Divisibilidad (teoría de anillos)

Concepto en la teoría matemática de anillos

En matemáticas , la noción de divisor surgió originalmente en el contexto de la aritmética de números enteros. Con el desarrollo de los anillos abstractos , cuyo arquetipo son los números enteros , la noción original de divisor encontró una extensión natural.

La divisibilidad es un concepto útil para el análisis de la estructura de los anillos conmutativos debido a su relación con la estructura ideal de dichos anillos.

Definición

Sea R un anillo, ^[a] y sean a y b elementos de R . Si existe un elemento x en R con ax = b , se dice que a es divisor izquierdo de b y que b es múltiplo derecho de a . ^[1] De manera similar, si existe un elemento y en R con ya = b , se dice que a es divisor derecho de b y que b es múltiplo izquierdo de a . Se dice que a es divisor bilateral de b si es tanto divisor izquierdo como divisor derecho de b ; no se requiere que x e y anteriores sean iguales.

Cuando R es conmutativo, las nociones de divisor izquierdo, divisor derecho y divisor bilateral coinciden, por lo que se dice simplemente que a es divisor de b o que b es múltiplo de a y se escribe . Los elementos a y b de un dominio integral son asociados si ambos y . La relación de asociado es una relación de equivalencia en R , por lo que divide a R en clases de equivalencia disjuntas . ${\displaystyle a\mid b}$ ${\displaystyle a\mid b}$ ${\displaystyle b\mid a}$

Nota: Aunque estas definiciones tienen sentido en cualquier magma , se utilizan principalmente cuando este magma es el monoide multiplicativo de un anillo.

Propiedades

Las afirmaciones sobre la divisibilidad en un anillo conmutativo se pueden traducir en afirmaciones sobre ideales principales . Por ejemplo, ${\displaystyle R}$

• Se tiene si y sólo si . ${\displaystyle a\mid b}$ ${\displaystyle (b)\subseteq (a)}$
• Los elementos a y b son asociados si y sólo si . ${\displaystyle (a)=(b)}$
• Un elemento u es una unidad si y sólo si u es un divisor de cada elemento de R.
• Un elemento u es una unidad si y sólo si . ${\displaystyle (u)=R}$
• Si para alguna unidad u , entonces a y b son asociados. Si R es un dominio integral , entonces se cumple la inversa. ${\displaystyle a=bu}$
• Sea R un dominio integral. Si los elementos de R están totalmente ordenados por divisibilidad, entonces R se denomina anillo de valoración .

En lo anterior, denota el ideal principal de generado por el elemento . ${\displaystyle (a)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a}$

Cero como divisor y divisores de cero

• Si se interpreta la definición de divisor de manera literal, todo a es divisor de 0, ya que se puede tomar x = 0. Por ello, es tradicional abusar de la terminología haciendo una excepción para los divisores de cero: se llama divisor de cero a un elemento a en un anillo conmutativo si existe un x distinto de cero tal que ax = 0. [ ^2]
• Algunos textos aplican el término "divisor de cero" a un elemento x distinto de cero , donde además se requiere que el multiplicador a sea distinto de cero cuando x resuelve la expresión ax = 0 , pero dicha definición es más complicada y carece de algunas de las propiedades anteriores.

Véase también

• Divisor – divisibilidad en números enteros
• Polinomio § Divisibilidad – divisibilidad en polinomios
• Cuasigrupo : un magma genérico con divisibilidad
• Divisor de cero
• Dominio GCD

Notas

1. En este artículo, se supone que los anillos tienen un 1.

Citas

1. Bourbaki 1989, pág. 97
2. Bourbaki 1989, pág. 98

Referencias

• Bourbaki, N. (1989) [1970], Álgebra I, capítulos 1 a 3, Springer-Verlag , ISBN 9783540642435

Este artículo incorpora material del artículo de Citizendium "Divisibilidad (teoría de anillos)", que se encuentra bajo la licencia Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported pero no bajo la GFDL .