Menor (álgebra lineal)

Determinante de una subsección de una matriz cuadrada

En álgebra lineal , un menor de una matriz A es el determinante de alguna matriz cuadrada más pequeña , reducida de A eliminando una o más de sus filas y columnas. Los menores obtenidos eliminando solo una fila y una columna de las matrices cuadradas ( primeros menores ) son necesarios para calcular los cofactores matriciales , que a su vez son útiles para calcular tanto el determinante como la inversa de las matrices cuadradas. El requisito de que la matriz cuadrada sea más pequeña que la matriz original a menudo se omite en la definición.

Definición e ilustración

Primeras menores

Si A es una matriz cuadrada, entonces el menor de la entrada en la i  -ésima fila y j  -ésima columna (también llamado ( i , j ) menor , o primer menor ^[1] ) es el determinante de la submatriz formada al eliminar la i-  ésima fila y la j  -ésima columna. Este número a menudo se denomina M _i,j . El cofactor ( i , j ) se obtiene multiplicando el menor por . ${\displaystyle (-1)^{i+j}}$

Para ilustrar estas definiciones, considere la siguiente matriz de 3 por 3,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&7\\3&0&5\\-1&9&11\\\end{bmatrix}}}$

Para calcular el menor M _2,3 y el cofactor C _2,3 , encontramos el determinante de la matriz anterior eliminando la fila 2 y la columna 3.

${\displaystyle M_{2,3}=\det {\begin{bmatrix}1&4&\Box \\\Box &\Box &\Box \\-1&9&\Box \\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}1&4\\-1&9\\\end{bmatrix}}=9-(-4)=13}$

Entonces el cofactor de la entrada (2,3) es

${\displaystyle \ C_{2,3}=(-1)^{2+3}(M_{2,3})=-13.}$

Definición general

Sea A una matriz m  ×  n y k un número entero con 0 < k ≤ m y k ≤ n . Un k  ×  k menor de A , también llamado determinante menor de orden k de A o, si m = n , ( n − k ) ésimo determinante menor de A (la palabra "determinante" a menudo se omite y la palabra "grado" a veces se usa en lugar de "orden") es el determinante de una matriz k  ×  k obtenida de A eliminando m − k filas y n − k columnas. A veces, el término se utiliza para referirse a la matriz k  ×  k obtenida de A como se indicó anteriormente (eliminando m − k filas y n − k columnas), pero esta matriz debe denominarse submatriz (cuadrada) de A , dejando la término "menor" para referirse al determinante de esta matriz. Para una matriz A como la anterior, hay un total de menores de tamaño k  ×  k . El menor de orden cero a menudo se define como 1. Para una matriz cuadrada, el menor cero es simplemente el determinante de la matriz. ^{[2] [3]} ${\textstyle {m \choose k}\cdot {n \choose k}}$

Sean y secuencias ordenadas (en orden natural, como siempre se supone cuando se habla de menores a menos que se indique lo contrario) de índices, llámelos I y J , respectivamente. El menor correspondiente a estas elecciones de índices se denota o o o o o (donde denota la secuencia de índices I , etc.), dependiendo de la fuente. Además, existen dos tipos de denotaciones utilizadas en la literatura: por la menor asociada a secuencias ordenadas de índices I y J , algunos autores ^[4] se refieren al determinante de la matriz que se forma como arriba, tomando los elementos de la matriz original. matriz de las filas cuyos índices están en I y columnas cuyos índices están en J , mientras que otros autores entienden por menor asociado a I y J el determinante de la matriz formada a partir de la matriz original eliminando las filas en I y las columnas en J . ^[2] La notación utilizada siempre debe comprobarse a partir de la fuente en cuestión. En este artículo, utilizamos la definición inclusiva de elegir los elementos de las filas de I y las columnas de J. El caso excepcional es el caso del primer menor o del menor ( i , j ) descrito anteriormente; en ese caso, el significado exclusivo es estándar en toda la literatura y también se utiliza en este artículo. ${\displaystyle 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq m}$ ${\displaystyle 1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq n}$ ${\textstyle \det \left((A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}\right)}$ ${\displaystyle \det _{I,J}A}$ ${\displaystyle \det A_{I,J}}$ ${\displaystyle [A]_{I,J}}$ ${\displaystyle M_{I,J}}$ ${\displaystyle M_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k},j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}}$ ${\displaystyle M_{(i),(j)}}$ ${\displaystyle (i)}$ ${\textstyle M_{i,j}=\det \left(\left(A_{p,q}\right)_{p\neq i,q\neq j}\right)}$

Complementar

El complemento, B _{ijk...,pqr...} , de una menor, M _{ijk...,pqr...} , de una matriz cuadrada, A , está formado por el determinante de la matriz A de la que se forman todas las filas. ( ijk... ) y las columnas ( pqr... ) asociadas con M _{ijk...,pqr...} se han eliminado. El complemento del primer menor de un elemento a _ij es simplemente ese elemento. ^[5]

Aplicaciones de menores y cofactores

Expansión cofactor del determinante.

Los cofactores ocupan un lugar destacado en la fórmula de Laplace para la expansión de los determinantes, que es un método para calcular determinantes más grandes en términos de otros más pequeños. Dada una matriz de n  ×  n , el determinante de A , denotado det( A ), se puede escribir como la suma de los cofactores de cualquier fila o columna de la matriz multiplicada por las entradas que los generaron. En otras palabras, al definir la expansión del cofactor a lo largo de la j  -ésima columna se obtiene: ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ ${\displaystyle C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}}$

${\displaystyle \ \det(\mathbf {A} )=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+a_{3j}C_{3j}+\cdots +a_{nj}C_{nj}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}C_{ij}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}}$

La expansión del cofactor a lo largo de la i  -ésima fila da:

${\displaystyle \ \det(\mathbf {A} )=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+\cdots +a_{in}C_{in}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}}$

Inversa de una matriz

Se puede escribir la inversa de una matriz invertible calculando sus cofactores utilizando la regla de Cramer , de la siguiente manera. La matriz formada por todos los cofactores de una matriz cuadrada A se llama matriz de cofactores (también llamada matriz de cofactores o, a veces, comatriz ):

${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}}$

Entonces la inversa de A es la transpuesta de la matriz del cofactor multiplicada por el recíproco del determinante de A :

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} (\mathbf {A} )}}\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.}$

La transpuesta de la matriz cofactor se llama matriz adjunta (también llamada adjunta clásica ) de A.

La fórmula anterior se puede generalizar de la siguiente manera: Sea y secuencias ordenadas (en orden natural) de índices (aquí A es una matriz n  ×  n ). Entonces ^[6] ${\displaystyle 1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n}$ ${\displaystyle 1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}\leq n}$

${\displaystyle [\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}=\pm {\frac {[\mathbf {A} ]_{J',I'}}{\det \mathbf {A} }},}$

donde I′ , J′ denotan las secuencias ordenadas de índices (los índices están en orden de magnitud natural, como arriba) complementarias a I , J , de modo que cada índice 1, ..., n aparece exactamente una vez en I o I. ′ , pero no en ambos (de manera similar para J y J′ ) y denota el determinante de la submatriz de A formada eligiendo las filas del conjunto de índices I y las columnas del conjunto de índices J . También, . Se puede dar una prueba sencilla utilizando el producto en cuña. En efecto, ${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{I,J}}$ ${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{I,J}=\det \left((A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}\right)}$

${\displaystyle [\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{k}})\wedge e_{i'_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{i'_{n-k}},}$

¿Dónde están los vectores base? Actuando por A en ambos lados, se obtiene ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$

${\displaystyle [\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}\det \mathbf {A} (e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (e_{j_{k}})\wedge (\mathbf {A} e_{i'_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} e_{i'_{n-k}})=\pm [\mathbf {A} ]_{J',I'}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}).}$

Se puede calcular que el signo es , por lo que el signo está determinado por las sumas de los elementos en I y J . ${\displaystyle (-1)^{\sum _{s=1}^{k}i_{s}-\sum _{s=1}^{k}j_{s}}}$

Otras aplicaciones

Dada una matriz m  ×  n con entradas reales (o entradas de cualquier otro campo ) y rango r , entonces existe al menos un menor r  ×  r distinto de cero , mientras que todos los menores más grandes son cero.

Usaremos la siguiente notación para menores: si A es una matriz de m  ×  n , I es un subconjunto de {1,..., m } con k elementos y J es un subconjunto de {1,..., n } con k elementos, luego escribimos [ A ] _{I , J} para el k  ×  k menor de A que corresponde a las filas con índice en I y las columnas con índice en J .

• Si I = J , entonces [ A ] _{I , J} se llama principal menor .
• Si la matriz que corresponde a una menor principal es una submatriz cuadrada superior izquierda de la matriz más grande (es decir, consta de elementos de la matriz en filas y columnas del 1 al k , también conocida como submatriz principal principal), entonces la matriz menor principal se llama menor principal principal (de orden k) o menor de esquina (principal) (de orden k) . ^[3] Para una matriz cuadrada n  ×  n , hay n menores principales principales.
• Un menor básico de una matriz es el determinante de una submatriz cuadrada de tamaño máximo con determinante distinto de cero. ^[3]
• Para las matrices hermitianas , los menores principales principales se pueden usar para probar la precisión positiva y los menores principales se pueden usar para probar la semidefinición positiva . Consulte el criterio de Sylvester para obtener más detalles.

Tanto la fórmula para la multiplicación ordinaria de matrices como la fórmula de Cauchy-Binet para el determinante del producto de dos matrices son casos especiales del siguiente enunciado general sobre los menores de un producto de dos matrices. Supongamos que A es una matriz m  ×  n , B es una matriz n  ×  p , I es un subconjunto de {1,..., m } con k elementos y J es un subconjunto de {1,..., p } con k elementos. Entonces

${\displaystyle [\mathbf {AB} ]_{I,J}=\sum _{K}[\mathbf {A} ]_{I,K}[\mathbf {B} ]_{K,J}\,}$

donde la suma se extiende sobre todos los subconjuntos K de {1,..., n } con k elementos. Esta fórmula es una extensión sencilla de la fórmula de Cauchy-Binet.

Enfoque de álgebra multilineal

En álgebra multilineal se da un tratamiento algebraico más sistemático de los menores , utilizando el producto de cuña : los k -menores de una matriz son las entradas en el k -ésimo mapa de potencia exterior .

Si las columnas de una matriz se unen k a la vez, los k  ×  k menores aparecen como los componentes de los k -vectores resultantes. Por ejemplo, los menores 2 × 2 de la matriz

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&4\\3&\!\!-1\\2&1\\\end{pmatrix}}}$

son −13 (de las dos primeras filas), −7 (de la primera y última fila) y 5 (de las dos últimas filas). Consideremos ahora el producto cuña.

${\displaystyle (\mathbf {e} _{1}+3\mathbf {e} _{2}+2\mathbf {e} _{3})\wedge (4\mathbf {e} _{1}-\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})}$

donde las dos expresiones corresponden a las dos columnas de nuestra matriz. Utilizando las propiedades del producto cuña, es decir, que es bilineal y alterno ,

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{i}=0,}$

y antisimétrico ,

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\wedge \mathbf {e} _{i},}$

podemos simplificar esta expresión a

${\displaystyle -13\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}-7\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}+5\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}}$

donde los coeficientes concuerdan con los menores calculados anteriormente.

Un comentario sobre notación diferente.

En algunos libros, en lugar de cofactor se utiliza el término adjunto . ^[7] Además, se denota como A _ij y se define de la misma manera que cofactor:

${\displaystyle \mathbf {A} _{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}}$

Usando esta notación la matriz inversa se escribe de esta manera:

${\displaystyle \mathbf {M} ^{-1}={\frac {1}{\det(M)}}{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots &A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots &A_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1n}&A_{2n}&\cdots &A_{nn}\end{bmatrix}}}$

Tenga en cuenta que adjunto no es conjugado ni adjunto . En la terminología moderna, el "adjunto" de una matriz suele referirse al operador adjunto correspondiente .

Ver también

• Submatriz
• matriz compuesta

Referencias

1. Burnside, William Snow y Panton, Arthur William (1886) Teoría de las ecuaciones: con una introducción a la teoría de la forma algebraica binaria .
2. Álgebra matricial elemental (tercera edición), Franz E. Hohn, The Macmillan Company, 1973, ISBN  978-0-02-355950-1
3. "Menor". Enciclopedia de Matemáticas.
4. Álgebra lineal y geometría, Igor R. Shafarevich, Alexey O. Remizov, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, ISBN 978-3-642-30993-9 
5. Bertha Jeffreys, Métodos de física matemática, p.135, Cambridge University Press, 1999 ISBN 0-521-66402-0 . 
6. Viktor Vasil_evich Prasolov (13 de junio de 1994). Problemas y teoremas de álgebra lineal. Sociedad Matemática Estadounidense. págs.15–. ISBN 978-0-8218-0236-6.
7. Felix Gantmacher , Teoría de matrices (1.ª ed., el idioma original es el ruso), Moscú: Editorial Estatal de literatura técnica y teórica, 1953, p.491,

enlaces externos

• Conferencia de álgebra lineal del MIT sobre cofactores en Google Video, del MIT OpenCourseWare
• Entrada de cofactores de PlanetMath
• Entrada de la Enciclopedia Springer de Matemáticas para menor