Dominio GCD

Estructura matemática con máximos comunes divisores

En matemáticas , un dominio MCD (a veces llamado simplemente dominio ) es un dominio integral R con la propiedad de que dos elementos cualesquiera tienen un máximo común divisor (MCD); es decir, existe un ideal principal mínimo único que contiene el ideal generado por dos elementos dados. De manera equivalente, dos elementos cualesquiera de R tienen un mínimo común múltiplo (MCM). ^[1]

Un dominio MCD generaliza un dominio de factorización única (UFD) a un entorno no noetheriano en el siguiente sentido: un dominio integral es un UFD si y solo si es un dominio MCD que satisface la condición de cadena ascendente en ideales principales (y en particular si es noetheriano ).

Los dominios GCD aparecen en la siguiente cadena de inclusiones de clases :

rngs ⊃ anillos ⊃ anillos conmutativos ⊃ dominios integrales ⊃ dominios integralmente cerrados ⊃ dominios MCD ⊃ dominios de factorización única ⊃ dominios ideales principales ⊃ dominios euclidianos ⊃ campos ⊃ campos algebraicamente cerrados

Propiedades

Todo elemento irreducible de un dominio MCD es primo . Un dominio MCD es integralmente cerrado y todo elemento distinto de cero es primo . En otras palabras, todo dominio MCD es un dominio de Schreier .

Para cada par de elementos x , y de un dominio MCD R , se puede elegir un MCD d de x e y y un MCM m de x e y de manera que dm = xy , o dicho de otra manera, si x e y son elementos distintos de cero y d es cualquier MCD d de x e y , entonces xy / d es un MCM de x e y , y viceversa. De ello se deduce que las operaciones de MCD y MCM convierten el cociente R /~ en un retículo distributivo , donde "~" denota la relación de equivalencia de ser elementos asociados . La equivalencia entre la existencia de MCD y la existencia de MCM no es un corolario del resultado similar en retículos completos , ya que el cociente R /~ no necesita ser un retículo completo para un dominio MCD R . ^{[ cita requerida ]}

Si R es un dominio MCD, entonces el anillo polinomial R [ X ₁ ,..., X _n ] también es un dominio MCD. ^[2]

R es un dominio MCD si y solo si las intersecciones finitas de sus ideales principales son principales. En particular, , donde es el MCM de y . ${\displaystyle (a)\cap (b)=(c)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Para un polinomio en X sobre un dominio MCD, se puede definir su contenido como el MCD de todos sus coeficientes. Entonces, el contenido de un producto de polinomios es el producto de sus contenidos, como se expresa mediante el lema de Gauss , que es válido sobre dominios MCD.

Ejemplos

• Un dominio de factorización único es un dominio MCD. Entre los dominios MCD, los dominios de factorización únicos son precisamente aquellos que son también dominios atómicos (lo que significa que existe al menos una factorización en elementos irreducibles para cualquier no unidad no nula).
• Un dominio de Bézout (es decir, un dominio integral donde cada ideal finitamente generado es principal) es un dominio MCD. A diferencia de los dominios de ideales principales (donde cada ideal es principal), un dominio de Bézout no necesita ser un dominio de factorización único; por ejemplo, el anillo de funciones enteras es un dominio de Bézout no atómico, y hay muchos otros ejemplos. Un dominio integral es un dominio MCD de Prüfer si y solo si es un dominio de Bézout. ^[3]
• Si R es un dominio MCD no atómico, entonces R [ X ] es un ejemplo de un dominio MCD que no es ni un dominio de factorización única (ya que no es atómico) ni un dominio de Bézout (ya que X y un elemento no invertible y distinto de cero a de R generan un ideal que no contiene 1, pero 1 es sin embargo un MCD de X y a ); de manera más general, cualquier anillo R [ X ₁ ,..., X _n ] tiene estas propiedades.
• Un anillo monoide conmutativo es un dominio MCD si y solo si es un dominio MCD y es un semigrupo MCD cancelativo libre de torsión . Un semigrupo MCD es un semigrupo con la propiedad adicional de que para cualquier y en el semigrupo , existe un tal que . En particular, si es un grupo abeliano , entonces es un dominio MCD si y solo si es un dominio MCD y es libre de torsión. ^[4] ${\displaystyle R[X;S]}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a+S)\cap (b+S)=c+S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R[X;G]}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$
• El anillo no es un dominio MCD para todos los números enteros libres de cuadrados . ^[5] ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-d}}]}$ ${\displaystyle d\geq 3}$

Dominios G-GCD

Muchas de las propiedades del dominio MCD se trasladan a los dominios MCD generalizados, ^[6] donde los ideales principales se generalizan a ideales invertibles y donde la intersección de dos ideales invertibles es invertible, de modo que el grupo de ideales invertibles forma una red. En los anillos MCD, los ideales son invertibles si y solo si son principales, lo que significa que las operaciones MCD y MCM también pueden tratarse como operaciones sobre ideales invertibles.

Los ejemplos de dominios G-MCD incluyen dominios MCD, anillos polinomiales sobre dominios MCD, dominios de Prüfer y dominios π (dominios donde cada ideal principal es el producto de ideales primos), lo que generaliza la propiedad MCD de los dominios de Bézout y los dominios de factorización única .

Referencias

1. Anderson, DD (2000). "Dominios de MCD, lema de Gauss y contenidos de polinomios". En Chapman, Scott T.; Glaz, Sarah (eds.). Teoría de anillos conmutativos no noetherianos . Matemáticas y su aplicación. Vol. 520. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. págs. 1–31. doi :10.1007/978-1-4757-3180-4_1. MR  1858155.
2. Robert W. Gilmer, Anillos de semigrupos conmutativos , University of Chicago Press, 1984, pág. 172.
3. Ali, Majid M.; Smith, David J. (2003), "Anillos MCD generalizados. II", Beiträge zur Algebra und Geometrie , 44 (1): 75–98, SEÑOR  1990985. P. 84: "Es fácil ver que un dominio integral es un dominio MCD de Prüfer si y sólo si es un dominio de Bezout, y que un dominio de Prüfer no necesita ser un dominio MCD".
4. Gilmer, Robert; Parker, Tom (1973), "Propiedades de divisibilidad en anillos de semigrupos", Michigan Mathematical Journal , 22 (1): 65–86, MR  0342635.
5. Mihet, Dorel (2010), "Una nota sobre dominios de factorización no únicos (UFD)", Resonance , 15 (8): 737–739.
6. Anderson, D. (1980), "Dominios GCD generalizados", Commentarii Mathematici Universitatis Sancti Pauli. , 28 (2): 219–233