..., x _n ) (es decir, el campo de fracciones del anillo polinómico K [ x ₁ ,..., x _n ]) es una extensión puramente trascendental con trascendencia grado n sobre K ; podemos por ejemplo tomar { x ₁ ,..., x _n } como base de trascendencia.
• De manera más general, el grado de trascendencia del campo funcional L de una variedad algebraica de n dimensiones sobre un campo fundamental K es n .
• Q ( √2 , e ) tiene grado de trascendencia 1 sobre Q porque √2 es algebraico mientras que e es trascendental .
• El grado de trascendencia de C o R sobre Q es la cardinalidad del continuo . (Dado que Q es contable, el campo Q ( S ) tendrá la misma cardinalidad que S para cualquier conjunto infinito S , y cualquier extensión algebraica de Q ( S ) volverá a tener la misma cardinalidad.)
• El grado de trascendencia de Q ( e , π ) sobre Q es 1 o 2; se desconoce la respuesta precisa porque no se sabe si e y π son algebraicamente independientes.
• Si S es una superficie compacta de Riemann , el campo C ( S ) de funciones meromorfas en S tiene grado de trascendencia 1 sobre C.

Hechos

Si M / L y L / K son extensiones de campo, entonces

trdeg( M / K ) = trdeg( M / L ) + trdeg( L / K )

Esto se prueba mostrando que se puede obtener una base de trascendencia de M / K tomando la unión de una base de trascendencia de M / L y una de L / K .

Si el conjunto S es algebraicamente independiente respecto de K, entonces el campo K ( S ) es isomorfo al campo de funciones racionales sobre K en un conjunto de variables de la misma cardinalidad que S. Cada una de esas funciones racionales es una fracción de dos polinomios en un número finito de esas variables, con coeficientes en K.

Dos campos algebraicamente cerrados son isomorfos si y sólo si tienen la misma característica y el mismo grado de trascendencia sobre su campo primo. ^[7]

El grado de trascendencia de un dominio integral.

Sean dominios integrales . Si y denotan los campos de fracciones de A y B , entonces el grado de trascendencia de B sobre A se define como el grado de trascendencia de la extensión del campo. ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle Q(A)}$ ${\displaystyle Q(B)}$ ${\displaystyle Q(B)/Q(A).}$

El lema de normalización de Noether implica que si R es un dominio integral que es un álgebra generada finitamente sobre un campo k , entonces la dimensión de Krull de R es el grado de trascendencia de R sobre k .

Esto tiene la siguiente interpretación geométrica: si X es una variedad algebraica afín sobre un campo k , la dimensión de Krull de su anillo de coordenadas es igual al grado de trascendencia de su campo funcional , y esto define la dimensión de X. De ello se deduce que, si X no es una variedad afín, su dimensión (definida como el grado de trascendencia de su campo funcional) también puede definirse localmente como la dimensión de Krull del anillo de coordenadas de la restricción de la variedad a un subconjunto afín abierto.

Relaciones con diferenciales

Sea una extensión de campo generada finitamente. Entonces ^[8] ${\displaystyle K/k}$

${\displaystyle \dim _{k}\Omega _{K/k}\geq \operatorname {trdeg} (k/K).}$

donde denota el módulo de diferenciales de Kahler . Además, en lo anterior, la igualdad se cumple si y sólo si K se genera de forma separable sobre k (lo que significa que admite una base de trascendencia separativa). ${\displaystyle \Omega _{K/k}}$

Aplicaciones

Las bases de trascendencia son útiles para probar varias afirmaciones de existencia sobre homomorfismos de campo . He aquí un ejemplo: Dado un campo algebraicamente cerrado L , un subcampo K y un automorfismo de campo f de K , existe un automorfismo de campo de L que extiende f (es decir, cuya restricción a K es f ). Para la prueba, se comienza con una base de trascendencia S de L / K . Los elementos de K ( S ) son sólo cocientes de polinomios en elementos de S con coeficientes en K ; por lo tanto, el automorfismo f puede extenderse a uno de K ( S ) enviando cada elemento de S a sí mismo. El campo L es la clausura algebraica de K ( S ) y las clausuras algebraicas son únicas hasta el isomorfismo; esto significa que el automorfismo se puede ampliar aún más de K ( S ) a L .

Como otra aplicación, mostramos que hay (muchos) subcampos propios del campo de números complejos C que son (como campos) isomorfos a C. Para la prueba, tome una base de trascendencia S de C / Q . S es un conjunto infinito (incluso incontable), por lo que existen (muchos) mapas f : S → S que son inyectivos pero no sobreyectivos . Cualquier mapa de este tipo puede extenderse a un homomorfismo de campo Q ( S ) → Q ( S ) que no es sobreyectivo. Tal homomorfismo de campo puede a su vez extenderse al cierre algebraico C , y los homomorfismos de campo resultantes C → C no son sobreyectivos.

El grado de trascendencia puede dar una comprensión intuitiva del tamaño de un campo. Por ejemplo, un teorema de Siegel establece que si X es una variedad compacta, conectada y compleja de dimensión n y K ( X ) denota el campo de funciones meromórficas (definidas globalmente) en ella, entonces trdeg _C ( K ( X )) ≤  norte .

Ver también

• Teorema de Lüroth , un teorema sobre extensiones puramente trascendentales de grado uno
• Prórroga ordinaria

Referencias

1. Milne, Teorema 9.13.
2. Milne, Lema 9.6.
3. Joshi, KD (1997), Estructuras discretas aplicadas, New Age International, p. 909, ISBN 9788122408263.
4. Hartshorne 1977, Capítulo I, § 4, justo antes del Teorema 4.7.A
5. Hartshorne 1977, Capítulo I, Teorema 4.7.A
6. Milne, teorema 9.27.
7. Milne, Proposición 9.16.
8. Hartshorne 1977, cap. II, Teorema 8.6. A

• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, SEÑOR  0463157
• Milne, James, Teoría de campos (PDF)
• § 6.3. de Shimura, Goro (1971), Introducción a la teoría aritmética de funciones automórficas , Publicaciones de la Sociedad Matemática de Japón, vol. 11, Tokio: Iwanami Shoten, Zbl  0221.10029