En matemáticas , en particular en el estudio del álgebra abstracta , una norma de Dedekind-Hasse es una función en un dominio integral que generaliza la noción de función euclidiana en dominios euclidianos .
Sea R un dominio integral y g : R → Z ≥0 una función desde R hasta los enteros no negativos . Denotemos por 0 R la identidad aditiva de R . La función g se denomina norma de Dedekind-Hasse en R si se cumplen las tres condiciones siguientes:
La tercera condición es una ligera generalización de la condición (EF1) de las funciones euclidianas, como se define en el artículo sobre el dominio euclidiano . Si el valor de x siempre puede tomarse como 1, entonces g será de hecho una función euclidiana y, por tanto, R será un dominio euclidiano.
La noción de norma Dedekind-Hasse fue desarrollada de forma independiente por Richard Dedekind y, más tarde, por Helmut Hasse . Ambos notaron que era precisamente la pieza adicional de estructura necesaria para convertir un dominio integral en un dominio ideal principal . Es decir, demostraron que si un dominio integral R tiene una norma de Dedekind-Hasse, entonces R es un dominio ideal principal.
Sea K un campo y considere el anillo polinómico K [ X ]. La función g en este dominio que asigna un polinomio p distinto de cero a 2 grados ( p ) , donde grados ( p ) es el grado de p , y asigna el polinomio cero a cero, es una norma de Dedekind-Hasse en K [ X ]. Las dos primeras condiciones se satisfacen simplemente mediante la definición de g , mientras que la tercera condición se puede demostrar mediante división larga polinomial .