Dominio integral

Anillo conmutativo sin divisores de cero distintos de cero

En matemáticas , un dominio integral es un anillo conmutativo distinto de cero en el que el producto de dos elementos cualesquiera distintos de cero es distinto de cero . ^{[1] [2]} Los dominios integrales son generalizaciones del anillo de números enteros y proporcionan un entorno natural para estudiar la divisibilidad . En un dominio integral, todo elemento a distinto de cero tiene la propiedad de cancelación , es decir, si a ≠ 0 , una igualdad ab = ac implica b = c .

El "dominio integral" se define casi universalmente como se indicó anteriormente, pero existe alguna variación. Este artículo sigue la convención de que los anillos tienen una identidad multiplicativa , generalmente denotada como 1, pero algunos autores no la siguen al no requerir que los dominios integrales tengan una identidad multiplicativa. ^{[3] [4]} A veces se admiten dominios integrales no conmutativos. ^[5] Este artículo, sin embargo, sigue la convención mucho más habitual de reservar el término "dominio integral" para el caso conmutativo y utilizar " dominio " para el caso general que incluye anillos no conmutativos.

Algunas fuentes, en particular Lang , utilizan el término anillo completo para dominio integral. ^[6]

Algunos tipos específicos de dominios integrales se dan con la siguiente cadena de inclusiones de clases :

rngs ⊃ anillos ⊃ anillos conmutativos ⊃ dominios integrales ⊃ dominios integralmente cerrados ⊃ dominios MCD ⊃ dominios de factorización única ⊃ dominios ideales principales ⊃ dominios euclidianos ⊃ campos ⊃ campos algebraicamente cerrados

Definición

Un dominio integral es un anillo conmutativo distinto de cero en el que el producto de dos elementos cualesquiera distintos de cero es distinto de cero. Equivalentemente:

• Un dominio integral es un anillo conmutativo distinto de cero sin divisores de cero distintos de cero .
• Un dominio integral es un anillo conmutativo en el que el ideal cero {0} es un ideal primo .
• Un dominio integral es un anillo conmutativo distinto de cero para el cual cada elemento distinto de cero es cancelable mediante multiplicación.
• Un dominio integral es un anillo para el cual el conjunto de elementos distintos de cero es un monoide conmutativo bajo multiplicación (porque un monoide debe ser cerrado bajo multiplicación).
• Un dominio integral es un anillo conmutativo distinto de cero en el que para cada elemento r distinto de cero , la función que asigna cada elemento x del anillo al producto xr es inyectiva . Los elementos r con esta propiedad se llaman regulares , por lo que equivale a exigir que todo elemento distinto de cero del anillo sea regular.
• Un dominio integral es un anillo que es isomorfo a un subanillo de un campo . (Dado un dominio integral, se puede incluirlo en su campo de fracciones ).

Ejemplos

• El ejemplo arquetípico es el anillo de todos los números enteros . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Cada campo es un dominio integral. Por ejemplo, el campo de todos los números reales es un dominio integral. Por el contrario, todo dominio integral artiniano es un campo. En particular, todos los dominios integrales finitos son campos finitos (de manera más general, según el pequeño teorema de Wedderburn , los dominios finitos son campos finitos ). El anillo de números enteros proporciona un ejemplo de un dominio integral infinito no artiniano que no es un campo y posee infinitas secuencias descendentes de ideales como: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

  ${\displaystyle \mathbb {Z} \supset 2\mathbb {Z} \supset \cdots \supset 2^{n}\mathbb {Z} \supset 2^{n+1}\mathbb {Z} \supset \cdots }$

• Los anillos de polinomios son dominios integrales si los coeficientes provienen de un dominio integral. Por ejemplo, el anillo de todos los polinomios de una variable con coeficientes enteros es un dominio integral; también lo es el anillo de todos los polinomios en n -variables con coeficientes complejos . ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$
• El ejemplo anterior se puede aprovechar aún más tomando cocientes de ideales primos. Por ejemplo, el anillo correspondiente a una curva elíptica plana es un dominio integral. La integralidad se puede comprobar mostrando que es un polinomio irreducible . ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(y^{2}-x(x-1)(x-2))}$ ${\displaystyle y^{2}-x(x-1)(x-2)}$
• El anillo es un dominio integral para cualquier número entero no cuadrado . Si , entonces este anillo es siempre un subanillo de , de lo contrario, es un subanillo de ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n)\cong \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$
• El anillo de enteros p -ádicos es un dominio integral. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$
• El anillo de series de potencias formales de un dominio integral es un dominio integral.
• Si es un subconjunto abierto conexo del plano complejo , entonces el anillo que consta de todas las funciones holomorfas es un dominio integral. Lo mismo ocurre con los anillos de funciones analíticas en subconjuntos abiertos conectados de variedades analíticas . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)}$
• Un anillo local regular es un dominio integral. De hecho, un anillo local normal es un UFD . ^{[7] [8]}

No ejemplos

Los siguientes anillos no son dominios integrales.

• El anillo cero (el anillo en el que ). ${\displaystyle 0=1}$
• El cociente suena cuando m es un número compuesto . De hecho, elija una factorización adecuada (lo que significa que y no son iguales a o ). Entonces y , pero . ${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle m=xy}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x\not \equiv 0{\bmod {m}}}$ ${\displaystyle y\not \equiv 0{\bmod {m}}}$ ${\displaystyle xy\equiv 0{\bmod {m}}}$
• Producto de dos anillos conmutativos distintos de cero. En tal producto , uno tiene . ${\displaystyle R\times S}$ ${\displaystyle (1,0)\cdot (0,1)=(0,0)}$
• El anillo cociente para cualquiera . Las imágenes de y son distintas de cero, mientras que su producto es 0 en este anillo. ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n^{2})}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle x+n}$ ${\displaystyle x-n}$
• El anillo de matrices n × n sobre cualquier anillo distinto de cero cuando n ≥ 2. Si y son matrices tales que la imagen de está contenida en el núcleo de , entonces . Por ejemplo, esto sucede para . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle MN=0}$ ${\displaystyle M=N=({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}})}$
• El anillo de cociente para cualquier campo y cualquier polinomio no constante . Las imágenes de f y g en este anillo cociente son elementos distintos de cero cuyo producto es 0. Este argumento muestra, de manera equivalente, que no es un ideal primo . La interpretación geométrica de este resultado es que los ceros de fg forman un conjunto algebraico afín que no es irreducible (es decir, no es una variedad algebraica ) en general. El único caso en el que este conjunto algebraico puede ser irreducible es cuando fg es una potencia de un polinomio irreducible , que define el mismo conjunto algebraico. ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/(fg)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f,g\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle (fg)}$
• El anillo de funciones continuas en el intervalo unitario . Considere las funciones

  ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1-2x&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\0&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}\qquad g(x)={\begin{cases}0&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\2x-1&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}}$

Ni ni es cero en todas partes, pero lo es. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle fg}$

• El producto tensorial . Este anillo tiene dos idempotentes no triviales , y . Son ortogonales, lo que significa que y por tanto no es un dominio. De hecho, existe un isomorfismo definido por . Su inversa está definida por . Este ejemplo muestra que un producto de fibra de esquemas afines irreducibles no tiene por qué ser irreducible. ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle e_{1}={\tfrac {1}{2}}(1\otimes 1)-{\tfrac {1}{2}}(i\otimes i)}$ ${\displaystyle e_{2}={\tfrac {1}{2}}(1\otimes 1)+{\tfrac {1}{2}}(i\otimes i)}$ ${\displaystyle e_{1}e_{2}=0}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle (z,w)\mapsto z\cdot e_{1}+w\cdot e_{2}}$ ${\displaystyle z\otimes w\mapsto (zw,z{\overline {w}})}$

Divisibilidad, elementos primos y elementos irreducibles.

En esta sección, R es un dominio integral.

Dados los elementos a y b de R , se dice que a divide a b , o que a es divisor de b , o que b es múltiplo de a , si existe un elemento x en R tal que ax = b .

Las unidades de R son los elementos que dividen a 1; estos son precisamente los elementos invertibles en R . Las unidades dividen todos los demás elementos.

Si a divide a b y b divide a a , entonces a y b son elementos asociados o asociados . ^[9] De manera equivalente, a y b son asociados si a = ub para alguna unidad u .

Un elemento irreducible es una no unidad distinta de cero que no se puede escribir como un producto de dos no unidades.

Un p distinto de cero y no unitario es un elemento primo si, siempre que p divide un producto ab , entonces p divide a o p divide b . De manera equivalente, un elemento p es primo si y solo si el ideal principal ( p ) es un ideal primo distinto de cero .

Ambas nociones de elementos irreducibles y elementos primos generalizan la definición ordinaria de números primos en el anillo si se consideran primos los primos negativos. ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$

Todo elemento primo es irreducible. Lo contrario no es cierto en general: por ejemplo, en el anillo de enteros cuadrático el elemento 3 es irreducible (si se factorizara de manera no trivial, cada uno de los factores tendría que tener norma 3, pero no hay elementos de norma 3 ya que no tiene soluciones enteras) , pero no primo (ya que 3 divide sin dividir ninguno de los factores). En un dominio de factorización único (o más generalmente, un dominio MCD ), un elemento irreducible es un elemento primo. ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}$ ${\displaystyle a^{2}+5b^{2}=3}$ ${\displaystyle \left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)}$

Si bien la factorización única no se mantiene , existe una factorización única de ideales . Véase teorema de Lasker-Noether . ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}$

Propiedades

• Un anillo conmutativo R es un dominio integral si y sólo si el ideal (0) de R es un ideal primo.
• Si R es un anillo conmutativo y P es un ideal en R , entonces el anillo cociente R/P es un dominio integral si y sólo si P es un ideal primo .
• Sea R un dominio integral. Entonces los anillos polinomiales sobre R (en cualquier número de indeterminados) son dominios integrales. Este es en particular el caso si R es un campo .
• La propiedad de cancelación se cumple en cualquier dominio integral: para cualquier a , b y c en un dominio integral, si a ≠ 0 y ab = ac entonces b = c . Otra forma de expresar esto es que la función x ↦ ax es inyectiva para cualquier a distinto de cero en el dominio.
• La propiedad de cancelación se cumple para ideales en cualquier dominio integral: si xI = xJ , entonces x es cero o I = J.
• Un dominio integral es igual a la intersección de sus localizaciones en ideales máximos.
• Un límite inductivo de dominios integrales es un dominio integral.
• Si A , B son dominios integrales sobre un campo algebraicamente cerrado k , entonces A ⊗ _k B es un dominio integral. Esto es una consecuencia del nullstellensatz , ^[a] de Hilbert y, en geometría algebraica, implica la afirmación de que el anillo de coordenadas del producto de dos variedades algebraicas afines sobre un campo algebraicamente cerrado es nuevamente un dominio integral.

Campo de fracciones

El campo de fracciones K de un dominio integral R es el conjunto de fracciones a / b con a y b en R y b ≠ 0 módulo una relación de equivalencia apropiada, equipada con las operaciones habituales de suma y multiplicación. Es "el campo más pequeño que contiene R " en el sentido de que hay un homomorfismo de anillo inyectivo R → K tal que cualquier homomorfismo de anillo inyectivo de R a un campo factoriza a través de K. El campo de fracciones del anillo de los números enteros es el campo de los números racionales. El campo de fracciones de un campo es isomorfo al campo mismo. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

geometría algebraica

Los dominios integrales se caracterizan por la condición de que son reducidos (es decir, x ² = 0 implica x = 0 ) e irreducibles (es decir, solo hay un ideal primo mínimo ). La primera condición asegura que el radical nil del anillo sea cero, de modo que la intersección de todos los números primos mínimos del anillo sea cero. La última condición es que el anillo tenga solo un primo mínimo. De ello se deduce que el ideal primo mínimo único de un anillo reducido e irreducible es el ideal cero, por lo que dichos anillos son dominios integrales. Lo contrario es claro: un dominio integral no tiene elementos nilpotentes distintos de cero, y el ideal cero es el ideal primo mínimo único.

Esto se traduce, en geometría algebraica , en el hecho de que el anillo de coordenadas de un conjunto algebraico afín es un dominio integral si y sólo si el conjunto algebraico es una variedad algebraica .

De manera más general, un anillo conmutativo es un dominio integral si y solo si su espectro es un esquema afín integral .

Característica y homomorfismos.

La característica de un dominio integral es 0 o un número primo .

Si R es un dominio integral de característica prima p , entonces el endomorfismo de Frobenius x ↦ x ^p es inyectivo .

Ver también

• Norma Dedekind-Hasse : la estructura adicional necesaria para que un dominio integral sea principal
• Propiedad de producto cero

Notas

1. Prueba: Primero suponga que A se genera de forma finita como k -álgebra y elija una k -base de B . Supongamos (sólo un número finito son distintos de cero). Para cada ideal máximo de A , considere el homomorfismo del anillo . Entonces la imagen es y por tanto o o y, por independencia lineal, para todos o para todos . Como es arbitrario, tenemos la intersección de todos los ideales máximos donde la última igualdad es por Nullstellensatz. Dado que es un ideal primo, esto implica que o es el ideal cero; es decir, son todos cero o son todos cero. Finalmente, A es un límite inductivo de k -álgebras generadas finitamente que son dominios integrales y, por tanto, utilizando la propiedad anterior, es un dominio integral. ${\displaystyle g_{i}}$ ${\textstyle \sum f_{i}\otimes g_{i}\sum h_{j}\otimes g_{j}=0}$ ${\displaystyle f_{i},h_{j}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle A\otimes _{k}B\to A/{\mathfrak {m}}\otimes _{k}B=k\otimes _{k}B\simeq B}$ ${\textstyle \sum {\overline {f_{i}}}g_{i}\sum {\overline {h_{i}}}g_{i}=0}$ ${\textstyle \sum {\overline {f_{i}}}g_{i}=0}$ ${\textstyle \sum {\overline {h_{i}}}g_{i}=0}$ ${\displaystyle {\overline {f_{i}}}=0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\overline {h_{i}}}=0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\textstyle (\sum f_{i}A)(\sum h_{i}A)\subset \operatorname {Jac} (A)=}$ ${\displaystyle =(0)}$ ${\displaystyle (0)}$ ${\textstyle \sum f_{i}A}$ ${\textstyle \sum h_{i}A}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle h_{i}}$ ${\displaystyle A\otimes _{k}B=\varinjlim A_{i}\otimes _{k}B}$ ${\displaystyle \square }$

Citas

1. Bourbaki 1998, pag. 116
2. Dummit y Foote 2004, pág. 228
3. van der Waerden 1966, pág. 36
4. Herstein 1964, págs. 88–90
5. McConnell y Robson
6. Lang 1993, págs. 91–92
7. Auslander y Buchsbaum 1959
8. Nagata 1958
9. Durbin 1993, pág. 224, "Los elementos a y b de [un dominio integral] se llaman asociados si a | b y b | a ".

Referencias

• Adamson, Iain T. (1972). Anillos y módulos elementales . Textos Matemáticos Universitarios. Oliver y Boyd. ISBN 0-05-002192-3.
• Bourbaki, Nicolás (1998). Álgebra, capítulos 1 a 3 . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-64243-5.
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3ª ed.). Nueva York: Wiley . ISBN 978-0-471-43334-7.
• Durbin, John R. (1993). Álgebra moderna: una introducción (3ª ed.). John Wiley e hijos. ISBN 0-471-51001-7.
• Herstein, IN (1964), Temas de álgebra , Londres: Blaisdell Publishing Company
• Hungerford, Thomas W. (2013). Álgebra abstracta: una introducción (3ª ed.). Aprendizaje Cengage. ISBN 978-1-111-56962-4.
• Lang, Serge (1993), Álgebra (tercera ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl  0848.13001
• Lang, Serge (2002). Álgebra . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 211. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-95385-4. SEÑOR  1878556.
• Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1967). Álgebra . Nueva York: The Macmillan Co. ISBN 1-56881-068-7. SEÑOR  0214415.
• McConnell, JC; Robson, JC, Anillos noetherianos no conmutativos , Estudios de Posgrado en Matemáticas , vol. 30, AM
• Miliés, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K. (2002). Una introducción a los anillos grupales . Saltador. ISBN 1-4020-0238-6.
• Lanski, Charles (2005). Conceptos en álgebra abstracta . Librería AMS. ISBN 0-534-42323-X.
• Rowen, Luis Halle (1994). Álgebra: grupos, anillos y campos . AK Peters . ISBN 1-56881-028-8.
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• van der Waerden, Bartel Leendert (1966), Álgebra , vol. 1, Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag
• Auslander, M; Buchsbaum, DA (1959). "Factorización única en anillos locales regulares". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 45 (5) (publicado en mayo de 1959): 733–4. Código bibliográfico : 1959PNAS...45..733A. doi :10.1073/PNAS.45.5.733. ISSN  0027-8424. PMC  222624 . PMID  16590434. Zbl  0084.26504. Wikidata  Q24655880.
• Nagata, Masayoshi (1958). "Una teoría general de la geometría algebraica sobre dominios de Dedekind, II: extensiones generadas de forma separable y anillos locales regulares". Revista Estadounidense de Matemáticas . 80 (2) (publicado en abril de 1958): 382. doi :10.2307/2372791. ISSN  0002-9327. JSTOR  2372791. Zbl  0089.26501. Wikidata  Q56049883.

enlaces externos

• "¿De dónde viene el término "dominio integral"?".