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Divisibilidad (teoría de anillos)

En matemáticas , la noción de divisor surgió originalmente en el contexto de la aritmética de números enteros. Con el desarrollo de los anillos abstractos , cuyo arquetipo son los números enteros , la noción original de divisor encontró una extensión natural.

La divisibilidad es un concepto útil para el análisis de la estructura de los anillos conmutativos debido a su relación con la estructura ideal de dichos anillos.

Definición

Sea R un anillo, [a] y sean a y b elementos de R . Si existe un elemento x en R con ax = b , se dice que a es divisor izquierdo de b y que b es múltiplo derecho de a . [1] De manera similar, si existe un elemento y en R con ya = b , se dice que a es divisor derecho de b y que b es múltiplo izquierdo de a . Se dice que a es divisor bilateral de b si es tanto divisor izquierdo como divisor derecho de b ; no se requiere que x e y anteriores sean iguales.

Cuando R es conmutativo, las nociones de divisor izquierdo, divisor derecho y divisor bilateral coinciden, por lo que se dice simplemente que a es divisor de b o que b es múltiplo de a y se escribe . Los elementos a y b de un dominio integral son asociados si ambos y . La relación de asociado es una relación de equivalencia en R , por lo que divide a R en clases de equivalencia disjuntas .

Nota: Aunque estas definiciones tienen sentido en cualquier magma , se utilizan principalmente cuando este magma es el monoide multiplicativo de un anillo.

Propiedades

Las afirmaciones sobre la divisibilidad en un anillo conmutativo se pueden traducir en afirmaciones sobre ideales principales . Por ejemplo,

En lo anterior, denota el ideal principal de generado por el elemento .

Cero como divisor y divisores de cero

Véase también

Notas

  1. ^ En este artículo, se supone que los anillos tienen un 1.

Citas

  1. ^ Bourbaki 1989, pág. 97
  2. ^ Bourbaki 1989, pág. 98

Referencias

Este artículo incorpora material del artículo de Citizendium "Divisibilidad (teoría de anillos)", que se encuentra bajo la licencia Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported pero no bajo la GFDL .