Propiedad de producto cero

El producto de dos elementos distintos de cero es distinto de cero.

En álgebra , la propiedad del producto cero establece que el producto de dos elementos distintos de cero es distinto de cero. En otras palabras, ${\displaystyle {\text{if }}ab=0,{\text{ then }}a=0{\text{ or }}b=0.}$

Esta propiedad también se conoce como regla del producto cero , ley del factor nulo , propiedad de multiplicación del cero , inexistencia de divisores de cero no triviales o una de las dos propiedades del factor cero . ^[1] Todos los sistemas numéricos estudiados en matemáticas elementales (los números enteros , los números racionales , los números reales y los números complejos ) satisfacen la propiedad del producto cero. En general, un anillo que satisface la propiedad del producto cero se denomina dominio . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Contexto algebraico

Supongamos que es una estructura algebraica. Podríamos preguntarnos: ¿ tiene la propiedad de producto cero? Para que esta pregunta tenga significado, debe tener tanto estructura aditiva como estructura multiplicativa. ^[2] Generalmente se supone que es un anillo , aunque podría ser otra cosa, por ejemplo, el conjunto de números enteros no negativos con suma y multiplicación ordinaria, que es sólo un semianillo (conmutativo) . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{0,1,2,\ldots \}}$

Tenga en cuenta que si satisface la propiedad del producto cero y si es un subconjunto de , entonces también satisface la propiedad del producto cero: si y son elementos de tal que , entonces o porque y también pueden considerarse elementos de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle ab=0}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle A}$

Ejemplos

• Un anillo en el que se cumple la propiedad del producto cero se llama dominio . Un dominio conmutativo con un elemento identidad multiplicativo se llama dominio integral . Cualquier campo es un dominio integral; de hecho, cualquier subanillo de un campo es un dominio integral (siempre que contenga 1). De manera similar, cualquier subanillo de un campo sesgado es un dominio. Por tanto, la propiedad del producto cero se cumple para cualquier subanillo de un campo sesgado.
• Si es un número primo , entonces el módulo del anillo de números enteros tiene la propiedad del producto cero (de hecho, es un campo). ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$
• Los enteros gaussianos son un dominio integral porque son un subanillo de los números complejos.
• En el campo estrictamente sesgado de los cuaterniones , se cumple la propiedad del producto cero. Este anillo no es un dominio integral, porque la multiplicación no es conmutativa.
• El conjunto de números enteros no negativos no es un anillo (sino un semianillo ), pero satisface la propiedad del producto cero. ${\displaystyle \{0,1,2,\ldots \}}$

No ejemplos

• Denotemos el anillo de números enteros módulo . Entonces no satisface la propiedad del producto cero: 2 y 3 son elementos distintos de cero, todavía . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$ ${\displaystyle 2\cdot 3\equiv 0{\pmod {6}}}$
• En general, si es un número compuesto , entonces no satisface la propiedad del producto cero. Es decir, si donde , entonces y son módulos distintos de cero , todavía . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ ${\displaystyle n=qm}$ ${\displaystyle 0<q,m<n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle qm\equiv 0{\pmod {n}}}$
• El anillo de matrices de 2 × 2 con entradas enteras no satisface la propiedad del producto cero: si ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2\times 2}}$
  $${\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&-1\\0&0\end{pmatrix}}}$$
  y luego ${\displaystyle N={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}},}$
  $${\displaystyle MN={\begin{pmatrix}1&-1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}=0,}$$
  sin embargo, ni ni es cero. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$
• El anillo de todas las funciones , desde el intervalo unitario hasta los números reales , tiene divisores de cero no triviales: hay pares de funciones que no son idénticamente iguales a cero pero cuyo producto es la función cero. De hecho, no es difícil construir, para cualquier n ≥ 2, funciones , ninguna de las cuales sea idénticamente cero, de manera que sea idénticamente cero siempre que . ${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$ ${\displaystyle f_{i}\,f_{j}}$ ${\displaystyle i\neq j}$
• Lo mismo es cierto incluso si consideramos sólo funciones continuas, o incluso funciones infinitamente suaves . Por otro lado, las funciones analíticas tienen la propiedad del producto cero.

Aplicación para encontrar raíces de polinomios.

Supongamos que y son polinomios univariados con coeficientes reales y es un número real tal que . (En realidad, podemos permitir que los coeficientes y provengan de cualquier dominio integral). Por la propiedad del producto cero, se deduce que o o . En otras palabras, las raíces de son precisamente las raíces de junto con las raíces de . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P(x)Q(x)=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P(x)=0}$ ${\displaystyle Q(x)=0}$ ${\displaystyle PQ}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

Por tanto, se puede utilizar la factorización para encontrar las raíces de un polinomio. Por ejemplo, el polinomio se factoriza como ; por tanto, sus raíces son precisamente 3, 1 y −2. ${\displaystyle x^{3}-2x^{2}-5x+6}$ ${\displaystyle (x-3)(x-1)(x+2)}$

En general, supongamos que es un dominio integral y un polinomio mónico univariado de grado con coeficientes en . Supongamos también que tiene raíces distintas . De ello se deduce (pero no lo demostramos aquí) que se factoriza como . Por la propiedad del producto cero, se deduce que son las únicas raíces de : cualquier raíz de debe ser una raíz de para algunos . En particular, tiene como mucho raíces distintas. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle d\geq 1}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{d}\in R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=(x-r_{1})\cdots (x-r_{d})}$ ${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{d}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (x-r_{i})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle d}$

Sin embargo, si no es un dominio integral, entonces la conclusión no tiene por qué ser válida. Por ejemplo, el polinomio cúbico tiene seis raíces en (aunque sólo tiene tres raíces en ). ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x^{3}+3x^{2}+2x}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Ver también

• Teorema fundamental del álgebra
• Dominio integral y dominio.
• ideal principal
• divisor cero

Notas

1. El otro es a⋅0 = 0⋅a = 0. Mustafa A. Munem y David J. Foulis, Algebra and Trigonometry with Applications (Nueva York: Worth Publishers, 1982), pág. 4.
2. Debe haber una noción de cero (la identidad aditiva ) y una noción de productos, es decir, multiplicación.

Referencias

• David S. Dummit y Richard M. Foote, Álgebra abstracta (3ª ed.), Wiley, 2003, ISBN  0-471-43334-9 .

enlaces externos

• PlanetMath: regla cero del producto